Schauen wir uns mal so eine Schätzaufgabe mit linearer Näherung an. Gerade eben das Schätzen war ja nicht mit linearer Näherung, das hatte ich ja nochmal so vorgeführt. Die Wurzel aus 1,75 schätzen einfach nur mit Quadratzahlen. Hier die Brüche schätzen, indem ich einfach mit Rest teile.

Aber jetzt mal eine Schätzung mit linearer Näherung, nämlich für den natürlichen Logarithmus von 3. Benutzen Sie mal die Tangentengrade an irgendeiner sinnvollen Stelle an den natürlichen Logarithmus, um den natürlichen Logarithmus an der Stelle 3 zu schätzen.

Ich möchte den natürlichen Logarithmus an der Stelle 3 haben. Sie wissen ja im Prinzip, wie der aussehen muss. Wie kann ich den schätzen an der Stelle 3?

Kleiner Einschub zu Logarithmen. Merken Sie, es steigt einfach ein Zehnerlogarithmus, Lg oder Log 10. Der Zehnerlogarithmus von 1000 ist 3, weil dieses 1000 gleich 10 hoch 3 ist.

Der natürliche Logarithmus, jetzt hätte ich gerne irgendwas in der Größenordnung der Zahl 3, was ich gut ausrechnen kann. Vorsicht, das geht falsch rum. Der natürliche Logarithmus der Zahl E ist was?

Genau, der ist 1. Und dann habe ich hier nämlich bei E etwas in der Größenordnung von 3. E ist 2,7, 1, 8, 2, 8 und so weiter. Jetzt habe ich etwas in der Größenordnung von 3. Der Logarithmus, der natürliche Logarithmus von E ist 1. Denn, was schreibe ich hier auf die rechte Seite? Analog.

Das gibt Hausaufgaben zu Weihnachten. Den Logarithmus nochmal angucken. Ja, dann haben wir es ja. Also, E ist gleich E hoch 1. Der natürliche Logarithmus von E ist 1, weil diese Zahl E selbst ihre erste Potenz ist.

Der Zehnerlogarithmus von 10 ist 1, weil die Zahl 10 ihre erste Potenz ist. Der Zehnerlogarithmus von 1000 ist 3, weil die Zahl 1000 die dritte Potenz von 10 ist. E ist die erste Potenz von E. Deshalb ist der Logarithmus 1.

Sicherheitshalber, der natürliche Logarithmus der Zahl 1 ist was? Dann bin ich ja glücklich, 0. Denn 1 ist gleich E hoch 0. Die 0te Potenz ist immer die 1.

Wobei 0 hoch 0 ein Thema für sich ist. So, was ich verwenden will ist dieses hier. Ich kenne einen Logarithmuswert in der Nähe. Der Logarithmus, der natürliche Logarithmus von 2,718 bla bla, ist exakt 1. Also hier liegt irgendwo die Zahl E.

Und ich weiß, deren Logarithmus ist exakt 1. Das ist mein Gedanke. Nebenbei weiß ich, der natürliche Logarithmus von 1 ist 0. Haben wir gerade gesehen. Und nun ist der Trick, sich mit der Tangentengrade ein Stückchen weiter zu hangeln.

Dieses kleines Stückchen weiter zu hangeln. Wenn ich hier die Tangentengrade weiß an den natürlichen Logarithmus. Kann ich jetzt schon mal so vorsichtig skizzieren. Na ja. Gleich wird es etwas schöner, weil wir wissen, wie steil die Tangente ist.

Wenn ich hier eine Tangente dranlege. Die Tangentengrade an der Stelle E. Dann kann ich doch ganz dreist auf den Tangenten ablesen. Was denn der Wert vom Logarithmus an der Stelle 3 sein sollte. Das ist lineare Näherung. Das machen Sie mal.

Fein. Also ich bestimme die Steigung der Tangentengraden an der Stelle E. Die Steigung dieser Graden ist die Ableitung der Logarithmusfunktion an der Stelle E.

Also ist die Steigung 1 durch. Ableitung vom Logarithmus ist der Kehrwert. 1 durch E. An der Stelle E. Der Logarithmus. Davon die Ableitung. 1 durch X. Und das an der Stelle E. 1 durch E. Sie sehen die Zeichnung ist vielleicht ein bisschen flach geworden hier.

Das haben wir bei einigen auch gesehen. Denken Sie daran. Der Logarithmus muss ja zum Schluss doch über alle Zahlen drüber gehen. Also der darf hier nicht zum Schluss wieder abknicken. Der wächst. Der wächst super langsam, aber er wächst. Er ist vielleicht ein bisschen flach geworden.

Und jetzt lese ich auf der Tangentengrade ab, was denn der Wert sein sollte. Ich gehe um etwa 0,3 zur Seite. Von 2,7 noch was auf 3. Ich gehe um etwa 0,3 zur Seite.

Das heißt bei dieser Steigung gehe ich um 1 durch E mal 0,3 nach oben. 1 durch E mal 0,3. Na schön. Etwa ein Drittel mal 0,3.

Das macht also 0,1. Um 0,3 nach rechts. Um 0,1 nach oben. Und damit weiß ich für den Logarithmus von 3. Er liegt um 0,1 oberhalb von der 1.

Er liegt etwa bei 1,1. Der schwarze Strich ist die 1. Und wir gehen um 0,1 rauf. Also liegt der hier etwa bei 1,1. Was wäre es exakt? Ok, Sie sagen exakt 1,0986 irgendwas.

Hätte ich mir das denken können, dass es 0,9 irgendwas ist und nicht 0,1 irgendwas ist. Es gibt so diverse Effekte, die sich jetzt so halbwegs hier die Waage halten.

Hier die 0,3. Was sollte hier der Abstand sein? 3 minus E. Es sind ja eigentlich nicht 0,3. Es sind etwas weniger als 0,3. 3 minus 2,7. Also diese 3 hier, die ist etwas zu groß geworden. Andererseits habe ich gerade gerechnet 1 durch E als ein Drittel.

Ich habe durch zu viel geteilt. Was das Ganze wieder kleiner macht. Schwer zu sagen, wer da gewinnen wird. Müsste man sich prozentual überlegen, wer da gewinnen wird. Und es gibt noch einen Effekt, der das Ergebnis kleiner macht. Der Logarithmus ist ja nach rechts gekrümmt. Hier auf der Kurve zwar langsam, aber hier diese Kurve geht ja nach rechts rum.

Der Logarithmus ist die ganze Zeit nach rechts gekrümmt. Das heißt, er liegt immer unterhalb der Tangentengrade. Egal, wo Sie beim Logarithmus gucken, er liegt immer unterhalb der Tangentengrade, weil er nach rechts gekrümmt ist.

Also es gibt zwei Gründe, weshalb der Wert kleiner sein sollte als der, den ich angegeben habe. Es gibt einen Grund, weshalb der Wert größer sein sollte, weil ich jetzt so eine große Zahl genommen habe. Lustigerweise gewinnen die Gründe, dass es etwas kleiner sein sollte in Wirklichkeit.

Aber 1,1 zu 1,0896, der Fehler ist schon sehr klein.