Nun folgendes, diese Funktion x wird abgebildet auf e hoch minus x², gemeint ist erst das x² ausrechnen, dann die e-Funktion für alle reellen Zahlen x. Wo liegen Wendestellen von dieser Funktion?

Nochmal kurz zur Erinnerung, ein Wendepunkt heißt, das hier ist ein Wendepunkt, ich gehe von der einen Krümmung, hier wird nach links gelenkt, in die andere, hier wird nach rechts gelenkt,

kann sich vor sich fahren, hier mit dem Auto lang, hier lenken sie links rum, hier steht das Lenkrad geradeaus, und da lenken sie rechts rum, das ist ein Wendepunkt. Und der x-Wert dazu ist, toll, die Wendestelle, also auf der x-Achse haben wir die Stellen, und der Punkt ist wirklich dann der xy-Wert, einfach jetzt nur die x-Werte, das ist was ich suche, von dieser Funktion.

Also was interessiert mich für Wendestellen, ich sehe, dass die Tangente erst nach links dreht,

oder insgesamt andersrum, aber hier aber ist sie erst nach links dreht, das heißt die Steigung nimmt zu, die Steigung nimmt zu, hier bleibt die Steigung praktisch konstant, und dann dreht sich die Tangente wieder nach rechts, die Steigung nimmt ab. Wenn Sie hier die Ableitung plotten, wenn das meine Funktion ist,

und ich plotte dann auch noch die Ableitung, sehen Sie, dass die Ableitung hier wächst, die Steigung wird größer, die Ableitung wächst, bei der Wendestelle ist die Ableitung praktisch konstant, und dann fällt die Ableitung wieder, das muss das Ergebnis sein, so sieht die Ableitung meiner Funktion aus,

die hat, Überraschung, ein lokales Maximum, wenn ich von Linkskurve nach Rechtskurve gehe, also gucke ich mir einfach an, ob die erste Ableitung ein lokales Maximum hat, um festzustellen, ob ich einen Wendepunkt habe von links nach rechts, umgekehrt beim Wendepunkt von rechts nach links,

da habe ich natürlich ein lokales Minimum, das heißt, ich bin einfach eine Stufe weiter bei den Ableitungen, ich gucke mir an, das wäre so ein hinreichendes und notwendiges Kriterium, ich gucke mir an, ob die zweite Ableitung einen Nulldurchgang hat,

hier ist die zweite Ableitung positiv, F' wächst, hier ist die zweite Ableitung negativ, F' fällt, und in der Mitte hier drinnen hat die zweite Ableitung einen Nulldurchgang, das kann man sich angucken, oder man prüft zum Beispiel, ob die zweite Ableitung Null ist und die dritte Ableitung ungleich Null ist,

das ist aber eine unsichere Geschichte, wenn Sie so eine Funktion haben, die garantiert keinen Wendepunkt hat, sondern die ganze Zeit nach links geht, kann das sein, dass sehr viele Ableitungen Null sind, und man einfach nicht weiß, was los ist, das sichere Kriterium ist, zu gucken, ob die zweite Ableitung einen Nulldurchgang hat,

dann gehe ich wirklich von links nach rechts oder von rechts nach links in der Krümmung. Angeleide kurzes Sinn, wir brauchen also ein paar Ableitungen, erste Ableitung, e hoch minus x Quadrat einmal Ableiten, das hat ja überall funktioniert jetzt mit Kettenregeln, mal minus 2x, die zweite Ableitung ist ekliger, ich möchte e hoch minus x Quadrat zweimal Ableiten,

also d2 nach dx Quadrat, das ist die Schreibweise dafür, zweite Ableitung, oder wenn Sie das Ding benannt haben, dass Sie sagen, das heißt f von x diese Funktion,

dann steht hier einfach f2 Strich von x, jetzt brauche ich die Produktregel, hier steht ein Produkt, die Produktregel, das war gerade glaube ich für einige überraschend, um den ersten abzuleiten, brauche ich schon wieder die Kettenregel, also eigentlich die Produktregel, und jetzt muss ich für die Produktregel den ersten Ableiten, Kettenregel, den Ableiten gibt,

e hoch minus x Quadrat mal minus 2x, das haben wir gerade gesehen, jetzt habe ich den ersten abgeleitet, mal den zweiten, mal minus 2x, das sieht komisch aus, ist aber richtig, plus den ersten stehen lassen, mal den zweiten Ableiten, also mal minus 2,

damit habe ich die zweite Ableitung, kann man ein bisschen zusammenfassen, e hoch minus x Quadrat steht überall dabei, hier steht minus 2x mal minus 2x sind 4x Quadrat minus 2, hier könnte ich noch ein Faktor 2 rausziehen, der Schönheit halber, 2 mal e hoch minus x Quadrat mal 2x Quadrat minus 1,

so, 2 mal e hoch minus x Quadrat ist die ganze Zeit positiv, ich habe keine komplexen Zahlen, hier steht immer etwas positives, jetzt können wir uns 2x Quadrat minus 1 angucken,

wie sieht das als Funktion aus, 2x Quadrat minus 1, was ist das für ein Verlauf, genau, dieser Term ist eine Parabel, der bei minus 1 durch die y-Achse geht, was wissen wir noch über die Parabel, genau, ganz banal, die ist nach oben geöffnet,

ich weiß, dass der Term so aussieht, hier da hinten, und wir können ausrechnen, offensichtlich sehen Sie, es muss zwei Nullstellen geben, die kriegen wir relativ leicht raus, Nebenrechnung hier für die beiden Nullstellen, wo wird das 0, 2x Quadrat minus 1 ist gleich 0, also x Quadrat ist gleich ein Halb,

also x ist gleich plus minus 1 durch Wurzel 2, das sind meine beiden Nullstellen hier, minus 1 durch Wurzel 2 plus 1 durch Wurzel 2, und nun ist klar, ich frage mich gerade, ob ich das hinschreibe, es ist ein bisschen viel hinzuschreiben,

nun ist klar, es sind Nulldurchgänge, dieser Term hier hat Nulldurchgänge an den Stellen minus 1 durch Wurzel 2 und plus 1 durch Wurzel 2, hier steht eine positive Zahl, mal etwas, was von minus nach plus geht oder von plus nach minus geht, also hat das insgesamt Nulldurchgänge an minus 1 durch Wurzel 2 plus 1 durch Wurzel 2,

Nulldurchgänge in der zweiten Ableitung heißt, da liegen Wendepunkte, Wendestellen, ich versuche das mal irgendwie knapp hinzuschreiben, also was habe ich gelernt,

ich weiß, dass Wendestellen allenfalls, allenfalls bei plus minus 1 durch Wurzel 2 passieren können, denn sonst wird die zweite Ableitung nicht Null, es ist notwendig, dass die zweite Ableitung Null wird,

ohne dass die zweite Ableitung Null wird, kann ich hier nicht von Linkskurve nach Rechtskurve gehen oder umgekehrt, also ob ich höchstens Wendestellen an plus minus 1 durch Wurzel 2, und ich weiß, dass sie wirklich Wendestellen dort wirklich unterstrichen Wendestellen,

weil das Nulldurchgänge der zweiten Ableitung sind, das haben wir gerade gesehen von der Figur her, weil Nulldurchgang der zweiten Ableitung, schmier ich mir hier mal zusammen, das wäre die Minimalbegründung,

man könnte auch über die dritte Ableitung gehen, offensichtlich, wenn Sie hier von der zweiten Ableitung noch eine Ableitung bilden, die wird hier offensichtlich negativ, es geht abwärts, und die wird hier offensichtlich positiv, es geht aufwärts, und ist nicht Null, Sie könnten auch nachrechnen, dass die dritte Ableitung nicht Null ist,

aber wie gesagt, das mit der dritten Ableitung ist ja nicht hundertprozentig, es gibt Fälle, in denen die dritte Ableitung auch gleich Null ist, da gucke ich ein bisschen dumm aus der Wäsche und rechne dann vielleicht die vierte aus, das macht nicht wirklich Spaß, ich denke meist wird es einfacher sein, sich zu überlegen, ob man Nulldurchgänge hat, genauso dann natürlich, wenn man lokale Maxima Minima sucht,

lässt sich meist auch einfacher so begründen. Alternativer Name für Nulldurchgang wäre Vorzeichenwechsel, die Funktion ändert ihr Vorzeichen, von Plus nach Minus, von Minus nach Plus, Sie könnten sich auch überlegen, zwischen diesen beiden Nullstellen kann die Funktion ja nicht mehr Null werden,

ich rechne irgendeinen Wert aus zwischen diesen beiden Nullstellen, stelle fest, der ist negativ, zum Beispiel an der Stelle Null kommt Minus 1 raus, dann nehme ich ein Wert links, ein Wert rechts, stelle fest, das kriegt das Positives raus, dann ist klar, das sind Nulldurchgänge, weil es links positiv ist, rechts positiv ist,

damit es negativ ist, ginge auch, ich muss gestehen, ich wäre an der Stelle faul und würde nicht anfangen, Werte einzusetzen, ich würde es einfach mit diesem Bildchen begründen, eine nach oben geöffnete Parabel, Thema erledigt, die hat Nulldurchgänge, Vorzeichenwechsel an diesen beiden Stellen.

Vielleicht noch der Verlauf insgesamt, diese Funktion hier ist ja nicht uninteressant, eine Art eine Glockenkurve zu machen, diese Funktion ist prominent in der Normalverteilung dabei, da sehen wir die später nochmal, dieses Semester, da kann man sich schon mal dran gewöhnen,

das wird der Verlauf sein, y ist gleich e hoch minus x², wenn Sie Null einsetzen, kriegen Sie 1 raus, offensichtlich, wir hatten die Wendestellen, die liegen bei Plus Minus 1 durch Wurzel 2, also bei Plus Minus 0,7 Pi mal Daumen,

minus 1 durch Wurzel 2, da liegen die Wendestellen, wir sehen, wir kommen mit einer Krümmung nach links an, an diesem Wendepunkt, krümmend dann nach rechts, und hier geht es wieder zurück in eine Krümmung nach links, eine Glockenkurve, das wird später heraus werden.