Die erste Aufgabe zur Bogenlänge, die Länge einer Funktionskurve oder nachher einer allgemeinen Kurve, nicht unbedingt einer Funktionskurve. Nachher interessiert einen natürlich nicht die Länge einer Funktionskurve so sehr, sondern die Länge irgendeiner allgemeinen Kurve. Wie lang ist irgendeine Strecke, die so

quer durch den Raum gefaltet ist. Aber erstmal die Bogenlänge einer Funktionskurve. Und zwar die Kurve folgender Funktion f von x ist gleich zweimal x plus eins hoch dreihalbe von x gleich null bis x gleich eins.

Ihr könnt ja mal vorsichtig gucken wie das aussieht. Von x gleich null bis x

hoch dreihalbe ist eins zweimal eins hoch dreihalbe. Er fängt also bei zwei an. Ich bin sehr großzügig auf der x-Achse, sei es so. Und an der Stelle eins, eins plus eins hoch dreihalbe, zwei hoch

dreihalbe, zwei mal zwei hoch dreihalbe, zwei mal zwei hoch dreihalbe. Was halten sie davon? Zwei mal zwei hoch dreihalbe. Was wird es ungefähr werden? Wunderbar. Zwei hoch zwei mal die Wurzel aus zwei. Hier haben sie zwei mal zwei mal die Wurzel aus zwei. Zwei mal die Wurzel aus zwei. Zwei hoch eins mal zwei

hoch einhalb macht zwei hoch dreihalbe. Zwei hoch eins, zwei hoch einhalb. Die beiden zusammengenommen sind zwei hoch dreihalbe. Ich habe also zwei mal Wurzel zwei macht. Vier mal Wurzel zwei macht vier mal 1,4 ungefähr. Vier mal

1,4 ungefähr. Sind also vier plus 1,6 ungefähr. Irgendwas bei 5,6. Miserable Zeichnung. Irgendso ein Stückchen hier quer durch den Raum.

Ich möchte wissen wie lang dieses Kurvenstück ist. Das fängt doch gut an. Sicherheitshalber war einige doch noch in die Formel sammeln gucken. Diese Formel für die Bogenlänge ist doch eigentlich banal. Das ist wieder Pythagoras absurderweise. Nichts blöderes als Pythagoras. Wenn sie so eine Kurve

haben, stellen sie sich die in kleine Stückchen zerlegt vor. Wie sind diese kleinen Stückchen? Ich gehe dx rein formal, gehe ich dx zur Seite und dy nach oben und frage mich jetzt wie lang ist die Hypotenuse? Dann muss ich diese ganzen kleinen Hypotenusenstückchen aufsummieren.

Wie lang ist diese Hypotenuse? Rein formal Wurzel aus dx² plus dy². Ich schreibe das mal in die Klammern. Rein formal. Solang wäre diese Hypotenuse. Ein winziges Stückchen nach rechts, ein winziges Stückchen nach oben. Solang ist

die Strecke auf der Kurve. Und diese ganzen kleinen Stückchen hier entlang der Kurve müsste ich aufsummieren. Dieses Ding hier müsste ich integrieren. Jetzt rein formal geschrieben, was die Anschauung dahinter ist. Ich integriere von a bis b dieses Ding hier. Die Wurzel aus dx², wenn das alles so einfach wäre, plus dy². Das müsste ich aufsummieren und

kriege die Bogenlänge raus. Von x gleich a bis x gleich b. dy, können wir aber umschreiben, dy ist, das bleibt so formal wie eben bei der Substitutionsregel, das ist, wenn Sie schreiben, was dy ist, was ist dy,

die Steigung, für die haben wir einen hübscheren Namen, f' von x, was ist dy, die Steigung mal dx. So hängen die beiden zusammen. dy ist die Steigung mal dx, macht also das Integral von a bis b, Wurzel dx² plus

das Quadrat der Ableitung, das Quadrat der Ableitung mal das Quadrat von dx, das wird das Quadrat von dy, das Quadrat der Ableitung mal das Quadrat von dx. Alles jetzt rein formal hingeschrieben, ist dy

ersetzen mit Hilfe von Ableitung und dx. Und jetzt sehen Sie, da kann man ja dx ausklammern, wir klammern dx aus, aus der Wurzel, aus der Wurzel holen wir das Quadrat raus, da fliegt es weg, wird eine 1 und da steht die offizielle Formel, was ist die Bogenlänge, das Integral von a bis b, Wurzel 1 plus

Quadrat der Ableitung dx. Das muss ohne Formelsammlung gehen. Ja, das reine Rechnen sollte nicht mehr die Aktion sein, meine Funktion ist 2 mal x plus 1 hoch dreieinhalb, f von x ist gleich 2 mal x plus 1 hoch

dreieinhalb, das heißt die Ableitung wird sein, Potenzregel, die dreieinhalb nach vorne bringen und um 1 zu verringern.

Eigentlich ist hier, aber das haben Sie schon gesehen, eigentlich ist hier so und so viel hoch dreieinhalb Ableiten, mal innere Ableitung x plus 1 Ableiten, aber x plus 1 Ableitung ist 1. Ich verschiebe ja einfach nur meine Funktion entlang der x-Achse. So, das wird die Ableitung sein, ich kann

kürzen und dann habe ich die Bogenlänge, ist das Integral von 0 bis 1, wollte ich das machen, Wurzel 1 plus, das Quadrieren, also 9 mal hoch Dreieinhalb fällt weg beim Quadrieren, 9 mal x plus 1 in der Wurzel dx, 3 Quadrieren, alles Quadrieren, 3 Quadrieren und hier hoch ein halb Quadrieren,

macht also 0 bis 1, jetzt habe ich in der Wurzel 9x plus 1 plus 9, 9x plus 10 dx. Mit welcher Regel gehen Sie das Integral an? Substitutionsregel, genau, hier das Innendrin ernenne ich zu z, dann ist dz

nach dx, 9x plus 10 nach dx, wenn Sie Ableiten kriegen Sie 9 raus, macht

hier dann also das Integral von 0 bis 1, Wurzel z und Sie sehen, haha Vorsicht, nicht mehr 0, nicht mehr 1, ich streiche es schon mal durch, das dx wird werden, Sie bringen das dx rüber, ein Neuntel dz, durch 9 teilen, mal dx, dx ist ein

Neuntel dz, dx ist ein Neuntel dz und jetzt natürlich z, nicht mehr von 0 bis 1, sondern von, ich setze 0 ein, habe 10, ich setze 1 ein, habe 19, für z, macht also ein Neuntel, das Integral von 10 bis 19, Wurzel z dz, jetzt brauche ich eine

Stammfunktion für die Wurzel, die Potenzregel rückwärts, ja, hier steht z auch ein halb, ich brauche was mit z hoch 3 halbe, damit das wieder was mit z hoch ein halb wird, wenn Sie den Ableiten kriegen Sie 3 halbe mal z

hoch ein halb, z hoch ein halb ist schön, aber die 3 halbe sind nicht schön, die kann ich aber reparieren, jetzt stimmt es, wenn ich den Ableite, 2 drittel mal 3 halbe mal z hoch ein halb, habe ich die Wurzel in den Grenzen von 10 bis 19, macht ein Neuntel, große Klammer, habe ich vergessen, 2 drittel, ach das hätte ich mit dem

ein Neuntel zusammenfassen können, Entschuldigung, ein Neuntel mal 2 drittel, so, 3 halbe, und hier vorne stehen dann 2 siebenzwanzigstel, macht es auch nicht viel schöner.