Grenzwerte, wir fangen mit etwas simplem an. 4n hoch 3 plus 2n plus den Sinus von n durch e hoch minus n plus 5n hoch 3 plus 6. Die Frage ist, was macht dieses Ding, wenn n über alle Grenzen wächst?

n ist gleich 1, 2, 3, 4, 5, 3 Millionen, 4 Millionen, 3 Fantastiliaden, 3 Fantastillionen Fantastiliaden und so weiter. Was macht dieser Ausdruck, wenn n immer immer größer wird? Rein ingenieurmäßig, ohne irgendwelche Grenzwertsätze oder so, sollten Sie sehen,

im Zähler ist der spannende Termin, diese 4n hoch 3, der wächst schneller als 2n. Der Sinus von n wächst gar nicht, das ist eine beschränkte Funktion, der liegt immer zwischen minus 1 und plus 1. Und im Nenner gewinnt 5n hoch 3 e hoch minus n, e hoch minus n geht gegen 0, die 6 ist konstant, 5n hoch 3 gewinnt.

Und dann sehen Sie, im Endeffekt steht da so etwas wie 4n hoch 3 durch 5n hoch 3, im Endeffekt steht da 4 durch 5. Das muss rauskommen, wenn da nicht 4 durch 5 rauskäme, wäre das total komisch.

Wir wissen also schon mal, was rauskommt, 4 Fünftel muss es werden. Etwas strenger begründet, das sollten Sie alle nochmal angucken, kriegen Sie das so hin, dass Sie diese n hoch 3, diese führende Potenz aus Zähler und Nenner rausnehmen, machen Sie das mal.

Die Zähler und Nenner alle durch n hoch 3 teilen, dann ist es ja derselbe Wert. Sie kürzen diesen Bruch sozusagen durch n hoch 3, dass sich hier losgeht mit 4 plus und so weiter. Kürzen mit n hoch 3, rechnen Sie das nochmal aus und dann überlegen Sie, wie man streng diese Grenzwertsätze anwenden kann, um dasselbe Resultat zu kriegen.

Ich kenne dann keinen, der in der Praxis wirklich diese Grenzwertsätze anwendet, um darauf zu kommen. Man guckt sich diesen Ausdruck an und es ist klar, was rauskommt. Der Übung halber, um auch ein bisschen mehr Gefühl dafür zu kriegen, was da so passiert, weil ich gerade auch einige falsche Sachen gehört habe, machen Sie tatsächlich mal das mit den Grenzwertsätzen. Also kürzen mit n hoch 3.

Also alles durch n hoch 3, 4n hoch 3 wird zu 4, 2n wird zu 2 durch n², der Sinus wird zu Sinus durch n hoch 3, e hoch minus n, e hoch minus n durch n hoch 3, die 5n hoch 3 werden zur der nackten Zahl 5 und die 6 wird zu 6 durch n hoch 3.

Warum der Ärger? Weil ich jetzt mit Grenzwertsätzen arbeiten kann. Hier oben steht nachher so etwas wie unendlich durch unendlich, das ist nicht sehr prickelnd. Der Zähler wird unendlich, der Nenner wird unendlich, da kann man nicht viel mit anfangen. Stellen Sie sich vor, Sie haben so etwas wie n durch n², unendlich durch unendlich.

Dann wird aber als Grenzwert 0 rauskommen, weil der Nenner gewinnt. Wenn Sie sowas haben wie n² durch n, unendlich durch unendlich, kommt kein Grenzwert raus, sondern das Ding geht gegen plus unendlich, weil der Zähler gewinnt. Und wenn Sie sowas haben wie 3n durch n, unendlich durch unendlich, wenn Sie wollen,

wieder kriegen Sie als Grenzwert oder sogar als konstanten Wert 3 raus. Unendlich durch unendlich ist eine schwierige Geschichte, da weiß man nicht, was rauskommt. Ebenso 0 durch 0, deshalb versucht man das zu vermeiden. Unendlich durch unendlich und 0 durch 0 anders zu schreiben. Und hier bei dem einfaches Rezept, was mache ich?

Ich ziehe die führende Potenz raus, die n hoch 3, und dann habe ich einen Bruch mit demselben Wert. Aber das steht nicht mehr formal im Grenzwert unendlich durch unendlich, sondern hier oben steht 4 und da unten steht 5. Und dann geht es mit dem Grenzwertsetzen. Oder nochmal ausbuchstabiert, was da passiert.

2 durch n² konvergiert gegen 0, beschränkt durch bestimmt Divergent. Sinus durch n hoch 3, beschränkt durch bestimmt Divergent, geht gegen 0. Selbes Phänomen hier. Noch schlimmer hier, eine Folge, die gegen 0 geht, die ist nicht nur beschränkt, sondern sie geht sogar gegen 0.

e hoch minus n, wird ja immer kleiner. Eine Folge, die gegen 0 geht, durch eine Folge, die über alle Grenzen wächst, geht gegen 0, keine Frage. Damit weiß ich, dass der gesamte Zähler, Grenzwertsatz für Summen, der gesamte Zähler gegen 4 geht,

und der gesamte Nenner, Grenzwertsatz für Summen, gegen 5 geht. Und jetzt funktioniert der Grenzwertsatz für den Quotienten, für den Bruch. Durch unendlich haben wir noch keinen Grenzwertsatz für 0 durch 0, aber auch noch keinen Grenzwertsatz. Man kriegt mit Lobital später sowas hin, aber hier haut es erstmal so nicht hin.

Der Trick ist, nicht mehr unendlich durch unendlich zu haben, das habe ich jetzt erreicht. Hier steht als Grenzwert 4 durch 5, dafür gibt es einen Grenzwertsatz. Wenn ich einen Bruch habe, dessen Zähler gegen 4 geht, dessen Nenner gegen 5 geht, dann hat der Bruch einen Grenzwert, und der Grenzwert ist, ganz dumm, 4 Fünftel. Das wäre die offizielle Begründung.

Wie gesagt, das wird man in der Praxis so nicht machen. In der Praxis sieht man, oben ist der führende Term 4N hoch 3, unten ist der führende Term 5N hoch 3, Feierabend. Falls so eine Aufgabe in der Klausur drankommt, fände ich gut, wenn Sie so eine Begründung skizzieren können,

wenn Sie da dran schreiben können, ok, 4N hoch 3, 5N hoch 3, das sind die führende Terme, und als Grenzwert gibt es 4 Fünftel. Das wäre so die Minimallösung für mich. Wenn Sie das auf viele Weise hinschreiben, wäre es mir fast noch lieber, muss ich gestehen, da kann weniger schiefgehen, wenn Sie sich so überlegen, lediglich mit Grenzwert setzen.