KB.05 Was ist 2 hoch i
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10179 (DOI) | |
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Content Metadata
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Natürlicher LogarithmusLengthAngleFactorizationExponentiationGradientComplex numberZahlSineSineComplex numberOrder (biology)Computer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Aufgabe Nummer 1. Was ist 2 hoch i? Sollte Sie erinnern an e hoch i mal phi, die eulersche Identität? Das ist die komplexe Zahl der Länge eins mit dem Winkel phi zur reellen Achse.
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Das sollten Sie im Hinterkopf haben. Komplexe Zahl der Länge eins, Winkel phi zur reellen Achse. E hoch i, können wir damit machen. Der Winkel ist 1. Das heißt, phi ist 1 im Bogenmaß, irgendwas bei 60 Grad. Praktisch die Zahl, die ich da gemalt habe, die wäre es.
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Jetzt wird das ein bisschen schwieriger, weil da steht 2 hoch i. Und da sollte sich erinnern, oh, was ist 2? 2 ist e hoch den natürlichen Logarithmus von 2. So kann man das ja umformulieren. 2 ist e hoch den natürlichen Logarithmus von 2. Womit potenziere ich e, damit 2 rauskommt, das sagt der natürliche Logarithmus von 2.
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Sie potenzieren damit und kriegen 2 raus. Eine Potenz einer Potenz, sowas wie 3 hoch 4 hoch 5. 4 Faktoren 3, 5 mal hintereinander geschrieben, dann haben Sie zum Schluss 20 Faktoren 3. Die beiden multiplizieren sich. Das ist e hoch i mal ln 2.
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Und nun kann ich tatsächlich Euler anwenden. Dieser Winkel ist ln 2. Die komplexe Zahl, die ich finde, bei Länge 1 und Winkel ln 2 im Bogenmaß. Das ist nach Herrn Euler Cosinus von diesem Winkel, Realteil, Cosinus von dem Winkel,
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weil die Potenzia die Länge 1 hat, plus i mal der Sinus von diesem Winkel. ln 2, ln e wäre 1. Womit muss ich die Zahl e potenzieren, damit 2,7 e wieder rauskommt? Mit 1.
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ln 2 wird etwas unter 1 sein. Dieser Winkel wird etwas unter 1 sein, das heißt nicht ganz 60 Grad sein. Wir liegen etwas flacher. So könnte man sich das Ergebnis dann schon vorstellen. Das ist 2 hoch i.