Wir gucken uns mal eine allgemeine kubische Parabel an. y ist gleich a x hoch 3 plus b x² plus c mal x plus d. Erste Frage, wann ist das eigentlich eine kubische Parabel? Es gibt eine mathematische Feindlichkeit, die man hin und wieder beachten sollte.

Ist das immer eine kubische Parabel? Wenn ich sage a, b, c, d sind feste, reelle Zahlen, ist das hier immer eine kubische Parabel? Korrekt, also die mathematische Feindlichkeit ist, wenn a gleich 0 ist, dann ist das natürlich keine kubische Parabel.

Wenn hier vorne der erste Term effektiv wegfällt, ein Polynom vom Grad 2, wenn Sie 0 mal x hoch 3 schreiben und b ungleich 0 ist, dann haben Sie ein Polynom vom Grad 2, aber kein Polynom vom Grad 3. Eine kubische Parabel braucht hier vorne natürlich echt x hoch 3, deshalb schreibe ich hier noch dazu, a ungleich 0.

Gegeben so eine allgemeine kubische Parabel, dann wissen Sie schon, vom Verlauf her kann die so einen Huckel haben oder auch nicht oder gerade so einen Huckel haben. Ich hätte jetzt gerne eine Bedingung dafür, wann das auftritt.

Wann tritt das hier auf? Wie kann ich das? Mit a, b, c, d ausdrücken. Wann hat diese kubische Parabel, die da rauskommt, die kann ja übrigens auch wenn a negativ ist, so rumlaufen.

Wann gibt es den Hügel, ich schreibe, ich mach es vielleicht noch mal dazu, dass der ja auch noch passieren kann. Wann gibt es den Hügel und wann gibt es den Hügel nicht? Versuchen Sie mal ein Kriterium zu finden. Was muss für a, b, c, d gelten, damit es den Hügel gibt?

Und was gilt für a, b, c, d, dass es den Hügel nicht gibt? Kann ich das? Dumme Frage, natürlich kann ich das von den Zahlen hier ablesen, a, b, c, d. Wie kann ich das von a, b, c, d ablesen, ohne das zu klotten? Dann haben wir das genau. Die erste Ableitung hat hier zwei Nullstellen. Hier haben Sie eine horizontale Tangente, da haben Sie eine horizontale Tangente.

Die erste Ableitung hat zwei Nullstellen. Hier hat die erste Ableitung gar keine Nullstelle. Hier hat die erste Ableitung eine Nullstelle. Ich will also wissen, wie viele Nullstellen hat die erste Ableitung. Wenn ich das beantworten kann, kann ich sagen, ob es einen Höcker gibt oder so gerade eben oder nicht.

Wie viele Nullstellen hat die erste Ableitung? Das gucken Sie sich an. Also, ich leite das Ding ab und möchte wissen, wie viele Nullstellen die Ableitung hat. Die Gleichung, die mich interessiert, ist also 3 a x² plus 2 b x plus c.

Die Ableitung davon, 3 a x², 2 b x plus c. D fliegt raus. D interessiert mich überhaupt nicht. D schiebt das Ganze ja nur rauf oder runter. Das macht nichts an dem Hügel da.

Das wäre die Ableitung. Die V-Durchmahl ist gleich Null. Ich möchte jetzt wissen, wie viele Xe gibt es, die das erfüllen. Ich bringe das hier auf Normalform durch 3 a teilen. Ich hatte vorher gesagt, a darf nicht Null sein. Ich kann durch 3 a teilen. Dann steht hier x² plus 2 b durch 3 a x plus c durch 3 a soll Null sein.

Jetzt kommt die PQ-Formel. X ist also, den hier mit Minus, davon die Hälfte, minus b durch 3 a plus Minus. Den quadrieren macht b² durch 9 a².

Den abziehen, minus c durch 3 a. Das sagt die PQ-Formel. Und jetzt kann ich sagen, wie viele Lösungen. Zwei Lösungen, das war der Fall mit dem Hügel. Zwei Lösungen habe ich, wenn das unter der Wurzel positiv ist.

Nicht Null, nicht negativ, sondern positiv. Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, habe ich keine reelle Lösung. Wenn Null unter der Wurzel steht, plus Minus Wurzel Null, habe ich eine einzige Lösung. Zwei Lösungen habe ich genau dann, wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht.

Genau dann, wenn b² durch 9 a² minus c durch 3 a größer ist als Null. Dann und nur dann. Zwei Lösungen, zwei verschiedene Nullstellen. Für die erste Ableitung ist dieser Fall.

Genau dann habe ich diesen Fall. Also ich habe ein Kriterium dafür, wann es hier so ein Höcker gibt. Das hier wäre ein Kriterium. Das kann man jetzt noch ein bisschen hübscher schreiben. Diese Ungleichung hier. Ich multipliziere einfach auf beiden Seiten mit 9 a². a darf nicht Null sein, habe ich gesagt.

Das könnte ich sowieso nicht dadurch teilen. a² ist immer positiv. Ich multipliziere auf beiden Seiten mit 9 a² und finde b² minus. Dieses Mal 9 a² ist 3ac dann. Muss größer sein als Null. Oder, wenn wir noch eins weiter machen wollen, b² muss größer sein als 3ac.

Das wäre die Bedingung. Der zweite Koeffizient muss größer sein als dreimal der erste Mal der dritte Koeffizient. In der Situation habe ich einen Höcker.

Und ansonsten nicht. Wenn ich einen Gleich habe, ist das gerade die Situation, wo ich eine horizontale Tangente habe, an einer einzigen Stelle und sonst nirgendwo.