Wir starten mal mit der Euler-Identität. Also wir haben e hoch i Phi gleich Cosinus Phi plus i Sinus Phi für alle Winkel Phi. Dann überlegen Sie sich mal ausgehend davon, was ist den e hoch Minus i Phi. Und davon ausgehend überlegen Sie sich mal, wie man den Cosinus Phi für alle Winkel Phi schreiben kann,

mit Hilfe von e hoch i Phi und e hoch Minus i Phi. Der lässt sich also auf e hoch i Phi und e hoch Minus i Phi reduzieren, das ist nachher in der Wechseltromtechnik nicht uninteressant, dass man von dieser bequem zu rechnenden Darstellung mit komplexen Zahlen auch relativ

einfach wieder auf richtige echte natürliche Sinus- und Cosinus-Funktionen wieder zurückkommt. Also bestimmen Sie das. Und zum Schluss etwas durchgeknallt, was ist der Cosinus von i? Das geht dann plötzlich. Sie können tatsächlich in Zahlen sagen, was der Cosinus von i sein soll.

Aber erster Schritt, was ist e hoch Minus i Phi, dann was ist der Cosinus mit e hoch Minus i Phi ausgedrückt und zum Schluss der Cosinus von i. Das ist etwas exotisch hier mit dem Cosinus von i, da sage ich noch ein bisschen mehr später dazu. Diese Geschichte den Cosinus mit e hoch i Phi und e hoch Minus i Phi auszudrücken, das ist spannend dann in der Praxis.

Mit dem e hoch Minus i Phi, da gibt es ganz viele Wege. Wir haben richtig bemerkt, das muss ja der Kehrwert sein von e hoch i Phi. Da können wir gleich noch was draus machen, das ist ein bisschen aufwendiger.

Es gibt schnellere Wege. Überlegen Sie sich, was e hoch i Phi ist. E hoch i Phi ist die komplexe Zahl mit Winkel Phi und Länge 1. Der Realteil, da der imaginäre Teil. Kommen Sie vielleicht über diesen Weg darauf, was e hoch Minus i Phi ist.

Ok, es ist nicht, was ich jetzt bei einigen gesehen habe, Minus e hoch i Phi. Minus e hoch i Phi heißt den Realteil mit falschen Vorzeichen, den imaginären Teil mit falschen Vorzeichen, das ist aber nicht gefragt. Es ist e hoch Minus gefragt, nicht Minus e hoch, sondern so viel gefragt, das ist im Allgemeinen was anderes.

Eine Möglichkeit sich das zu überlegen ist, dass Sie sagen, das heißt ja einfach negativen Winkel einzusetzen. Ich nehme nicht e hoch i Phi, ich nehme den negativen Winkel Minus Phi und bin dann hier unten. Länge 1, aber umgeklappt bei e hoch Minus i Phi.

Das wäre eine Möglichkeit dahin zu kommen, den Winkel andersrum. Das heißt, e hoch Minus i Phi, wenn Sie sich das angucken, der Realteil bleibt derselbe, aber der imaginäre Teil ändert das Vorzeichen. Es ist Cosinus Phi Minus i Sinus Phi.

E hoch i Phi war, ich schreibe es nochmal dazu, e hoch i Phi war Cosinus Phi plus i Sinus Phi für alle Winkel Phi. E hoch Minus i Phi hat ein Minus vor dem Sinus.

Also Sie können es hier aus der Grafik ablesen, um Phi nach unten im Uhrzeigersinn, statt um Phi nach oben gegen den Uhrzeigersinn. Das heißt, der Sinus hier muss sein Vorzeichen ändern. Eine Möglichkeit. Zweite Möglichkeit. Komplex konjugieren. Sie ersetzen überall i durch Minus i.

Überall i durch Minus i ersetzen. Das heißt komplex zu konjugieren. Sehen Sie es auch direkt. Wie gesagt, zweite Möglichkeit. Dritte Möglichkeit. Sie setzen hier ausdrücklich einen negativen Winkel ein. Also gar nicht so direkt aus der Zeichnung ablesen, sondern hier oben setzen Sie Minus Phi ein.

Cosinus Minus Phi. Cosinus ist eine gerade Funktion. Cosinus Minus Phi ist Cosinus Phi. Bleibt stehen. Sinus ist eine ungerade Funktion. Sinus Minus Phi wird Minus Sinus Phi. Dritte Möglichkeit. Und ich habe eben gesehen, das ist gar nicht mal so dumm als Wiederholung. Probieren Sie es mal hier mit dem Kehrwert auf.

Auch das wird funktionieren. Ich lasse das mal oben weg, damit es nicht ganz so eklig wird. Also Sie können auch tatsächlich mit dem Kehrwert rechnen. E hoch Minus i Phi. Den Exponenten mit einem Minus muss sein. 1 durch den Exponenten mit einem Plus. Nach allem, was wir bisher wissen. Also 1 durch Cosinus Phi plus i Sinus Phi.

Das ist ja der normale Euler. E hoch i Phi ist Cosinus plus i Sinus. Und das lustige ist, da können Sie jetzt weiter rechnen. Wie rechnen Sie das hier um? Und kommen am Ende auf Cosinus Phi, wir wissen ja schon das Ergebnis, Minus i Sinus Phi. Wie rechnen Sie um?

Diesen Bruch so manipulieren, dass zum Schluss Cosinus Phi minus i Sinus Phi rauskommt. Das ist nochmal eine hübsche Übung. Denken Sie an Folgendes. Wenn ich ganz normale Brüche komplexer Zahlen habe. 5 plus 6i durch 7 plus 8i. Dann rechne ich ja Zähler und Nenner mal das Komplexkonjugierte vom Nenner.

7 minus 8i. 7 minus 8i. Erweitern mit dem Komplexkonjugierten des Nenners. Das war der Trick bei den Brüchen komplexer Zahlen. Dann kann man die unten nämlich zusammenfassen und die Länge ins Quadrat von der Zahl da unten. Den Trick wenden Sie an.

Sie erweitern mit dem Komplexkonjugierten des Nenners. Das sollte hinhauen. Also ganz nach Schema F. Den nehmen, mit dem Komplexkonjugierten des Nenners erweitern. 1 durch Cosinus Phi plus i Sinus Phi. Wogemerkt erweitern. Oben und unten muss derselbe Faktor stehen.

Sonst ist es ja nicht gleich. Wenn Sie mit 13.98 modifizieren, ist es nicht gleich. Sie müssen mit 98.98 modifizieren. Dann bleibt es gleich. Cosinus Phi minus i Sinus Phi. Cosinus Phi minus i Sinus Phi. Oben steht also schon, was ich haben will. Cosinus Phi minus i Sinus Phi.

Unten sieht es komisch aus. Cosinus mal Cosinus. Ich schreibe mal Cosinus Quadrat Phi. Cosinus mal Minus i Sinus. Oder schauen wir es andersherum. Minus i mal Cosinus Phi Sinus Phi.

i mal Sinus mal Cosinus. i mal Sinus mal Cosinus. Und i mal Sinus mal Minus i mal Sinus. i mal i mal Minus 1. Minus i Quadrat. Plus Sinus Quadrat. Minus i Cosinus Sinus plus i Cosinus Sinus.

Der fliegt raus. Unten bleibt dann stehen Cosinus Quadrat plus Sinus Quadrat. Und da müssen sich alle noch mal ganz dick aufschreiben. Das ist 1 in der Tat. Also wenn Sie irgendwas aus der Trigonometrie mitnehmen, dann wird es das, dass das Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat gleich 1 ist.

Rechts eine Klicke ist 3. Krypotinuse 1. Hier haben Sie den Sinus vom Winkel. Da haben Sie den Cosinus vom Winkel. Offensichtlich sagt Betagor, dass Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat gleich 1 ist. Das brauchen wir hier. Und jetzt kommt das Richtige raus. Absurd, absurd. Das kann man sich gar nicht vorstellen am Anfang.

1 durch Cosinus plus i Sinus ist Cosinus minus i Sinus. So schräg wie das aussieht. Wir haben es ja gerade nachgerechnet. Und wir haben es eben auf drei andere Weise auch festgestellt. Auf drei andere Weise auch festgestellt. So, lange Rede, kurze Szene. Damit haben wir jetzt den ersten Teil hier. e hoch minus i Phi ist also für alle Winkel Cosinus Phi minus i Sinus Phi.

Wie kann ich also jetzt aus diesen beiden Gleichungen den Cosinus generieren? Den Cosinus nur mit e hoch i Phi und e hoch minus i Phi. Richtig. Einhalb von dem, einhalb von dem. Man sieht mit etwas Übung vielleicht erst, dass man die beiden Gleichungen addieren sollte.

Einhalb mal e hoch i Phi plus einhalb mal e hoch minus i Phi. Wenn Sie die beiden Gleichungen einfach mal addieren, finden Sie, dass die Summe von e hoch i Phi, e hoch minus i Phi ist, zweimal der Cosinus und nicht, der Sinus fliegt raus.

Das ist der Trick. Diese beiden Gleichungen addieren, dann fliegt der Sinus raus und Sie haben e hoch i Phi plus e hoch minus i Phi ist zweimal der Cosinus. Also der Cosinus, die Hälfte von der Summe von den e hoch i Hi's und so weiter. Analog gibt es den Sinus, wenn Sie die untere von der oberen abziehen und durch zwei i teilen.

Der Sinus hat ja noch das i dabei. Also e hoch i Phi minus e hoch minus i Phi durch zwei i. Das gibt Ihnen den Sinus. Das sind beliebte Formeln um von den e hoch i Phi Geschichten, mit denen man so schön rechnen kann, wieder auf handfeste Sinus-Cosinus-Funktionen zurückzukommen. Das Komplex konjugierte addieren und durch zwei teilen.

Das ist vielleicht geschickter, wenn ich so schreibe, e hoch i Phi plus e hoch minus i Phi durch zwei. Das ist vielleicht geschickter zu sehen. Das heißt, ich kann den Cosinus jedes Winkels mit e hoch i Phi und e hoch minus i Phi ausrechnen.

Jetzt können wir am Rande sagen, was der Cosinus von i sein sollte. Diese Gleichung wird auch für komplexe Winkel funktionieren. Sie können für das Phi nicht nur reale Zahlen einsetzen, sondern auch netterweise komplexe Zahlen einsetzen, insbesondere i einsetzen.

Was muss also der Cosinus von i sein? Das kostet nur ein bisschen Überwindung. Das ist eigentlich total billig. Sie setzen für Phi diese Zahl i ein. Dann kriegen sie e hoch i mal i ist e hoch minus eins. e hoch minus i mal i ist e hoch plus eins.

Minus i mal i. Minus i Quadrat minus mal minus eins. Plus eins durch zwei. So, über den breiten Daumen. Wie groß ist e hoch minus eins? So, da haben wir es doch. Denn e ist knapp vor der 3. 2,7.

Der Kehrwert von e, ein Drittel plus 2,7 ist ziemlich genau 3. 3 durch 2, also ungefähr 1,5. Wenn Sie jemanden überraschen wollen, können Sie mir erklären, dass der Cosinus von i ungefähr 1,5 ist. Vielleicht gibt es dafür auch eine Tracht Prügel. Es muss so sein, sonst ist irgendetwas kaputt in der Mathematik. Der Cosinus von i muss 1,5 sein.

Fußnote. Sie finden das hier. Diese Funktion x wird abgebildet auf den Cosinus von i mal x. Die Funktion finden Sie auf dem Taschenrechner und anderswo als Cosinus hyperbolicus. Letztes Jahr habe ich, glaube ich, andere Videos dazu gemacht, was der Cosinus hyperbolicus ist und was er mit der Hyperbel zu tun hat.

Also im Prinzip gibt es diese Funktion hier. Sie ist nicht so spannend. Die Kettenlinie. Wie hängt eine Kette durch in der Theorie? Keine Parabel, sondern mit dieser Funktion. Ich hatte alte Videos dazu. Also das hier bei Cosinus von i 1,5 rauskommt, ist jetzt nicht so spannend.

Sie sehen nur, was für einen Unsinn man plötzlich veranstalten kann. Diese Formel hier, die ist spannend. Cosinus ist ehoch i phi plus ehoch minus i phi halbe. Und analog für den Sinus, der Sinus ist ehoch i phi minus ehoch minus i phi durch 2i. Das wollte ich einfach nochmal dazuschreiben, kann ja nicht schaden. Der Sinus hat hier oben ein Minus und ich teile durch 2i.

Aus genau demselben Grunde. Die braucht man doch häufiger dann in der Wechselstromtechnik. Die beiden Gleichungen und Signalverarbeitung und anderswo.