Das Newton-Verfahren ist super, wenn es darum geht, richtig fiese Gleichungen zu lösen. x hoch x ist gleich Cosinus von x. Das ist wirklich krass. Ja, Logarithmus bilden, keine Chance. Arcoscosinus bilden, keine Chance. Linear ist es auch nicht. Wie geht das mit dem Newton-Verfahren?

Also allererster Schritt. Ich brauche eine Funktion, die zu Null gemacht wird. Newton findet Nullstellen. Newton löst nicht allgemeine Gleichungen. Das ist banal, aber gleich im Fortschritt brauchen wir ja die besagte Funktion, die zu Null wird. Das wäre die einfachste Funktion, die man bauen kann. Sie können auch sagen, auch wir nehmen die Funktion

oder irgendwas Schlimmeres, aber man bleibt sinnvollerweise bei dem Einfachsten. Und ich sollte auch sagen, eben habe ich gesagt, bei der Wurzel, wie kann man eine Wurzel mit plus minus mal geteilt ausrechnen? Hier habe ich natürlich kaum Chancen mit plus minus mal geteilt. Hier brauche ich einen Rechner, der wirklich

potenzieren in schlimmster Form kann und Cosinus in schlimmster Form kann und Logarithmus kann. Also das wird nicht mit plus minus mal geteilt gehen. Eine andere Anwendung. Mit dem von eben hier mit dem von eben hier kann man tatsächlich eine Quadratwurzel programmieren auf einem billigsten Rechner oder sogar selbst ausrechnen auf einem billigsten Rechner.

Das hier ist eine andere Geschichte. Da brauche ich einen vernünftigen Rechner, kann aber solche fiesen Gleichungen dann damit lösen. So, hier haben wir jetzt Ende des Einschubs. Hier haben wir jetzt eine Funktion, die Null werden soll. Jetzt kommt das Newton-Verfahren.

Da kann man zum Beispiel gleich ein Startwert überlegen noch. Leichter ist die, ist das Vorschreiten wahrscheinlich jetzt, wo das auch schon knifflig ist. X Null minus, so jetzt brauche ich Funktion durch Ableitung. Die Funktion ist einfach. X Null hoch X Null minus Cosinus

von X Null. Die Ableitung ist das fiese Ding. Was ist die Ableitung von X hoch X? Kleine Nebenrechnung. Wie leite ich X hoch X ab? Da hatte ich als Tipp gegeben. Schreiben Sie X hoch X mit Hilfe der Exponentialfunktion. X hoch X ist E hoch

Ln X hoch X. Das sieht heftig aus. Aber denken Sie an Folgendes. 42 ist E hoch, den natürlichen Logarithmus von 42. E hoch natürlicher Logarithmus lebt sich auf. Das geht natürlich allgemein. X hoch X, X hoch X. Das muss allgemein gehen.

Netterweise kommen jetzt die Logarithmengesetze zu unserer Rettung. Eine Potenz im Logarithmus kann ich davor ziehen. Das ist also die Ableitung von E hoch XLn X nach X.

Das wird jetzt einfacher. Welches Ableitungsgesetz, welche Ableitungregel brauche ich jetzt als erstes? Als allererstes die Kettenregel. E hoch eine Funktion von X, eine Funktion einer Funktion von X. F von G von X sozusagen. Das schreibt nach Kettenregel.

Die äußere Ableitung von E hoch irgendwas bleibt E hoch irgendwas. E hoch XLn X mal die innere Ableitung. Jetzt kommt erst die Produktregel. X mal LnX ableiten. X ableiten macht 1. Der Logarithmus bleibt stehen. Plus X stehen lassen und den Logarithmus ableiten. Ableitung vom Logarithmus ist 1 durch X.

Also X stehen lassen und den Logarithmus ableiten. So sieht das aus. Was sich in Hinterweise zu 1 kürzt. Und den hier vorne, können wir auch noch besser schreiben. E hoch XLnX. Wie schreiben sie E hoch XLnX?

Direkt. X hoch X. Dafür haben wir es hier eben gebaut. E hoch XLnX ist einfach X hoch X. Hier steht X hoch X mal Logarithmus plus 1. Das ist die Ableitung von X hoch X. Also ein allgemeiner Trick fürs Ableiten von komischen Potenzen oder Exponentialen. Versuchen sie das in die Form E hoch irgendwas zu kriegen. Damit lässt es sich typischerweise retten.

X hoch X mal Logarithmus plus 1 wird die Ableitung sein. So was wir unten haben. Also die Ableitung der Funktion. Das weiß ich jetzt. X hoch X an der besagten Stelle mal den Logarithmus plus 1.

Und den Minuskosenus ableiten ist plus Sinus. Wo ich jetzt keinen Platz mehr habe. Ärgerlich. Plus Sinus von X0. Das kann man ausrechnen. Mit einem vernünftig ausgestatteten Rechner. Das macht man 5-6 mal.

Und hat eine extrem gute Näherung für eine Zahl X, die diese Gleichung erfüllt. Jetzt haben wir uns nicht die Anfangszahl überlegt. Das haut jetzt auch nicht mehr hin. 1 wäre eine gute Anfangszahl, sage ich jetzt einfach mal an. Man müsste sich jetzt den Verlauf von X hoch X überlegen

Gucken Sie sich vielleicht als Hausaufgabe oder im Tutorium an. So habe ich einen Anfangswert. So komme ich auf den ersten Schätzwert X1. Und dasselbe macht man jetzt wieder. X2 ist gleich X1 minus X1 hoch X1. Blablabla. Und so weiter. Bis es einem reicht. An Genauigkeit.