16B.3 Dreiecksberechnung, drei Seiten gegeben
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10097 (DOI) | |
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Content Metadata
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Mathematik 1, Winter 2012/201380 / 187
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SineComputer animation
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Inverse functionAngleCubePropositional formulaGradientNegative numberSineComputer animationDiagram
Transcript: German(auto-generated)
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Noch eine Aufgabe von der Sorte. Ich weiß von einem Dreieck Folgendes. Nämlich die Seitenlängen aller drei Seiten. Und die sollen sein 2 und 7 und 8. Ich suche den Winkel gegenüber der Seite mit der Länge 2.
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So ein Dreieck mit den Seitenlängen 2, 7 und 8. Das ist ja fast gleich schenklich. Nehmen wir an, so wird das aussehen. 2, 7, 8.
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Ich suche den Winkel gegenüber der 2. Nennen wir ihn mal wieder Alpha. Das geht natürlich mit dem Cosinussatz. Ich suche eine Gleichung, die drei Seitenlängen und ein Winkel miteinander verknüpft. Da wäre der Sinussatz ungeschickt.
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Der Sinussatz verknüpft zwei Winkel, zwei Seitenlängen. Der Cosinussatz ist gut. Der verknüpft drei Seitenlängen und einen Winkel. Dann löse ich den passend auf. Also der Cosinussatz sagt, in Abwandlung von Pythagoras.
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Wenn das hier Pythagoras wäre, wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, dann stünde da 2² ist gleich 7² plus 8². Sie sehen, das ist eine Lachnummer. 2² gleich 7² plus 8² kann doch nicht wirklich sein. Aber wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, wenn Alpha ein rechter Winkel wäre und die zweite Hypotenuse wäre,
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dann wäre das so. Hypotenusenquadrat ist gleich Summe der Kathetenquadrate. Aber es ist kein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb kommt noch auf der rechten Seite minus 2 mal 7 mal 8. Natürlich diese 7, diese 8. Die 2 steht ja als Faktor davor.
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2 mal die Seitenlängen. 2 mal die Seitenlängen, nämlich 7 und 8. Mal den Cosinus von Alpha. Das ist der Cosinussatz. Und dann kriegen wir... Also 4 ist gleich 49 plus 64 minus... Die geschickte Reihenfolge ist 7 mal 8.
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56 mal 2 sind 112. Mal Cosinus Alpha. So, auflösen. Ich will ja den Cosinus Alpha haben, also bringe ich erst mal die 49 und 64 rüber. 49 und 64 sind 113.
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4 minus 113 sind minus 112 Cosinus Alpha. Ausgerechnet sind minus 109.
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Auf beiden Seiten kann ich das Minus loswerden. Dann habe ich also... 109 ist gleich 112 Cosinus Alpha. Und damit der Cosinus Alpha ist gleich 109, 112. Und damit ist Alpha gleich der Arcuscosinus von 109, 112.
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Und das jetzt im Kopf. Es ist ja kurz vor der 1. Arcuscosinus von etwas knapp vor der 1. Ich muss gleich noch etwas zu dem Äquivalentfall sagen.
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Der ist nicht so hundertprozentig, aber halbwegs vernünftig. Was passiert hier eigentlich? Der Arcuscosinus von etwas knapp vor 1. So läuft der Cosinus. Der Arcuscosinus von etwas knapp vor 1. Sehen Sie, eine große Überraschung,
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ist ein sehr kleiner Winkel, ein Winkeldicht bei 0. Offensichtlich, das jetzt etwas genauer zu schätzen, da müsste man jetzt tatsächlich mit der Parabellnäherung für den Cosinus anfangen, möchte ich Ihnen und mir gerade ersparen. Man sieht auf jeden Fall, es ist kein unglaublich zahl.
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Es ist ein Winkel, der dicht bei 0 ist, wie sich das gehört. Ich muss noch etwas zu dem Folgefall sagen. Auch der Arcuscosinus ist ja nicht wirklich die Umkehrfunktion vom Cosinus. Was wären andere mögliche Winkel, die ich hier angeben könnte,
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als Lösung? Der andere spannende Winkel ist der mit Minus davor. Minus Arcuscosinus wird es auch bringen, weil der Cosinus eine gerade Funktion ist. Aber da haben Sie einen negativen Winkel. Im Dreieck einen negativen Winkel anzugeben, ist ein bisschen schräg. Wir wollen offensichtlich den positiven Winkel.
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Deshalb ist das kein so großes Drama. Natürlich kann ich auch 360° drauf addieren oder 360° abziehen. Das ist sowieso nicht so spannend im Dreieck. Vielfache von 360°. Es gäbe 2 Kandidaten plus den Arcuscosinus minus den Arcuscosinus. Aber wir geben im Dreieck den positiven Winkel an.
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Insofern mit etwas Körnchensalz ein Äquivalenzfall. Beim Cosinussatz haben Sie nicht den Ärger mit der Mehrdeutigkeit. Der Cosinus ist an der Stelle eine freundlichere Funktion, würde uns diesen Winkel liefern.