Ich möchte mal mit Ihnen folgendes Polynom untersuchen. y ist gleich 1 minus x² halbe plus x hoch 4 vierundzwanzigste. Das werden wir nächstes Semester noch kennenlernen als eine ziemlich einfache Annäherung an den Cosinus.

Schreibe ich schon mal als Anmerkung dazu. Nächstes Semester bei den Taylor Polynomen wird es heißen, geht es um Näherungspolynome. Dieses hier wird eine Näherung an den Cosinus sein, das ist schon mal vorab bemerkt.

Der Vorteil von solchen Polynomen ist, dass man die ziemlich dumm ausrechnen kann. Eine Zahl quadrieren, da muss ich nur multiplizieren können. Eine Zahl in die vierte Potenz, da muss ich auch nur multiplizieren können. x mal x mal x mal x. Durch 24 teilen, dazu muss ich teilen können, durch 2 teilen, plus minus. Das ist alles ganz banale Arithmetik, plus minus mal geteilt.

Das kann man relativ einfach veranstalten. Cosinus auszurechnen, Exponentialfunktionen, Logaritmus, Wurzel auszurechnen, das ist eklig. Man benutzt Polynome, Funktionen von dieser Art hier, um diese ekligen Funktionen anzunähern.

Das ist was der Taschenrechner macht, das ist was der Computer macht, was das Handy macht. Die rechnen Polynome aus, die rechnen nicht den Cosinus wirklich aus, sondern sie tun so, als ob sie Cosinus und ähnliche Funktionen ausrechnen. Aber was sie eigentlich machen, ist, Polynome auszurechnen und damit Cosinus und Konsorten anzunähern. Wie gesagt, ist hier eine sehr grobe Näherung an den Cosinus.

Wir gucken uns mal an, wie die aussieht. Sie überlegen sich mal den Verlauf, erste Aufgabe. Wie sieht die im Verlauf aus, ohne jetzt Werte großartig einzusetzen? Was können Sie über den Verlauf dieser Funktion sagen? Wie geht die ins Unendliche? Wie geht die durch die Y-Achse durch?

Und dann bestimmen wir mal Nullstellen. Wo wird dieses Polynom Null? Stichwort biquadratische Gleichung. Das gucken wir uns gleich vielleicht nochmal ausführlicher an. Aber fangen Sie an mit dem Verlauf. Wie sieht diese Funktion grob skizziert aus?

Zum Verlauf. Ich wollte wirklich so einen groben Verlauf haben, einfach nur wie das Pi mal Daumen aussehen kann. Keine konkreten Werte. Die meisten haben gesehen, wenn sie sehr große Zahlen für X einsetzen, gewinnt der letzte Term.

Ich mache immer so den Test im Geiste. Was passiert, wenn ich eine Million einsetze? Eins, eine Million ins Quadrat, eine Million hoch vier. Eine Million hoch vier ist massiv mehr als eine Million ins Quadrat. Der letzte hier wird gewinnen. Und der ist positiv. Das heißt, auf lange Sicht wird die Funktion nach Plusunendlich entweichen müssen.

Nicht nach Minusunendlich. Sie wird auch nicht endlich bleiben. Sie geht nach rechts oben sozusagen. Wenn Sie sehr negative Zahlen X einsetzen, Minus eine Million hoch vier ist ja dasselbe als ob Sie plus eine Million hoch vier rechnen. Es muss dasselbe passieren. Er muss für negative Zahlen nach Plusunendlich entweichen.

Wenn Sie Null einsetzen, kriegen Sie offensichtlich eins raus. Und man kann sich noch überlegen, wie die Funktion durch die eins durchgeht. Wenn Sie dicht bei X gleich Null sind, wird hier dieses Minus X Quadrat halbe gewinnen. Das habe ich bei Vieren zumindest gesehen. Nehmen Sie einfach als Beispiel ein Zehntel.

X gleich ein Zehntel. Dann steht hier ein Hundertstel halbe. Und hier steht ein Zehntausendstel durch 24. Der letzte hier macht den Braten nicht fett. Dicht bei X gleich Null wird der zweite über den letzten gewinnen.

Eins Minus. Und Sie sehen, das ist eine quadratische Parabel. Eine quadratische Parabel, etwas flacher gemacht. Nach unten geöffnet und um eins nach oben geschoben. Das passiert hier dicht bei X gleich Null. Ohne dass ich großartig Werte eingesetzt habe. So muss er durch die Y-Achse gehen. Jetzt habe ich an einer Stelle gesehen, die beiden treffen sich natürlich nicht im harten Knick.

So eine Sorte an Funktion hat keine harte Knicke. Das kann es nicht sein. Das wird ein weicher Übergang dazwischen sein. Wenn Sie mit dem Mikroskop an dieser Stelle gucken, sehen Sie eine nach unten geöffnete quadratische Parabel. Aber die muss natürlich dann einen weichen Übergang machen zu diesem Verlauf hier.

Wie genau der stattfindet, dieser Übergang. Der könnte ja auch so aussehen. Wir stellen gleich fest, er sieht so aus. Erstmal wissen wir nicht, wie er aussieht. Er sieht so aus. Das wissen wir gleich. Wir stellen fest, es gibt genug Nullstellen. Wenn er so aussähe, gäbe es gar keine Nullstellen.

Wenn es so wäre, gäbe es genau eine Nullstelle auf der rechten Seite. Es wird so aussehen. Eine Sache noch als Wiederholung von gestern. Wir hatten diverse Sorten an Funktionen. Monoton steigende Funktionen, gerade, ungarde, periodische Funktionen.

Was für eine Sorte an Funktionen ist das? Eine gerade Funktion. Die muss spiegelsymmetrisch zur Y-Achse sein. Egal wie sie jetzt auf der rechten Seite läuft. Die linke Seite muss spiegelsymmetrisch sein. Wenn sie so läuft, rechts, muss sie so laufen auf der linken. Oder wenn sie so läuft, auf der rechten, so auf der linken. Oder wenn sie so rechts läuft, muss sie so auf der linken laufen.

Eine gerade Funktion. Sie können es dann erkennen, dass es nur gerade Exponenten gibt. Das ist ein x hoch 0, x², x hoch 4. Ein Polynom, in dem nur gerade Potenzen von x vorkommen. Das ist eine gerade Funktion. Diese Funktion hat keinen Wert darauf, ob sie minus 3 oder plus 3 einsetzen.

Das wird durch die Potenzen hier glatt gebügelt, das Vorzeichen von x. Das muss eine gerade Funktion sein. Das heißt, wir wissen jetzt schon, entweder gibt es gar keine Nullstelle. Das wäre der obere Verlauf. Oder es gibt zwei Nullstellen. Oder es gibt vier Nullstellen. Auch maximal vier. Ich habe bei einem Zehn Nullstellen gesehen.

Das Ding kann niemals zehn Nullstellen haben, weil es ein Polynom vierten Grades ist. Wenn Sie das hier maximal in Linearfaktoren aufsplitten, kriegen Sie maximal vier Linearfaktoren. Also maximal vier verschiedene Nullstellen. Es kann nicht mehr als vier Nullstellen haben.

Und das wird es gleich auch tatsächlich haben, vier Nullstellen. Die meisten hatten auch die Gleichung dann so ungefähr hingekriegt. Um die Nullstellen auszurechnen, schreibe ich also, 0 ist gleich, 1 minus x², halbe plus x hoch 4, 24.

Das sieht erstmal hier blöd aus. Eine Gleichung vierten Grades macht nicht so viel Spaß. Netterweise ist das eine bi-quadratische Gleichung. Ich will sagen, eine Gleichung mit Quadraten von Quadraten, x² und x²².

Ich substituiere, z ist gleich x² und kann die Gleichung banal lösen. Dann steht hier nämlich, das ist 1 minus z, halbe plus z², 24.

Eine ganz normale quadratische Gleichung für das Quadrat von x. Das forme ich um, dass ich die PQ-Formel anwenden kann. Alles mal 24, dann steht da 0 ist gleich 24. Ich sortiere das sofort um, damit es mehr nach PQ-Formel aussieht.

z² 24 mal 24 ist z². Minus z halbe mal 24 ist minus 12 mal z. Und hier steht noch plus 24. Und dann kriegen wir mit der PQ-Formel z ist gleich. Den hier halbieren mit negativen Vorzeichen macht 6 plus minus. Den hier vorne quadrieren ist 36.

Den hier abziehen 24, so merke ich mir die PQ-Formel. Bin ich also bei 6 plus minus Wurzel 12. Wurzel 12 vereinfachen, 12 ist 3 mal 4. Wie kann ich also die Wurzel 12 vereinfachen?

Wurzel eines Produkts ist Produkt der Wurzel. Wurzel 3 mal 2. Ich wollte gerade was sagen zur Wurzel einer Summe, das ist immer wieder ein Drama mit der Wurzel aus Summen. Brandnotiz.

Wurzel eines Produkts ist das Produkt der Wurzel. Aber die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzel. Auch wenn es noch so verlockend ist. Bitte nicht. Die Wurzel eines Produkts, das geht. Aber die Wurzel einer Summe geht nicht. Das hatte ich gerade an einer Stelle gesehen. Deshalb nochmal der Hinweis.

Jetzt habe ich aber erst z. Ich will ja nicht z, ich will x wissen. z ist gleich x². x² ist 6 plus minus Wurzel bla. Das heißt x selbst ist gleich plus minus die Wurzel aus dem was da steht.

6 plus minus 2 Wurzel 3. Und hier wirklich alle vier Fälle durchdeklinieren. Das sollte ich mal dazuschreiben. Dieses plus minus könnte man ja fehlinterpretieren. Das heißt überall plus nehmen oder überall minus nehmen. Dann habe ich nur zwei Möglichkeiten. Das sind wirklich alle Möglichkeiten. Eins von den beiden vorne, eins von den beiden hinten.

Vier Möglichkeiten wirklich ausreizen. Das sind 4 Nullstellen. Was hätte eigentlich schief gehen können? Ich bin hier so ein bisschen schlampig mal wieder. Was hätte eigentlich auf dem Wege schief gehen können? Was müsste ich mir noch überlegen?

Ja, also es kann an zwei Stellen mit der Wurzel schief gehen. Hier oben die Wurzel kann schief gehen. Wenn da was negatives drunter steht, dann habe ich sofort verloren. Ich habe nicht mal ein z. Das heißt es gibt keine einzige Nullstelle, wenn hier oben schon was negatives drunter steht. Keine Nullstelle in reellen Zahlen. Das wäre dieser Fall hier gewesen.

Die Kurve biegt vor der x-Achse ab. Es gibt gar keine einzige Nullstelle. Netterweise, Glück gehabt, das geht klar. Unter der Wurzel hier steht etwas Positives. Wir finden mindestens eine Nullstelle da. Aber es hätte auch hier unten schief gehen können bei dem Minus. Wenn ich hier rechne 6 minus 2 Wurzel 3, könnte ja sein, was negatives rauskommt.

Und ich hier die Wurzel aus was Negativen bilde, wenn ich das Minus da benutze. Netterweise nicht. Wurzel 3 ist 1, noch was, 2 mal 1, noch was, kann ich von 6 abziehen. Was hier steht, ist auf jeden Fall größer als Null. Auch mit dem Minus-Zeichen. Kein Problem damit. Deshalb geht immer die Wurzel.

Und ich kriege tatsächlich 4 verschiedene Lösungen. Das sollte man sich sicherheitshalber überlegen. Sonst sagen Sie nachher aus, es gibt 4 Möglichkeiten, aber es gibt leider nachher nur 2. Weil der z.B. exakt aufsetzt auf die Achse. Okay. Wir können jetzt nur weiter auf die Uhr gucken.

Das wird mir ein bisschen knapp. Wenn Sie Spaß haben, können Sie mal tatsächlich ausrechnen, wo diese Nullstellen echt liegen. Bei welchen Zahlenwerten die liegen. Ich habe ja gesagt, diese Funktion ist eine Näherung für den Kosinus. Sollten wir mal einen Kosinus dazu malen. Stellen Sie sich den Kosinus vor.

So in dieser Art. Den Kosinus. Mit viel guten Willen. Wir sehen, dieser innere Berg von dem Kosinus, da haben wir vielleicht eine Chance. Weiter außen haben wir keine Chance. Aber dieser innere Berg vom Kosinus könnte so halbwegs funktionieren. Wenn Sie Lust haben, bestimmen Sie mal die Nullstelle vom Kosinus.

Das sollte ja nicht so schwierig sein. Und vergleichen Sie die ersten Nullstellen vom Kosinus. Und vergleichen Sie mit den ersten Nullstellen von unserer Funktion hier. Dann haben Sie schon mal eine Idee, wie gut, wie schlecht die Näherung ist. Pi mal Daumen ist das gar nicht mal so dumm.

Das zu diesem Polynom.