folgende Funktion x hoch 4 minus 7x hoch 3 plus 12x² durch x² minus 6x plus 9. Ich wüsste gerne, wie diese rationale Funktion durch ihre Polstellen und ihre Nullstellen durchgeht.

Wie wird x Polstellen und x Nullstellen haben? Wie geht die durch die Nullstellen durch? Wie geht die in die Polstellen rein? So oder so? Überlegen Sie sich das mal. Die Zerlegung mal gerade gemeinsam.

Oben sehen Sie x² kann man ausklammern. x² mal x² minus 7x plus 12. Unten sehen Sie binomische Formel x minus 3 in Klammern ins Quadrat. Dann bleibt jetzt noch das mit dem x² minus 7x plus 12.

Korrekt. x² mal x minus 3 mal x minus 4. Nebenbei Vieta, wenn Sie sich erinnern, waren in den Videos von Anfang der Woche oder so. Hier die 12 ist es minus 3 mal minus 4, ist die 12.

Diese minus 7 ist minus 3 plus minus 4. Mit etwas Übung kann man das tatsächlich erkennen, ohne die PQ-Formel zu benutzen. Unten steht x minus 3. Jetzt skizzieren Sie mal. Wie geht diese Funktion durch Ihre Nullstellen? Wie geht diese Funktion in Ihre Polstellen rein?

Erste Schritt ist natürlich zu vereinfachen. Hier das Quadrat kann ich gegen den kürzen. Jetzt sehe ich, es gibt genau eine Polstelle. x gleich 3 ist eine Polstelle. x gleich 4 ist eine Nullstelle, eine einfache Nullstelle. x gleich 0 ist eine doppelte Nullstelle.

Das kann ich jetzt zum Skizzieren benutzen. Bei 3 eine Polstelle. Bei 4 eine Nullstelle.

Und bei 0 eine doppelte Nullstelle. Und ich weiß noch etwas über den Gesamtverlauf. Notfalls rechnen Sie Asymptotenpolynomen aus. Wenn Sie hier eine Polynomendivision machen, wird das losgehen mit x² plus so und so viel x usw.

Der führende Term wird x² sein in dem Polynom. Wenn Sie Polynomendivision machen. Diese Funktion wird im Unendlichen wie eine Parabel nach oben aufgehen. Man könnte noch ein bisschen mehr haben. x² plus so und so viel x plus so und so viel. Aber der wesentliche Term ist x². Das heißt, ich muss von da kommen. Ich muss nach da gehen.

x gleich 0 ist eine doppelte Nullstelle. Das heißt, ich nähere mich hier von oben an. Und gehe wieder nach oben weg. x², eine doppelte Nullstelle. Ich berühre die x-Achse nur, so parabelförmig.

3 ist eine einfache Polstelle. Das heißt, ich gehe zu einer Seite weg und komme von der anderen Seite wieder. Dann muss ich bei der 4 durch die Achse. Die 4 ist eine einfache Nullstelle. Ich gehe nicht zur anderen Richtung weg. Geht ja auch gar nicht. So muss das laufen.

Das wäre die einfachste Funktion dieser Art, die man so skizzieren könnte. Natürlich habe ich mir jetzt nicht überlegt, dass sie nicht vielleicht doch so läuft wie im letzten Mal. Es wird bei dieser Art von Funktion wohl nicht so schlimm werden. Sie wird so aussehen und es wird keinen Haken haben. Also die wird hier zum Schluss parabelförmig wieder hochgehen.