Noch was zum Erwartungswert. Ich werfe einen idealen Würfel, das soll x sein, Augenzahl eines idealen Würfels, und ich werfe obendrein noch eine ideale Münze, das nenne ich y, das soll das Ergebnis einer idealen Münze sein, die ich auch werfe, ideal natürlich, jetzt nicht

dekliniert, ideale Münze, schlicht und ergreifend Kopf ist gleich 1 und Zahl ist gleich 0. Ich übersetze von Kopf und Zahl der Münze auf eine Zahl, 1 oder 0, und dann sage ich meine Zufallsgröße z soll sein, die Summe von diesen beiden,

und sie rechnen aus, was ist der Erwartungswert dieser Zufallsgröße z. Das wirkt so ein bisschen sehr an den Haaren herbeigezogen, denken sie an die Physik. Sie messen

einen Anteil einer Geschwindigkeit und einen anderen Anteil einer Geschwindigkeit, und die Frage ist, was macht denn eigentlich die Summe? Solche Geschichten passieren tatsächlich im wahren Leben. Ja, das haben sie gemerkt, man darf einfach die Erwartungswerte addieren, aber ich wollte das hier noch mal ausführlich

vorführen, warum das erlaubt ist. Warum ist der Erwartungswert einer Summe die Summe der Erwartungswerte? Sie wissen ja schon aus der Vergangenheit, man muss vorsichtig sein, denken sie an sowas. Die Wurzel aus 1 plus 2 ist nicht die Wurzel aus 1 und die Wurzel aus 2. Sie haben schon gelernt, man muss ein bisschen vorsichtig sein, keine neuen Regeln erfinden.

Was ist mit dem Erwartungswert einer Summe? Netterweise geht es da. Der Erwartungswert der Summe ist die Summe der Erwartungswerte. Das gucken wir uns jetzt erst mal an. Also einmal die aufwendige Rechnung, der Erwartungswert von z. Wenn ich das nicht wüsste, dass es so einfach geht, dann würde ich sagen, wir werfen

unseren Würfel sechs Möglichkeiten. Sechs, selten so geschmiert, so und dann werfen wir die Münze. Die Münze sagt immer 0 oder 1.

0 oder 1 und so weiter und so weiter und hier haben wir überall die Wahrscheinlichkeiten, ein Sechstel durch die Bank, ein Sechstel und hier haben wir für die Münze ein Halb, ein Halb. Was kriege ich jetzt als Erwartungswert? Der Erwartungswert der Summe, da schreibe ich noch mal x plus y.

Der Erwartungswert der Summe wird jetzt sein. Ich summiere über alle möglichen Werte, die rauskommen, Wahrscheinlichkeit mal Wert. Was haben wir hier? 1 plus 0. Der Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit von ein Sechstel mal ein Halb.

Ein Sechstel mal ein Halb mal 1 plus 0. Ein Sechstel mal ein Halb mal 1 plus 1, der Wert 2. Ein Sechstel mal ein Halb mal 1 plus 1, der Wert 2. Der Wert 2 kann aber auch anders passieren. Ein Sechstel hierfür. Der Würfel macht die 2 und die Münze macht die 0. So geht es auch. Ein Sechstel mal ein Halb.

mal 2. Diese Wahrscheinlichkeit mal 2. Beim nächsten geht es so weiter. Wie oft kommt 3 als Ergebnis raus. Ich kann rechnen 2, 1 oder ich kann rechnen 3,

0. Da steht wieder dasselbe. Und so weiter und so weiter. Das ändert sich dann nur beim allerletzten. Was ist der größte Wert, der rauskommen kann? Genau, das größte wäre 6 plus 1. Das ist der größte Wert, der vorkommen kann. Und wenn sie sich angucken,

was ist die Wahrscheinlichkeit für den größten Wert? Da muss der Würfel auf die 6 fallen. Und unsere Münze muss die Zahl 1, dann zur Zahl 1 umgerechnet werden. Ein Sechstel mal ein Halb mal 1, nicht mal 2. Das wäre also die Wahrscheinlichkeit. Ein Sechstel mal ein Halb ohne diese

zwei. Also der allererste Fall und der allerletzte Fall, die haben diese Spezialwahrscheinlichkeiten. Der Rest geht so durch. Na ja. Und wenn sie sich das angucken, sehen sie, wie sie das zusammenfassen können. Fragezeichen.

Ja, also überall steht ein Sechstel mal ein Halb. Das kriegen wir rausgezogen. Ein Sechstel mal ein Halb. Und dann haben wir der 1 plus 2 mal 2 plus 2 mal 3. Plus und so weiter. Der letzte von der Sorte, den hätte ich hier auch hinschreiben sollen, ist 2 mal 6. Aber nur 1 mal 7.

Dann haben wir hier 2 mal die Zahlen von 2 bis 6. 2 und 3 und so weiter bis 6. Plus 8. Und dann sind wir bei 1 Sechstel mal

1 Halb mal 2. Die 2 fliegt weg. Die 8 muss ich zu 4 machen. 2 plus 3 plus und so weiter. Plus 6. Und die 8 muss ich zu 4 machen.

Das können Sie jetzt zu Fuß ausrechnen. Aber stellen Sie sich vor, ich schreibe statt der 4 dahin plus 3 plus 1. Statt der 4 schreibe ich plus 3 plus 1. Dann steht da, das ist ein Sechstel mal 1 plus 2 plus 3 plus und so weiter bis plus 6.

Plus 3 Sechstel. 3 Sechstel, Überraschung, ist ein Halb. Und das ist, was wir eigentlich auch vorher schon wussten. Hier steht der Erwartungswert vom Würfel. Ein Sechstel mal die Summe der Augenzahnen. Da steht der Erwartungswert von der Münze.

Total logisch, dass das so funktionieren muss. Man muss diese Rechnung nicht machen. Wenn Sie zwei Messungen machen und bilden den Mittelwert der Summe der beiden Messergebnisse, dann können Sie natürlich stattdessen die Mittelwerte einzeln addieren. Das kann man sich notfalls überlegen, indem man es wirklich mit Mittelwerten hinschreibt.

Ich hoffe, dass es so offensichtlich ist, dass ich es nicht hinschreiben muss.