Wir gucken uns folgende Gleichung an. x hoch 5 plus 3x hoch 3 minus x ist gleich 0. x ist eine reelle Zahl. Eine algebraische Gleichung will sagen, ein Polynom ist gleich 0. Algebraische Gleichungen und Polynome hängen also

extrem miteinander zusammen. Ich suche nach den Nullstellen von Polynomen. Wir fangen gleich mal damit an uns zu überlegen, wie viele Nullstellen es maximal geben kann. Wie viele x finden sie höchstens, die das erfüllen können?

Richtig, fünf. Und das hängt jetzt mit der Überlegung von eben zusammen mit den Linearfaktoren. Wenn ich hier Linearfaktoren abspalte, kann ich das höchstens fünf mal tun. Dann sind meine Potenzen von x weg. Also habe ich höchstens fünf Linearfaktoren und damit höchstens fünf Nullstellen.

Es kann passieren, dass man Faktoren zum Schluss über behält wie x² plus 1 ohne Nullstellen. Es kann passieren, dass Nullstellen mehrfach auftreten, deshalb höchstens fünf Nullstellen. Bestimmen Sie die fünf Nullstellen,

wenn es fünf sind oder wie viele es auch immer sind. Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung. Eine Nullstelle ist offensichtlich Null, x gleich Null ist eine Nullstelle. Ist so ein Trick, den man dann irgendwann

auswendig weiß. Wenn Sie sehen, hier steht nicht noch am Ende plus 13, ist klar Null ist eine Nullstelle. Wenn Sie hier Null einsetzen, Null, Null, Null kommt dieses Polynom durch x minus Null zu teilen, muss aufgehen. Das wäre natürlich

pervers, das so zu machen. Man sieht, dass man x ausklammern kann. Also da machen wir keine Polynom Division, sondern ist offensichtlich, dass man x ausklammern kann. x hoch 4 plus 3x² minus 1. Dann habe ich x ausgeklammert. Das ist Polynom Division. Sie können jetzt hier wirklich sagen, okay ich

x hoch 5 plus 3x hoch 3 minus x durch x minus Null gleich und so weiter. Rest Null. Wäre ein bisschen überkandidiert, das als Polynom Division zu schreiben. Klammert Null aus. Nun interessieren mich die Nullstellen von dem

Polynom, was da stehen bleibt, als das kompliziertere. Wieder mal eine b-quadratische Gleichung. Also hier, die Nullstellen davon, Fragezeichen, b-quadratische Gleichung. Ich setze mal z ist gleich x². Dann habe ich da z² plus 3z minus

1 ist gleich Null. Wieder mal PQ-Formel. z ist gleich minus dreieinhalb plus minus 9 viertel plus 1. 13 viertel, also minus dreieinhalb plus minus Wurzel

13 halbe. Das sind meine zwei Lösungen für z plus minus etwas ungleich Null. Unter der Wurzel steht netterweise eine soweit kein Problem. Ich habe zwei Lösungen für z. Jetzt ist aber z das

Quadrat von x. Ich suche x. Zwei Lösungen für z. Wie komme ich zu x? Was ist das Problem? Also an zwei Stellen aufpassen. Wenn ich x bestimme

plus minus die Wurzel aus z. x ist gleich plus minus die Wurzel aus z. Aber Vorsicht, z muss Null oder größer sein. z kann nicht negativ sein. Wenn z negativ ist, die Verlage x ist eine reelle Zahl, haut das nicht hin. Eine

reelle Zahl ins Quadrat kann nicht negativ sein. Und Sie sehen hier minus dreieinhalb minus Wurzel 13 halbe. Das kann nicht sein. Dieses Minus hier ist ausgeschlossen. Wenn z das Quadrat einer realen Zahl ist, ist es Null oder mehr. Das Minus kann nicht funktionieren. Minus dreieinhalb minus Wurzel 13 halbe

wäre negativ. Plus ist okay. Minus dreieinhalb plus Wurzel 13 halbe ist positiv. Warum eigentlich? Warum ist minus dreieinhalb plus Wurzel 13 halbe positiv? Wie sehe ich das ohne Taschenrechner? Genau. Wurzel 13 ist größer als Wurzel 9. Wurzel 9 wäre 3. Wurzel 13 ist mehr als 3. Und ich

würde nur dreieinhalb ab auf der Seite. Kein Problem. Hier oben hätte man es auch sehen können. Also in der Tat, wenn ich das Plus nehme, ist das z eine positive Zahl. Kein Problem mit dem Wurzelziehen. x ist also plus minus die

Wurzel aus minus dreieinhalb und hier nur plus Wurzel 13 halbe. Ich kriege zwei Null Stellen. Ich kriege nicht drei Null Stellen und nicht vier Null Stellen, wie man hoffen könnte. Eigentlich hätte ich ja ein Recht auf vier Null Stellen. Ich kriege aber nur zwei. Jetzt überlegen Sie sich mal

vielleicht noch, was das in Bezug auf Linearfaktoren heißt. Die ursprüngliche Aufgabe ist gelöst, aber man kann sich noch überlegen, was denn das mit Linearfaktoren heißt. Ich kann das noch mal zusammenfassen. Also Null Stellen. Sicherheitshalber, die reellen Null Stellen sind die

folgenden. x gleich Null oder x gleich Wurzel minus dreieinhalb plus Wurzel 13 halbe oder x gleich minus dieselbe Wurzel. Drei Null Stellen. Ich habe

ja eigentlich recht auf fünf Null Stellen, aber gut, wir kriegen nur drei Null Stellen bei dem. Aufgabe gelöst. Aber jetzt überlegen Sie sich noch, was heißt das jetzt für Linearfaktoren? Ich habe zwei Null Stellen gefunden, aber

ich hätte Recht auf Viere. Was geht hier linearfaktormäßig schief? Zerlegen Sie das mal in Linearfaktoren oder in Faktoren, wie auch immer es geht. Was bleibt hier über? Warum geht das schief? Der Übung halber wollte ich noch überlegen, was denn mit dem Polynom hier passiert. Ich kenne zwei Null Stellen im Reellen. Das heißt, ich kann dieses Polynom doch

vereinfachen, wenn ich mich daran erinnern würde. x hoch 4 plus 3 x Quadrat minus 1. x hoch 4 plus 3 x Quadrat minus 1. Das Ding muss ich doch vereinfachen können. Ich könnte das jetzt teilen durch x

minus Wurzel. Habe ich da gleich vergessen. Durch x minus diese Wurzel, x plus diese Wurzel könnte ich das teilen. Durch die Wurzel hier teilen, das wäre ein bisschen nervig. Durch was kann ich

das auf einen Schlag teilen, dieses Polynom? Ich weiß, es hat diese Null Stelle und ich weiß, es hat diese Null Stelle. Durch was können Sie es auf einen Schlag teilen, ohne diese unsäglichen Wurzeln? Der Gedanke ist folgender, wenn ich durch x minus die Wurzel teilen kann und danach noch durch x plus die Wurzel teilen kann, dann kann ich es auch in einem Rutsch durch x minus die

Wurzel, x plus die Wurzel teilen. Warum wird das effizienter? Also dritte Binomie, deshalb wird das effizienter, das auf einen Schlag zu teilen. x mal x

minus Wurzel mal Wurzel, das wird in der dritten Binomie übrig bleiben. x Quadrat minus Wurzel Quadrat und Wurzel Quadrat ist einfach das, was unter der Wurzel steht. Ich teile durch x Quadrat minus, was unter der Wurzel steht, minus dreieinhalb plus Wurzel dreizehneinhalb. So, das muss aufgehen.

Das ist ein bisschen eleganter, als durch irgendwas mit zwei Wurzeln übereinander zu teilen und dann zweimal hintereinander. Ich teile durch das Produkt, das ist nichts anderes als das Produkt hier. Ich rechne mal gerade selbst, weil das immer noch so ein bisschen Strafarbeit ist. x hoch vier durch x Quadrat, x Quadrat. Ich multipliziere zurück x

hoch vier. So, und jetzt kommt dreieinhalb x Quadrat minus Wurzel dreizehneinhalb x Quadrat. Also dreieinhalb minus Wurzel

dreizehneinhalb x Quadrat. Damit bin ich hier alle durchgegangen. Das ist erledigt. x hoch vier fällt weg. Jetzt mal gerade gucken, was hier übrig bleibt. Drei x Quadrat minus dreieinhalb. Es bleiben dreieinhalb x Quadrat

minus minus, also plus Wurzel dreizehneinhalb x Quadrat. Die minus eins bringe ich auch mal mit runter, dass ich sie nicht vergesse. So, nächster Schritt bei der

Polynomdivision. Genau, ich teile durch x Quadrat. Also dreieinhalb plus Wurzel dreizehneinhalb plus Wurzel dreizehneinhalb. Zurück multiplizieren. Dreieinhalb plus Wurzel dreizehneinhalb mal x Quadrat. Genau, was da drüber steht.

So, jetzt kommt der eklige Teil. Dreieinhalb plus Wurzel dreizehneinhalb mal den hier. Ich schreibe das mal auf in Einzelteilen. Der mal den. Oh, mit Minus auch noch. Minus und jetzt kommt hier minus dreieinhalb plus Wurzel

dreizehneinhalb. Ist das erschreckend? Also das war zurückmultiplizieren. Dieser mal x Quadrat steht da vorne. Dieser mal minus die Klammer. Minus dieser Klammer. Das muss man jetzt gerade noch mal auseinandernehmen. Was wird das

werden? Ja, schon wieder die dritte binomische Formel. Hier steht sozusagen b plus a minus b plus a gibt minus b Quadrat plus a Quadrat. Einfach hier nur mit vertauschter Reihenfolge. Dritte

Erste Quadrat mit Minus. Minus neun Viertel und den Zweiten Quadrat mit Plus. Was ist der zweite Quadrat? Ja, der zweite Quadrat ist dreizehn Viertel. Wurzel dreizehn Quadrat gibt dreizehn durch. Zwei Quadrat ist vier. Also das

plus dreizehn Viertel. Das ist nett. Minus neun Viertel plus dreizehn Viertel sind vier Viertel, schlicht und ergreifend eins. Dieses Produkt ist absurderweise eins, wenn man es nachrechnet. So, ich musste das abziehen. Wenn sich jemand noch erinnert, ich war beim rückmultiplizieren. Dieses mal

den. Ich war beim rückmultiplizieren. Das hier muss ich alles abziehen und kriege vorne das wird null und minus eins minus minus eins. Es wird null. Die Division geht auf. Wäre ja auch komisch. Ich teile durch meine

Linearfaktoren beide auf einmal. Natürlich muss die Division aufgehen, sonst wäre es falsch. Und damit habe ich jetzt meinen Polynomen hier vorne ausbuchstabiert und ich kann das Gesamt mal hinschreiben. Ich weiß es gibt ein Faktor x und dann gibt es diesen Faktor mit Minuswurzel, den Faktor mit Pluswurzel. Ich habe jetzt

keine Lust, das hinzuschreiben und den Faktor mit Pluswurzel. Und diese Polynom Division hier sagt mir, es bleibt noch was. x Quadrat plus dreihalbe plus Wurzel dreizehnhalbe. Mal x Quadrat plus dreihalbe plus

Wurzel dreizehnhalbe. So, jetzt habe ich es insgesamt hingeschrieben. Das ist mein original Polynom fünften Grades. Den Faktor x hatten wir rausgeholt, der macht die Nullstelle bei Null. Den hatten wir rausgeholt, der macht die

Nullstelle bei Pluswurzel. Der hier macht die Nullstelle bei Minuswurzel und der hier bleibt über. Was fällt Ihnen an dem Faktor auf, der über bleibt? Genau, der hat keine Nullstelle mehr, so wie sich das gehört. Das ist jetzt die Zerlegung hier. Alle Linearfaktoren, die ich finden konnte, sind abgespalten und der hier bleibt über, der hat keine

Nullstelle mehr. Außer in komplexen Zahlen natürlich, dann kriegen wir hier noch zwei weitere Nullstellen. Aber in reellen Zahlen ist hier Feierabend. x Quadrat ist Null oder mehr und ich addiere eine positive Zahl. In reellen Zahlen haben sie hier keine Nullstelle mehr. Das wäre die komplette Zerlegung für reelle Zahlen. Wie gesagt, die war hier nicht gefragt. Ich habe hier nach

Lösungen gefragt dieser Gleichung. Lösungen einer solchen Gleichung sind Nullstellen des Poenoms auf der linken Seite. Deshalb gibt es da diesen engen Zusammenhang.