Mengen und Logik, wie man da was aufschreiben kann, mal geometrisch, das ist am leichtesten zu verstehen, geometrisch. Zwei Geraden hätte ich gerne, das soll die Gerade sein. y ist gleich minus x halber plus drei.

Und ich hätte gerne eine andere Gerade, x drittel plus eins. Diese Gerade hier, y, ist gleich x drittel plus eins. Wir fangen mal damit an, schreiben Sie mal diese Menge hier, alle Punkte auf oder unterhalb der grünen Geraden.

Oh je, das wird jetzt hässlich, Entschuldigung. Das nenne ich mal die Menge, das ist die zweite, nenne ich das mal die Menge b. Alle Punkte auf oder unterhalb der grünen Geraden, schreiben Sie das mal in irgendeiner formemäßigen Weise.

Und alle Punkte, jetzt wird es voll, auf oder unterhalb der roten Geraden, sowas, diese hier, nenne ich mal Menge a. Schreiben Sie die beiden mal mit Hilfe von Mengenklammern und Formeln, mit Hilfe von Prädigaten, wie das so schön heißt.

Die Menge a ist gleich und jetzt mit Mengenklammern hingeschrieben und ein formemäßiger Ausdruck. Und dasselbe für die Menge b, mal gucken, ob Sie sich noch erinnern, wie das ging. Formemäßiger Ausdruck dafür. Und dann fangen wir mal an, diese beiden Mengen irgendwie miteinander zu verbinden, irgendwas zu rechnen mit den beiden Mengen.

Diese Schreibweise hier ist ja doch anscheinend nicht ganz so leicht. Ich muss erst mal sagen, woraus wähle ich aus, was wähle ich aus?

Irgendwas aus irgendeiner Menge, hier der R2, so heißt er nun mal leider, die Menge aller Punkte der Ebene, mit Koordinaten hingeschrieben. Irgendwas aus den Punkten der Ebene mit einer Eigenschaft und dahinten steht die Eigenschaft, so sieht das nachher aus.

Eigenschaft heißt dann auf mathematisch Prädikat. Das hat ein Prädikat, so eine Ja-Nein-Information. Alle Punkte aus dem R2, Element R2, Doppelpunkt mit irgendeiner Eigenschaft. Man schreibt im Deutschen auch hier gerne einen Strich, um zu sagen, mit irgendeiner Eigenschaft. Ich halte mich hier mal so als Internationale mit dem Doppelpunkt.

Wähle aus, aus der Gesamtmenge R2, alle Dinger mit der Eigenschaft. Und hier schreiben Sie das allgemeine Ding hin, was Sie auswählen wollen. X, Y hier zum Beispiel, ein Punkt mit den Koordinaten X und Y. Das Element ein bisschen besser platzieren.

So, wähle aus dem R2 alle Punkte X, Y aus, die irgendwas erfüllen. Und dahinten schreiben Sie hin etwas hin, was wahr oder falsch wird, und zwar so, dass ich alle Punkte erwische, die auf oder unterhalb der roten Geraden liegen. Auf der roten Geraden oder drunter, aber nicht drüber.

Wenn Sie nur die Gerade haben wollen, dann schreiben Sie ja Y ist gleich minus X halbe plus drei. Das heißt dann folgendes, gib mir alle Punkte X, Y. X, Y sind jetzt einfach Stellvertreternamen. Alle Punkte X, Y von der Art, dass das hier hinten erfüllt ist, dieses Prädikat wahr wird.

Dass das Y aus meinem Punkt gleich minus X halbe plus drei ist. Das wären genau die Punkte auf der Geraden. Jeder Punkt auf der Geraden macht das hier wahr. Der Y-Wert dazu, zu dem Punkt auf der Geraden, egal welchen Sie nehmen, ist gleich minus den X-Wert halbe plus drei.

Wenn Sie das fordern, alle Punkte, die das wahr machen, haben Sie genau die Gerade. Ich wollte aber alles auf oder unter der Geraden. Das heißt, Y kann bei gleichem X auch kleiner sein. Es darf nicht größer sein bei gleichem X, aber es darf kleiner sein als das Y auf der Geraden. Also heißt das Y kleiner gleich. Was hier aus der rechten Seite rauskommt, ist das exakte Y aus der Geraden.

Wenn ich kleiner gleich schreibe, heißt das, das Y meines Punkt darf auch drunter liegen. Es muss nicht genau drauf liegen. Dasselbe passiert bei dem B. Alle Punkte XY aus dem R2 mit der Eigenschaft, dass Y kleiner gleich X drittel plus eins ist.

Jetzt gucken wir uns die Schnittmenge an. Oh, das würde für mich zu zeichnen. Wo finde ich die Schnittmenge von beiden? Das, wo beides schraffiert ist. Alle Punkte, die gemeinsam sind in beiden Mengen.

Alle schraffierten. Das müsste dann also sowas werden. Oh, wird das fürchterlich. Sowas müsste... Oh, das ist zu weit. Ich sehe ihn ja nur. Das müsste die Schnittmenge werden. Alle Punkte, die in beiden gleichzeitig sind.

Die können wir auch noch hinschreiben in Formeln. Ja, kommt schon. A geschnitten B. Das können wir, glaube ich, gerade mal durch Zurufen machen. A geschnitten B. Jetzt brauche ich hier ein Prädikat.

Eine Bedingung, die wahr oder falsch wird. Ich möchte alle Punkte aus dem R2 nehmen, die irgendwas erfüllen. Was müssen die erfüllen, damit ich die Schnittmenge kriege? Ein Unter zwischen, ja. Also er muss beides gleichzeitig haben. Ein Punkt, der in der Schnittmenge ist, muss das erfüllen und das erfüllen.

Beide Bedingungen erfüllen. Dann ist er in beiden Mengen. Wenn er die erfüllt, ist er in der ersten Menge. Wenn er die erfüllt, genau dann, ist er in der zweiten Menge. Um in der Schnittmenge zu sein, muss er beide erfüllen. Also ich kann hier schreiben y kleiner gleich minus x halbe plus drei.

Und, logisches und, y kleiner gleich x drittel plus eins. So könnte man diese Menge aufschreiben. Da fällt mir gerade ein, was ich eben noch gesehen habe. Sie können das nicht so herrenlos lassen. Sie können jetzt nicht einfach hier das y weglassen zum Beispiel.

Das habe ich irgendwo gesehen. Das ist ja keine wahre oder falsche Aussage, die dann da steht, wenn Sie x einsetzen und y einsetzen. Also das muss hier, so ein Prädikat muss etwas sein, dass wahr wird oder falsch wird, wenn Sie x und y einsetzen. Wenn Sie da kein y hinschreiben, steht da irgendwas halbgares. Kleiner x drittel plus eins.

Das ist ja schön. Was soll das heißen? Wird das wahr oder wird das falsch? Also man muss dann schon Ross und Reiter nennen, y kleiner gleich. Das muss vollständig sein. Wenn Sie so ein Vergleich da hinschreiben, muss auf der linken Seite eine Zahl stehen. Und auf der rechten Seite muss eine Zahl stehen, sonst fehlt da was. Oder eine Variable, die eine Zahl darstellt natürlich.

Sicherheitshalber auch das. Die Physiker gucken immer so schön nach den Einheiten. Die Mathematiker gucken dann nach den Typen. Und auch die Informatiker, vor allem die Informatiker noch viel mehr. Hier muss links etwas stehen, was zum Schluss eine Zahl wird.

Und rechts was stehen, was zum Schluss eine Zahl wird. Sonst geht das mit dem Kleiner gleich nicht. Bei dem logischen Und, was muss da zum Schluss stehen, wenn man es ausgerechnet hat? Wenn man das logische Und bilden will. Genau, bei dem logischen Und muss was stehen, wenn man es ausgerechnet hat. Sie können nicht schreiben 5 und 6.

Es gibt Programmiersprachen, in denen Sie das schreiben können. Aber in der Mathematik sieht das ein bisschen komisch aus. Was man dann auch gerne als Lösung sieht. Und was überhaupt nicht hübsch ist, wenn Sie schreiben y ist gleich 3 oder 4. Nein, nein, nein, das geht so nicht. y ist gleich 3 oder y ist gleich 4. Das Oder will links und rechts was Wahres oder Falsches haben.

Nichts anderes. Da müssen die richtigen Typen stehen. Das selbe mit dem geschnitten hier. Geschnitten geht nicht mit Zahlen. 4 geschnitten, 3 ist irgendwie blödsinnig. Und wahr geschnitten, falsch ist auch blödsinnig. Das geht nur mit Mengen. Menge, geschnitten, Menge. Und genauso bei Vereinigung. Das ist so ein ähnlicher Check, wie die Physiker dann mit den Einheiten haben. Die Mathematiker und die Informatiker vor allen Dingen, wie ich gesagt habe,

haben den Check mit den Typen. Ob man da hier das Richtige links und rechts stehen hat. Wenn nicht, ist irgendwas faul. Mal gerade auf die Uhr. Wir können mal einen noch machen. A-Kompliment, Vereinigt, B-Kompliment.

Wo war ich das Kompliment? Jetzt meine das Gegenstück in der Fläche. Alle Punkte in der Fläche, die nicht in A sind, ist A-Kompliment. Also hier wäre irgendwo A-Kompliment. Alle, die nicht in A sind, B-Kompliment. Alle in der Ebene, die nicht in B sind. Wenn Sie das...

Oh, ich habe ein Gleichheitszeichen vergessen. Auch für das Gleichheitszeichen gilt das mit den Typen. Links muss das selbe Typ stehen wie rechts. Links eine Menge, rechts eine Menge. Nicht links eine Zahl und rechts eine Menge. Gleichheitszeichen. Das können wir gerade mal zusammen machen. A-Kompliment, Vereinigt, B-Kompliment. Was muss ich hier oben ändern?

Kompliment. Das ist schwierig. Da muss man sich einmal zusammenreißen. Es wird nicht aus dem Kleinergleich das Größergleich. Aus dem Kleinergleich wird das Größer. Vorsicht, Vorsicht. Ich brauche das Gegenteil. Alle Punkte, bei denen nicht, so muss ich das formulieren, alle Punkte, bei denen nicht Y kleiner gleich bla ist.

Y nicht kleiner gleich, das heißt Y größer. Gleich ist auch ausgeschlossen. Vorsicht. Das Gegenteil von kleiner gleich ist größer. Hier wird aus dem Kleinergleich auch ein Größer. Ich schreibe den ganzen anderen Kram gar nicht hin. Und Vereinigungsmenge heißt oder. Wir sind in der einen oder in der anderen.

Hier steht dann ein oder. Ein logisches oder. Bla, bla, bla. Bla, bla, bla. Und so weiter. Dasselbe wie oben. Aus dem und wird ein oder. Aus dem Kleinergleich wird ein Größer. Weshalb Sie wahrscheinlich auf den Gedanken kommen, dass aus dem Kleinergleich ein Größergleich wird, ist eine andere Ecke. Ungleichungen. Wenn ich sowas habe wie Minus X ist Größergleich 3,

wie formen Sie diese Ungleichung um? Beide Seiten mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, heißt, dass das Ungleichungszeichen umkippt. X ist kleinergleich minus 3. Und da bleibt das Gleich stehen.

Das sehen Sie, wenn Sie ein Beispiel einsetzen. Sie können hier oben minus 3 einsetzen. Minus minus 3 ist gleich 3 erfüllt. Wenn Sie unten minus 3 einsetzen, ist gleich minus 3 erfüllt. An der Stelle bleibt das Gleich am Leben, wenn Sie mit Ungleichungen arbeiten. Aber nicht, wenn Sie das Gegenteil bilden. Das ist eine andere Geschichte. Das Gegenteil vom Kleinergleich ist größer.

Dieses oder hier, das typische oder in der Mathematik, ist das sogenannte inklusive oder. Die Informatiker und auch einige Leute in der Mathematik, aber die von den Informatiker rechnen auch gerne mit dem exklusiven oder. Das ist das inklusiv oder. Das heißt, wenn Sie hier bilden, war oder war,

wird es auch wieder wahr. Das heißt, es dürfen beide wahr sein. Das ist kein entweder oder. Exklusiv oder heißt entweder oder. Was kommt in der Mathematik eher seltener vor? Üblicherweise hat man das inklusive oder. Wenn in der Mathematik von oder die Rede ist, heißt das, es dürfen auch beide wahr sein. Und das entspricht dann ja auch der Vereinigungsmenge.

Wenn Sie die Vereinigungsmenge bilden, zweier Mengen, dann ist es auch erlaubt, in beiden drin zu liegen. Sie dürfen in der einen liegen, in der anderen liegen bei der Vereinigungsmenge, aber auch in beiden liegen. Vereinigungsmenge hat das ganz normale inklusive oder. Es ist auch beides erlaubt. Nehmen wir vielleicht nochmal den Punkt hier.

Dieser Punkt, nennen wir ihn groß P. 0,2 zum Beispiel. P ist innerhalb von A. Dieser Punkt hier, also unterhalb der roten Graden, ist innerhalb der Menge A, Element der Menge A. P ist nicht Element der Menge B, denn er liegt ja oberhalb der Graden. B soll ja die Menge auf und unterhalb der grünen Graden sein.

Das heißt, aus dem ersten hier weiß sich, P ist nicht Element des Kompliments von A. In der Form ist nicht Element Kompliment A. Wenn er in A ist, ist er nicht im Gegenteil von A. Er ist nicht in B, also ist er im Kompliment von B.

Im Kompliment von B, so. Er ist nicht in B, also ist er im Kompliment von B. Das bedingt sich gegenseitig. Wenn Sie das jetzt hier unten angucken, die Vereinigungsmenge der beiden Komplimente, er ist nicht in dem einen Kompliment, aber in dem anderen, dann ist er in der Vereinigungsmenge drin. Der ist Teil der Vereinigungsmenge. Also die Vereinigungsmenge wäre, oh je,

die Vereinigungsmenge der Komplimente enthält den B. Wollen wir gerade gucken. Was ist das? Die Vereinigungsmenge der Komplimente, würde ich mal sagen. Alles, was nicht in A ist, ist alles, was nicht in A ist, zusammengenommen mit allem, was nicht in B ist.

Das wäre die Vereinigungsmenge. Und die Geraden wären nicht drinnen. Das ist natürlich blöd zu zeichnen. Also die Geraden, obwohl ich sie jetzt gezeichnet habe, sind nicht mit dabei, weil ihr ja größer steht.