Nochmal drei Funktionen von den Reellzahlen nach den Reellzahlen und die Frage ist, welche ist gerade, welche ist ungerade oder welche ist gar nichts. Das gibt es ja auch. Oder sagen wir, die typische Funktion ist weder gerade noch ungerade. Gucken wir uns das an. Ich nehme x wird abgebildet auf den Sinus von 3x ins Quadrat plus den Cosinus von 5x.

Ich nehme x wird abgebildet auf den Sinus von 3x plus den Cosinus von 5x.

Und ich nehme x wird abgebildet auf x² mal den Sinus von 3x. Das ist alles ziemlich hässlich zu zeichnen. Überlegen Sie sich einfach nur, welche davon sind gerade, welche sind ungerade. Nichts davon.

Der Cosinus als solcher ist bekanntermaßen eine gerade Funktion. Der ist spiegelsymmetrisch um die y-Achse. Ob Sie einen positiven Winkel einsetzen in den Cosinus oder negativen, das ist dem Cosinus egal. Eine gerade Funktion.

Wenn Sie den Cosinus um Faktor 5 beschleunigen, wie auch immer, bleibt das eine gerade Funktion. Es rutscht hier alles um Faktor 5 von links rechts zusammen. Also Cosinus 5x ist eine gerade Funktion. Da geht nichts schief.

Was das angeht, das hier ist eine gerade Funktion. Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Punktsymmetrisch am Ursprung, wenn Sie den Sinus von einem Winkel plus so und so viel haben wollen, können Sie stattdessen auch den Sinus von einem Winkel minus so und so viel nehmen mit negativen Vorzeichen.

Ich habe gerade sehr geschickt gelaufen hier mit der Zeichnung. Der Sinus von 3x um Faktor 3 beschleunigen, naja, das macht es auch nicht kaputt. Das bleibt, mein Zeichner macht es aber kaputt. Das bleibt auch punktsymmetrisch. Sinus 3x bleibt eine ungerade Funktion.

Ungerade. So, jetzt kommt das spannende Teil. Das Quadrat, eine ungeraden Funktion. Ich habe eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Das ist jetzt herausfordernd. Kriegen wir einmal den Bogen rauf. So, jetzt muss der hier runter gehen. Diesen Bogen quasi hier runter, den nach oben. Na, irgend sowas. Eine Funktion, allgemeine Art, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Eine allgemeine ungerade Funktion.

Von der bilde ich das Quadrat. Dann werden ja die Sachen, die dicht an der x-Achse sind, hier bei der x-Achse bleiben. Der wird rauf gekippt hier, der wird richtig groß werden. Was passiert auf der linken Seite? Was passiert, wenn Sie eine ungerade Funktion quadrieren? Ja, das wird eine gerade Funktion.

Hier ändert sich ja nur das Vorzeichen. Was hier rauf geht, geht hier runter, aber das Quadrat ignoriert ja das Vorzeichen. Diese grüne Kurve quadrieren ist die orange und diese grüne Kurve hier einfach nur nach unten gekippt. Quadrieren muss die selbe orange Kurve sein. Dieses Ding hier quadrieren muss das selbe sein wie das und so weiter.

Es wird eine gerade Funktion werden. Das Quadrat einer ungeraden Funktion ist gerade. Wie male ich das jetzt hier mal? Das ist eine gerade Funktion. Hier steht dann also die Summe einer geraden Funktion und einer geraden Funktion. Eine Funktion, die links-rechts symmetrisch ist, dazu addiert eine Funktion, die links-rechts symmetrisch ist, macht eine gerade Funktion.

So sehe das aus. Ich will gar nicht wissen, wie hier die Summe wirklich als Kurve verläuft. Das wird schrecklich aussehen. Muss jetzt nicht sein. Gucken Sie sich den nächsten an. Sinus 3x plus Cosinus 5x.

Die zweite. Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Dreimal beschleunigen bleibt eine ungerade Funktion. Der Cosinus eine gerade Funktion. Fünfmal beschleunigen bleibt eine gerade Funktion. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion, das wird nichts werden.

Das ist weder noch. Ich schreibe mal ganz informell nichts hin. Die ist weder gerade noch ungerade. Wenn ich x durch Minus x ersetze, ändert der Sinus sein Vorzeichen und der Cosinus nicht. Das heißt, die Summe hier auf der rechten Seite bleibt nicht, was sie war, wird aber auch nicht das Negative von dem, was sie vorher war.

Es ist weder gerade noch ungerade, ärgerlicherweise. Die letzte dagegen. x² eine gerade Funktion. x ist eine ungerade Funktion. x² ist eine gerade Funktion.

Denken Sie an die Parabel. Links, rechts symmetrisch. Sinus 3x ist wieder eine ungerade Funktion. Jetzt steht hier eine gerade Funktion mal eine ungerade Funktion.

Mal, wohlgemerkt, nicht plus. Gerade plus ungerade, den haben wir verloren. Das ist weder noch. Gerade mal ungerade ist eine ungerade Funktion. Wenn ich ein negatives x einsetze, bleibt x² im Vorzeichen gleich, denn es ist eine gerade Funktion.

Und der Sinus 3x ändert das Vorzeichen. Das heißt, das gesamte Ding, gleiches Vorzeichen, mal geändertes Vorzeichen, ändert sein Vorzeichen. Vorzeichenänderung heißt aber ungerade. Die ungerade Funktion, das sind ja gerade die, die ihr Vorzeichen ändern.

Hier haben wir eine ungerade Funktion. Wenn Sie bei der ungeraden Funktion das Vorzeichen von x ändern, ändert sich das Vorzeichen der Funktion von dem Wert, der rauskommt. Und das ist hier der Fall. Wenn ich hier das Vorzeichen von x ändere, x² behält sein Vorzeichen, gerade Funktion.

Sinus 3x, ungerade Funktion, ändert sein Vorzeichen. Selbes Vorzeichen mal anderes Vorzeichen, geändertes Vorzeichen. Das gesamte Ding muss eine ungerade Funktion sein.