Jetzt folgende Funktion. x wird abgebildet auf x plus eins minus zwölf durch x plus zwei. Wie steht das mit Nullstellen? Und versuchen sie die zu skizzieren. Auch das ist eine rationale Funktion.

Man sieht es hier vielleicht am Anfang nicht sofort an. Auch das ist eine rationale Funktion. Bestimmen Sie mal davon die Nullstellen, wenn es welche gibt. Und skizzieren Sie das mal insgesamt.

Was ich tun würde, ist das auf einen Bruchstrich zu bringen, dass es so nach der üblichen rationalen Funktion aussieht. Dann kann man leichter was zu Nullstellen sagen. Aus dem Grunde, wenn Sie einen Bruch haben, dann muss da stehen 0 durch 42, damit der Bruch Null wird.

Da kann nicht stehen 7 durch irgendwas, damit der Bruch Null wird. Also die Nullstellen lassen sich am leichtesten finden, wenn man es auf einen Bruchstrich bringt. Und dann sieht es auch aus für die offizielle, rationale Funktion. Hinten die minus zwölf bleiben da stehen und diese x plus eins bringe ich auf die x plus zwei.

So sieht es dann aus. Und kommen Sie nicht in Versuchung, hier jetzt schon gleich wieder zu kürzen? Hier kann ich nichts kürzen. x plus zwei steht bei dem ersten zum Anden oben, aber nicht bei dem zweiten.

Ich kann nicht durch x plus zwei kürzen. Hier richten wir noch aus. Das gibt es x² plus 1x plus 2x, also plus 3x und plus zwei minus die zwölf durch x plus zwei. Und dann sind wir bei x² plus 3x minus zehn.

Ich hatte gesagt, die Nullstellen mal zu bestimmen. Kucken wir uns an, wie man den Zähler zerlegen kann. Was sind die Nullstellen vom Zähler? Wieder einmal mit PQ Formel. x ist gleich minus dreieinhalb plus minus neun viertel plus zehn.

Kommt lustigerweise hin. Neun viertel plus vierzig viertel. 49 viertel. Wurzel neun viertel ist sieben. Wurzel aus dem vier ist zwei. Sieben halbe.

Das heißt, x ist gleich minus dreieinhalb plus sieben halbe. Das macht vier halbe sind zwei. Oder x ist gleich minus dreieinhalb minus sieben halbe sind minus zehn. Halbe ist minus fünf. Das heißt, ich kann das, was ich eben hatte, weiterschreiben als oben steht x minus zwei mal x plus fünf durch.

Unten steht x plus zwei. Sie sehen, hier kann ich nicht kürzen. Anders als eben.

Eben gab es denselben Faktor in Zähler und Nenner. Da konnte ich kürzen. Hier kann ich nicht kürzen und damit kann ich direkt Nullstellen und Polstellen ablesen. Es gibt eine Nullstelle der gesamten Funktion bei plus zwei, eine Nullstelle bei minus fünf. Und minus zwei ist eine Polstelle.

Bei x gleich minus zwei wird diese Funktion ins Unendliche springen. Das können wir zum Plotten benutzen. Sag ich vielleicht mal. Spannende Stellen sind also bei zwei.

Da muss ich ein bisschen Platz schaffen. Bei zwei habe ich eine spannende Stelle. Bei minus fünf habe ich eine spannende Stelle. Bei minus zwei habe ich eine spannende Stelle. Und zwar bei plus zwei kommt Null raus.

Bei minus fünf kommt Null raus. Bei minus zwei habe ich eine Polstelle. Da ist die Funktion nicht definiert. Und ich weiß, sie läuft ins Unendliche. Und ich weiß, es ist eine Polstelle erster Ordnung. Einfache Polstelle. Hier steht nicht hoch zwei oder hoch 13.

Die Funktion wird zur einen Seite weggehen und von der anderen Seite wieder kommen. Von welcher Seite jetzt auch immer. Wir können noch ganz banal den Wert an der Stelle Null haben. Wenn Sie Null einsetzen. Minus zwei mal fünf sind minus zehn durch zwei. Minus fünf wird der Wert an der Stelle Null sein.

Was jetzt nicht ganz drauf passt. Geschickt. Na ja. Sagen wir mal hier zu minus fünf. Das ist der Wert an der Stelle Null. Und jetzt können wir noch was zu Asymptoten nach links und rechts sagen. Asymptoten für x plus minus unendlich.

Was wird mit dieser Funktion passieren? Wenn Sie mit x ganz weit nach rechts, ganz weit nach links gehen. Wenn x sehr groß wird, haben wir also den Gedanken, dass der hier, dieser Ausdruck, praktisch Null wird. Nehmen Sie für x gleich eine Million.

Dann steht hier eine Million und eins minus zwölf durch eine Million und zwei. Der hier ist ein Witz im Verhältnis zu dieser eine Million und eins. Der Ausdruck hier vorne, der regelt, wie die Funktion sich für x gegen unendlich verhält. Dieser hier, der macht praktisch gar nichts. Der wird immer dichter bei Null liegen.

Das hier vorne wird eine schräge Asymptote werden. Ich schreibe jetzt hier nur Asymptote dran, wenn ich faul bin. Das hier wird die Asymptote nach plus, minus und unendlich werden. Für minus und unendlich geht es natürlich genauso. Wenn Sie für x minus eine Million einsetzen. Dann steht hier zwölf durch minus 199.198.

Genauso vernachlässigbar. Also, für Werte von x, die sehr groß sind oder sehr negativ sind, ist die Funktion praktisch gleich x plus eins. Das kann man hier gut ablesen, das kann man hier nicht so gut ablesen. Aus dem Bruch.

Ich mach hier noch eine Asymptote ein. x plus eins, eine Gerade, die durch die eins geht auf der y-Achse und die Steigung eins hat. Diese Gerade hier habe ich als Asymptote. Eine schräge Asymptote.

Und natürlich hier diese Gerade vertikal durch die Polstille, die ist geschenkt. Damit sieht man auch nochmal den Nutzen von diesen beiden Formen. In dieser Form, ein Polynom plus eine rationale Funktion, die umendlich gegen null geht, kann ich sofort die Asymptote ablesen.

Und in dieser Form hier, maximal gekürzt, kann ich sofort Nullstellen und Polstellen ablesen. Also beide Formen haben ihre Bewechtigung. So, jetzt können wir hier die Punkte verbinden. Was an der Polstelle passiert, kann ich am leichtesten verstehen, wenn ich von rechts komme.

Ich muss durch diesen Punkt durch, ich muss durch den Punkt durch. Dann kann meine Funktion rechts von der Polstelle nicht nach plus unendlich gehen. Da hätte ich ja wieder eine Nullstelle mehr. Die Funktion muss hier nach minus unendlich abstürzen. Sie muss von hier kommen, durch diese beiden durchgehen und sich dann die Asymptote anschmiegen.

Und auf der linken Seite, Polstelle erste Ordnung, muss sie also von plus unendlich kommen und sich dann so an die Asymptote anschmiegen. Sie könnte jetzt nach dem, was wir bisher haben, könnte sie so verlaufen. Sie könnte hier so verlaufen.

Das wäre aber total überraschend für eine so billige Funktion. Sie wird glatt dadurch verlaufen. Wir rechnen ja im Endeffekt x minus zwei mal x plus fünf durch x plus zwei. Die kann nicht hier noch x Hügel und Täler haben. Die wird schön glatt dadurch verlaufen.

So sehen die Skizze aus.