Ein Integral mal als Fingerübung, eine Halbwelle vom Sinus, weil so etwas dann gerne mal in der Elektrotechnik vorkommt. Sofort mal im Bogenmaß, weil das viel leichter ist zu rechnen. Also hier wäre Pi im Bogenmaß, wäre ich hier bei Pi angelangt, 180° im Gradmaß, Pi im Bogenmaß.

Der Sinus geht hier bis zu 1 rauf. Und besucht ist diese Fläche hier, wie viele Flächeneinheiten sind das? Pi ist bekanntermaßen 3,14 und so weiter. Damit kann man schon mal Pi mal Daumen schätzen, wie groß die Fläche sein sollte.

Vielleicht fangen wir damit an. Pi mal Daumen. Wie groß ist diese Fläche unter der Halbwelle vom Sinus? Pi mal Daumen. Also Sie können sehr schnell sehen, dass es weniger sein muss als 3,14. Denn dieses Rechteck hier, dieses Rechteck, das hätte eine Fläche von Pi.

Es ist 1 hoch und Pi breit. Hier hätte ich eine Fläche von Pi. Offensichtlich steckt unter der Sinus-Halbwelle deutlich weniger als Pi. Also wenn ich schätzen müsste, Sie sehen, es ist aber auch mehr als die Hälfte. Das wäre die Hälfte von Pi, wenn Sie es so wegschneiden.

Wir schneiden hier auf der linken Seite die Hälfte weg, die obere Hälfte dieses Dreieck auf der oberen Hälfte. Auf der rechten Seite schneiden Sie weg, dann sehen Sie, es ist mehr als Pi halbe, aber es ist definitiv weniger als Pi. In der Größenordnung muss das liegen. Also irgendwas, 2,5 oder was, ich schreibe mal hier ganz dreist, also Pi mal Daumen.

Ich weiß auf jeden Fall, diese Fläche ist auf jeden Fall strikt größer als Pi halb und sie ist strikt kleiner als Pi. Das ist doch schon mal eine Fehlerschranke. Und wenn Sie dann als Fläche 4 rauskriegen oder Sie kriegen als Fläche 1,2 raus, dann wissen Sie, was schiefgelaufen.

Das wäre so ein Sanity-Check, wie die Informatiker das nennen, ein Test, ob man noch fit ist im Geiste sozusagen, ein Sanity-Check. Also das mal vorher überlegen immer und dann erst anfangen zu rechnen, dass Sie wissen, wenn es ganz schief gegangen ist. Rechnen Sie das jetzt mal korrekt aus, mit Hilfe vom Integral.

Das sollte eine Fingerübung sein. Die Fläche unter der Sinus-Halbwelle mit Hilfe des Integrals. Okay, also mich interessiert ein Integral. Die Fläche ist das Integral von 0 bis Pi, was mache ich auf der x-Achse, von 0 bis Pi.

Fläche unter der Funktion Sinus von x dx. So sieht das historischerseits aus. Das Integral war mal ein S für eine Summe. Ist irgendwie sehr lang geworden, das S. Dieses dx war mal ein delta x, stellen Sie sich das so wie so ein Bretterzaun vor.

Ich summiere Funktionswert mal Breite, delta x Funktionswert mal Breite. Da stammt dieses dx traditionell her. Es wird, Vorsicht, es steht dann mal dx, ich habe jetzt an einer Stelle durch dx gesehen, mal dx.

Ich multipliziere hier mit der Breite, in einem sehr abstrakten Sinne. Ein bestimmtes Integral, eine reine Flächenangabe. Und das rechne ich aus nach Schema F, in dem ich eine Stammfunktion suche. Welche Funktion, oder irgendeine Funktion, die abgeleitet gleich dem Sinus ist.

Da nehme ich Minus Cosinus, wenn ich den Minus Cosinus ableite, kriege ich den Sinus raus. Wenn ich den Sinus ableite, kriege ich den Cosinus raus. Wenn ich den Cosinus ableite, kriege ich den Minus Sinus raus. Wenn ich den Minus Cosinus ableite, kriege ich den Sinus raus. Im Bogenmaß wohlgemerkt, nicht im Gradmaß.

Im Bogenmaß haut das hin. Im Gradmaß sehen wir uns das mal später an. Irgendwann von 0 bis Pi, so sieht das dann aus. Eine Stammfunktion suchen, Grenzen einsetzen. Das heißt dann also Minus Cosinus von Pi. Ich habe an einer Stelle gesehen, mal Pi. Nein, nein, nein.

Das Pi in den Cosinus einsetzen. Das ist gemeint. Minus, Minus. Die untere Grenze einsetzen und abziehen. Minus, abziehen. Das Minus Cosinus. Minus, Minus Cosinus von 0. Der Cosinus von Pi ist 1. Soll ich den Cosinus nochmal einmalen? Der Cosinus läuft ja phasenverschoben zum Sinus.

So läuft der Cosinus. Dann geht er da wieder rauf. Der Cosinus von 0 ist 1. Der Cosinus von Pi ist Minus 1. Warum, weshalb, wieso, kommt alles später. Der Cosinus von Pi ist Minus 1. Das ist also Minus, Minus 1. Der Cosinus von 0 ist Plus 1. Minus, Minus 1.

Sind Überraschung 2. Das hatten einige, glaube ich, auch schon beraten. Also tatsächlich zwei Flächen einhalten. Wir wissen vorher schon, es liegt definitiv zwischen 1,5 sowieso und 3,14. In der Tat ist es ganz exakt gleich 2.