Die folgende Funktion integrieren, von 0 bis 1, dx, x² plus 3, x plus 2. Die Schreibweise ist vielleicht etwas irritierend, das ist eine Kurzschreibweise. Gemeint ist 1 durch, was da steht, mal dx.

Und das geht jetzt nur mit Parzahlbruchzerlegung. Da gucken wir uns die Parzahlbrüche an. Was ist dieses hier? Parzahlbrüchen, also Nebenrechnung. Hier steht es mit Nullstellen im Nenner. Die ganz blöde PQ-Formel.

x ist also minus dreihalbe plus minus neun viertel minus zwei. Neun viertel minus zwei. Zwei sind acht viertel, neun minus acht viertel. Ein viertel dahinten, dann bin ich also bei minus dreihalbe plus minus die Wurzel ein viertel.

Minus dreihalbe plus minus ein halb. Ich will sagen, x ist gleich. Minus dreihalbe minus ein halb sind minus zwei. Oder x ist gleich, minus dreihalbe plus ein halb sind minus eins.

Und damit ist klar, wie ich den zerlegen kann hier. Das muss sein x plus eins mal x plus zwei. Und ich sehe die Polstellen. Eine bei minus eins, eine bei minus zwei. Es hebt sich nichts weg. Und damit kann ich Parzahlbrüche ansetzen.

Das, was da integriert werden soll, diese rationale Funktion. Eins durch x² plus drei x plus zwei. Ansatz ist a durch. Erste Parzahlbruch x plus eins plus b durch zweite Parzahlbruch x plus zwei. a, b sind Zahlen, die fest sind, die ich jetzt aber noch nicht kenne.

Vielleicht mal gerade zur Wiederholung noch. Das haut nicht immer hin, so wie ich das hier hingeschrieben habe. Was sollte man an Spezialfällen im Hinterkopf haben? Genau, erster Sonderfall. Sie haben eine doppelte Polstelle. Sagen wir bei minus zwei hätte es eine doppelte Polstelle.

Das geht dann die Reihe runter. Die doppelte Polstelle, die einfache Polstelle. Wenn es eine vierfache Polstelle ist. Drei, zwei, eins und so weiter. Korrekt wäre übrigens nicht doppelte Polstelle, sondern Polstelle zweiter Ordnung. Aber ich sage jetzt mal doppelte Polstelle. Das wäre das eine. Gibt noch eine andere Komplikation.

Ja, wenn Sie einen quadratischen Term hätten. So etwas wie x² plus zwei, das gibt ja gar keine Polstelle im Realen. x² ist immer positiv oder null. Und wenn Sie zwei addieren, wird das nie null werden. Dann hätte ich etwas wie bx plus c.

Das meinte ich lustigerweise gar nicht. Ich meinte noch eine andere Komplikation, die auftreten könnte. Wenn diese rationale Funktion hier noch ein Polynom drin hätte. Wenn hier stünde x hoch fünf plus zum Beispiel. Wenn Sie hier noch Polynomdivision machen könnten.

Dann würde das so nicht funktionieren. Das würde schon reichen, wenn hier x² plus eins stünde. Dann kann ich noch teilen per Polynomdivision. x² plus eins durch x² und so weiter ist gleich eins plus irgendwas. Der Grad im Zähler muss strikt kleiner sein als der Grad im Nenner.

Ist hier der Fall? Es wird hinhauen. Jetzt also nur theoretische Komplikation. Das muss also funktionieren. Ich bestimme A und B. Das muss gelten für alle x. Außer minus eins und minus zwei. Aber gefühlt für alle x.

Sie bringen das auf einen Hauptnenner. x plus eins mal x plus zwei. Den ersten erweitern mit x plus zwei. Den zweiten erweitern mit x plus eins. Dieser Hauptnenner ist dasselbe, was wir da schon hatten.

Und dann kann ich Potenzen vergleichen. Zum Beispiel Potenzen vergleichen. Auf der linken Seite habe ich ein x hoch null. Auf der rechten Seite habe ich zwei A und ein B x hoch null. Auf der linken Seite habe ich kein x hoch eins. Auf der rechten Seite habe ich A und B x hoch eins. Das könnte man machen. Es geht aber viel einfacher.

Genau, ich habe Ihnen da meine schlechten Angewohnheiten schon vererbt. Diesen Schritt brauchen wir an dieser Stelle gar nicht. Es ist viel einfacher. A sagt, wie schlimm die Explosion an der Stelle minus eins ist. Der Ausdruck hier ist bei x gleich minus eins komplett in Ordnung.

Da passiert nichts Schlimmes. Dieser Ausdruck hier explodiert bei x gleich minus eins. Den muss ich mir angucken. Was passiert, wenn x gleich minus eins ist? Das hier ist der Teil, der die Explosion verursacht. Eins durch und der hintere ist im Endeffekt minus eins plus zwei. Wir sagen eins, eins durch eins.

A muss eins sein. Ganz billig. B sagt, wie schlimm die Explosion an der Stelle x gleich minus zwei ist. Da ist der erste Basialbruch völlig in Ordnung. Was passiert an der Stelle x gleich minus zwei? Das hier ist der Teil, der die Explosion verursacht. Da steht er ja schon, x plus zwei. Der hier, wenn x gleich minus zwei ist, wird minus zwei plus eins, wird minus eins.

Eins durch minus eins, das ist der Rest, der da steht. B muss minus eins sein. Das wäre die Händewerte in der Herleitung, ohne zu rechnen. Vielleicht machen Sie beides und überzeugen sich, dass es stimmt. Dann haben Sie einen einfachen Check. So, damit kann ich jetzt mein Originalintegral schreiben.

Das Integral, bla, ist also, ich schreibe jetzt das Ganze nicht hin, ist also Integral von eins durch x plus eins von null bis eins dx. Plus das Integral b war minus eins durch x plus zwei von null bis eins dx.

Der erste, eine Stammfunktion zum Kehrwert von x plus eins. Wir probieren was mit dem Logarithmus. Das hier ist eins durch x um eins verschoben. Ich probiere den Logarithmus und hier so ganz rechtschaffen den Logarithmus vom Betrag. Den brauchen wir gleich nicht, den Betrag aber sicherheitshalber.

Eine Stammfunktion zu eins durch x. Logarithmus von Betrag x in den Grenzen von null bis eins. Probeableitung mit Kettenregel. Wenn Sie den ableiten, den Logarithmus ableiten, ist der Kehrwert von dem, was drin steht, ich soll sagen, der Logarithmus vom Betrag abgeleitet, ist der Kehrwert von dem, was drin steht, eins durch x plus eins.

Innere Ableitung ist eins. X ableiten gibt eins. Das ist also der erste. Und hier mit dem Minus kriegen wir minus den Logarithmus vom Betrag x plus zwei in den Grenzen von null bis eins. Okay, und einsetzen. Logarithmus von zwei.

Den Logarithmus von null plus eins im Betrag muss ich abziehen. Den Logarithmus von null plus eins. Den Logarithmus von eins muss ich abziehen. Was ist der Logarithmus von eins? Genau, das wird null werden. Womit potentiere ich E, damit eins rauskommt, mit null. E hoch null ist eins. So, jetzt kommt minus. Hier fehlt noch ein Betragsstrich.

Minus. Auweia. Eins plus zwei im Logarithmus. Minus den natürlichen Logarithmus von drei. Minus, für den unteren jetzt, minus den natürlichen Logarithmus von null plus zwei. Minus, minus den natürlichen Logarithmus von null plus zwei.

Und dann haben wir zweimal den natürlichen Logarithmus von zwei. Minus den natürlichen Logarithmus von drei. Das reicht mir eigentlich bis dahin. Für diese Aufgabe reicht es mir bis dahin. Diese Aufgabe geht ja um Partialbrüche. Wie könnten Sie das weiter zusammenfassen?

Die zwei hier rein. Dann haben Sie den Logarithmus von vier. Zwei Logarithme voneinander abziehen, heißt durcheinander zu teilen im Logarithmus. Also das wäre der Logarithmus, wenn man wollen würde, vier Drittel. Ich weiß nicht, ob es so schöner ist. Da kann man sich leichter vorstellen, was das für ein Resultat ist. Sie haben recht, man könnte auch dieses hier sofort zusammenfassen.

Differenz zwei natürlich Logarithme. Dann haben Sie immer die Verhältnisse. Zwei durch drei im Logarithmus. Und hier haben Sie eins durch zwei im Logarithmus. Das könnte man auch quer zusammenfassen.