Der Logarithmus als Umkehrfunktion zur entsprechenden Exponentialfunktion ist ja ganz lustig. Die Frage ist, wozu brauche ich den nun wirklich im wahren Leben? Der Effekt vom Logarithmus ist, dass sehr extrem große Zahlenbereiche auf etwas Überschaubares zusammendrückt.

Wenn Sie sich die Exponentialfunktion, irgendeine Exponentialfunktion mit Basis über 1 angucken, die explodiert ja extrem nach oben hin. Die gewinnt hier extrem schnell viel Höhe. Der Logarithmus als Umkehrfunktion ist ja Spiegelbild an der 45° Diagonalen in der Form.

Das heißt, der drückt die Werte extrem zusammen. Wenn Sie hier weit rausgehen auf der X-Achse, dann macht der Logarithmus nicht allzu viel. Es werden sehr große Skalenbereiche durch den Logarithmus zu sehr kleinen Skalenbereichen.

Das ist eine der Anwendungen dann auch für den Logarithmus. Wir haben folgendes rausgesucht, die Richterskala. Das passt zu San Francisco. Da wird man ja an diversen Ecken und Enden mit Erdbeben konfrontiert. Die Richterskala funktioniert so.

Man guckt sich an, was passiert, wenn ein Erdbeben 100 Kilometer entfernt ist. Wenn es nicht 100 Kilometer entfernt ist, muss man korrigieren. Aber wenn man 100 Kilometer entfernt das Erdbeben hat, guckt man sich an, was auf dem Sesmogramm entsteht. Also stellen Sie das Sesmogramm vor. Irgendwann kommt das Erdbeben, wie man sich das so vorstellt.

Dann misst man einfach, wie groß der Ausschlag ist auf dem Sesmogramm. Man nimmt das als Maßzahl für dieses Erdbeben. Inzwischen funktioniert das alles ein bisschen anders.

Aber Herr Richter hat sich das Original so ausgedacht, wenn er auf dem Sesmogramm einen Mikrometer Ausschlag sieht und das Erdbeben 100 Kilometer entfernt ist. Dann kann man wirklich etwas über das Erdbeben sagen und nicht über die Entfernung auch noch sagen muss. Dann nennt er das Stärke Null auf seiner Skala.

Und jetzt kommt das Lustige wegen Logarithmus. Erdbeben sind nicht lustig, aber die Idee hier, was er mit seiner Skala macht, bei 10 Mikrometern nennt er das Stärke 1. Was wird Stärke 2 werden?

Korrekt, 100 Mikrometer, Logarithmus. 100 Mikrometer werden Stärke 2 werden auf seiner Skala. Also wenn die Stärke um 1 rauf geht, geht die Amplitude, die aufgezeichnet worden ist, um Faktor 10 rauf. Das hat offensichtlich fast mit dem Zehnerlogarithmus zu tun.

Er nimmt den Zehnerlogarithmus den Mikrometerzahl. Der Zehnerlogarithmus von 1 ist Null. Der Zehnerlogarithmus von 10 ist 1. Der Zehnerlogarithmus von 100 ist 2. Das heißt insbesondere auch, dass ein Erdbeben der Stärke 2 nicht zweimal so stark ist wie ein Erdbeben der Stärke 1, sondern der Ausschlag ist zehnmal so stark.

Die Energie ist noch eine andere Geschichte. Die fällt sich etwas anders als der Ausschlag. Aber der Ausschlag wächst mit jeder Stufe um Faktor 10. Also das ist echt heftig dann von 1 zu 2. Stichwort San Francisco. Das große Beben 1906, Stärke etwa um 8.

Wie viele Mikrometer? Rein theoretisch 100 Millionen Mikrometer. 10 hoch 8. Damit da auch wirklich die Stärke 8 rauskommt. Wie viele Meter wären 100 Millionen Mikrometer?

Genau, die meisten haben es dann doch. Also ein Mikrometer, ein Millionstel Meter. 10 hoch minus 6. Kann vielleicht nicht schaden, hat jetzt damit überhaupt nichts zu tun, aber kann vielleicht nicht schaden. Dezie, ein Zehntel, 10 hoch minus 1. Dezimeter, ein Zehntel Meter.

Zenti, ein Hundertstel, 10 hoch minus 2. Ein Hundertstel Meter, Zentimeter. Millimeter, ein Tausendstel, 10 hoch minus 3. Mikrometer, 10 hoch minus 6, ein Millionstel. Nano, sind 10 hoch minus 9. Kommt gerne irgendwo bei elektronischen Bauteilen vor, Nanofahrrad.

Pico, wenn Sie ein bisschen Hochfrequenztechnik machen, kommt auch noch vor. 10 hoch minus 12. Nano, Pico, Femto. Wenn man irgendwas heftig Physikalisches macht. Und Atto. Egal, braucht sonst keiner mehr. Und so weiter, dass lässt sich weitermachen.

Aber was interessant ist jetzt hier die Mikro, 10 hoch minus 6. 10 hoch minus 6, wenn Sie davon eine Million haben, haben Sie einen Meter. Das heißt, 100 Meter, da kann irgendwas nicht stimmen offensichtlich. Ein Ausschlag von 100 Metern. 100 Meter Ausschlag auf dem Seismogramm wäre ein bisschen komisch. Das heißt, Mometer hat einen Verstärkungsfaktor von 3000 oder so.

Das heißt also nicht, dass die Erde sich um 100 Meter links und rechts bewegt, sondern dass das Ding so viel aufzeichnen würde. Wenn es könnte, kann es natürlich nicht. Es schlägt einfach an den Rand. Also was dann auf dem Seismometer zu sehen, ist es einfach so. Es knallt einfach an den Rand. Es zeichnet nicht 100 Meter Ausschlag wirklich auf.

Dass man als Idee, wie man logarithmische Skalen benutzen kann. Also das ist Anwendung 1 für Logarithmen. Man kann extrem große Bereiche von Messwerten auf überschaubare Bereiche an Zahlen eindampfen.

Stärke 0 bis 8. Und Sie haben dann was von absolut nicht merkbar bis zu vernichtend auf die Zahlen von 0 bis 8 gemerkt. Da tauchen zum Beispiel Logarithmen auf. Nebenbei, das hört mir gerade auf. Das hatte ich gar nicht vor. Aber Sie sehen, wie diese Skala hier funktioniert. Milli hoch minus 3, Mikro hoch minus 6, Nano hoch minus 9.

Das ist ja auch eine logarithmische Skala. Minus 3, minus 6, minus 9, minus 12, minus 15. Diese üblichen Vorsilben sind auch in gewisser Weise eine logarithmische Skala. Attur kommt als Nächste genau.

Das wollte ich auch mal sagen. Wenn das Ding sowieso bis zum Rand ausschlägt, viel schlimmer noch. Zu der Zeit 1906 war diese Skala noch gar nicht definiert. Das heißt, das ist einfach im Nachhinein wie man darum geschätzt, wie groß denn, wie schlimm denn dieses Erdbeben tatsächlich war. Was man dann auch vor allen Dingen bräuchte, ist,

man braucht Seismometer, die eben nicht bis an den Rand ausschlagen, sondern die eben nur einen Verstärkungsfaktor von, weiß ich, 10 haben oder vielleicht sogar nur einen Verstärkungsfaktor von 1 Zehntel haben. Man kann ja mehrere parallel laufen lassen. Eins, was extrem empfindlich ist, und eins, was vielleicht um Faktor 10 unempfindlicher ist, eins, was um Faktor 100 unempfindlicher ist,

und benutzt dann die entsprechend umgerechnet. Gute Frage insofern. Nächste Anwendung von Logorithmus in der Praxis. Dezibel, auch eine logarithmische Skala.

Sobald sie was mit Schallmessungen zu tun haben, wie viel Lärm eine Windanlage macht. Phon ist abgeleitet von Dezibel. Oder sobald sie was mit Signalverarbeitung zu tun haben, irgendwas wird verstärkt über eine Leitung geschickt, dann sind sie sofort bei Dezibel.

Die gehen auch mit Logorithmus. Abgekürzt DB. Dezi tatsächlich von, na, wo bin ich hier? Von Dezi, ein Zehntel. Es gibt keine Millibel und keine Mikrobel. Könnte es geben, aber redet kein Mensch von. Und es redet auch keiner von Bell.

Es gibt irgendwie nur Dezibel dran, historischerseits. Und zwar misst man damit Leistungsverhältnisse mit Dezibel. Keine Erdbeben, sondern Leistungsverhältnisse. Verhältnis, schreib ich mal hin. Und zwar, wenn ich ein Leistungsverhältnis habe von 1 zu 1.

Zwei Signale, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen, was auch immer mit derselben Leistung. Dann sage ich, die haben einen Pegel von 0 Dezibel zueinander. Das eine sind 0 Dezibel auf das andere. Und umgekehrt, wie auch immer dann. Wenn ich ein Verhältnis von 10 zu 1 habe,

sage ich 10 Dezibel. Wenn ich ein Verhältnis von 100 zu 1 habe, sage ich 20 Dezibel dazu. Also wenn das eine Signal 100 mal mehr Leistung hat, als das andere Signal, sage ich 20 Dezibel mehr, hat einen Pegel,

der um 20 Dezibel höher ist. Sehen Sie da die allgemeine Formel, was brauche ich? Und geben dieses Verhältnis, 1, 10, 100. In welcher Formel kommen Sie dann auf diese Zahlen? 0, 10 und 20.

Genau, die Logarithme bilden Sie aus den Verhältnissen, nicht aus den Dezibelzahlen, den Pegeln. Der Logarithmus aus 10 ist 1. Der Logarithmus aus 100, der 10er Logarithmus, der Dekadisch Logarithmus, aus 100 ist 2 und so weiter.

Wie komme ich dann auf diese Dezibel? Wir haben jetzt eine Formel von rechts nach links. 3 ist x für das Leistungsverhältnis und y für den Pegel in Dezibel ausgedrückt. Also, den haben wir schon. x ist gleich 10 hoch y durch 10. Wenn Sie sich das angucken,

y ist gleich 0, dann steht da 10 hoch 0, 1. y ist gleich 10, 10 durch 10, da steht 10 hoch 1, macht 10. 10 hoch 1 ist 10. y ist gleich 20, 20 durch 10, oben steht eine 2, 10 hoch 2, 100.

Die Formel zurück. Also, y ist 10 mal der 10er Logarithmus von x, die Dezibelzahl der Pegel ist 10 mal der 10er Logarithmus vom Leistungsverhältnis.

Ich kann ja einfach an den Beispielen gerade mal checken, ob das sinnvoll ist. 1 einsetzen, der 10er Logarithmus von 1 ist 0. 10 mal 0, 0, fine. x ist gleich 10, der 10er Logarithmus von 10 ist 1. Womit muss ich 10 potenzieren, damit 10 rauskommt? 1, 10er Logarithmus hier 1, 10 kommt raus,

10 Dezibel, ok. x ist gleich 100, der 10er Logarithmus ist 2, 10 mal 2, 20. Diese 10 hier ist einfach von dem Dezibel. Wenn Sie hier nicht mal 10 nehmen, sondern nur den 10er Logarithmus, 0, 1, 2,

sind das sozusagen Bell, so merke ich mir das. Es redet keiner von Bell, die Einheit ist verschwunden. 0, 1, 2, Bell. 1 Bell sind 10 Dezibel und dann kommt hier der Faktor 10 her, um Dezibel daraus zu machen. 1 Meter sind 10 Dezimeter, wenn Sie umrechnen würden.

Hier rechne ich quasi von Bell auf Dezibel. Dieses Deziv vor dem Bell macht hier den Faktor 10. Es kommt an zwei Stellen die 10 vor. Der 10er Logarithmus, damit das hier in 10er Faktoren läuft, dafür der 10er Logarithmus

und hier die 10, weil es Dezibel sind. Für jeden Faktor 10 hier auf der linken Seite, kriege ich auf der rechten Seite 10 drauf. Das ist etwas irritierend, dass es 2 mal 10 sind. An beiden Seiten 10. Also links mal 10 heißt rechts plus 10.

Das ist ein Witz bei dem Dezibel. Das heißt insbesondere, weshalb mache ich das? Das heißt, dass wenn ich mehrere Verstärker hintereinander schalte, einen Verstärker, der von mir aus um 13 Dezibel verstärkt, und dann hinterschalten Sie einen Verstärker, der um 42 Dezibel verstärkt,

wie viel Dezibel haben Sie dann insgesamt? Das hier ist ein bestimmtes Verhältnis. 13 Dezibel muss etwas über Faktor 10 sein. 42 Dezibel, 20 sind 100, 30 sind 1000, 40 sind 10.000, 42 sind etwas mehr als 10.000.

Also das hier ist mal etwas mehr als 10, mal etwas mehr als 10.000. Wie viel gewinne ich insgesamt? Wie viel Dezibel? Potenzgesetze, also es sind nicht 42 mal 13 Dezibel, sondern 42 plus 13 Dezibel. Insgesamt habe ich jetzt einen Verstärker,

der 55 Dezibel liefert, wenn ich die beiden hintereinander schalte. 13 ist mal Faktor 10 etwas mehr, 42 ist mal Faktor 10.000 etwas mehr. Also bin ich insgesamt bei Faktor 100.000, 55 Dezibel. Das ist lustig, dass ich die Dezibel addieren kann.

Über die gesamte Übertragungsstrecke kann ich die Dezibels addieren und habe dann den Gesamtverstärkungsfaktor. Das ist dann ein Vorteil von Dezibel. Aus dem Produkt, aus diesen Verhältnissen, die ich dann miteinander multipliziere, mal 10 plus x, mal 10.000 plus x,

aus diesen Verhältnissen, die ich miteinander multipliziere, mache ich Zahlen, die ich addieren kann. Das macht das Ganze etwas pflegeleichter. Das ist Vorteil Nummer 2 von den logarithmischen Einheiten. Vorteil Nummer 1, Richterskala, ein sehr großer Bereich wird auf einen relativ überschaubaren Bereich eingedampft.

Vorteil Nummer 2, aus einem Produkt wird eine Summe. Hier werden Verstärkungsfaktoren multipliziert und es wird eine Summe daraus. Dafür sind Logarithmen eigentlich mal erfunden worden, habe ich von den alten Videos erzählt, weil wenn ich den Logarithmus,

eines Produktes nehme, dann ist das eben der Logarithmus des einen plus den Logarithmus des anderen. Ich will sagen, der Logarithmus macht aus Produkten Summen. Summen sind viel leichter zu berechnen, insbesondere mit dem Abakus und ähnlichen Geschichten. Deshalb haben die Leute den Logarithmus erfunden, damit sie addieren konnten, statt multiplizieren mussten.

Das passiert bei den Dezibel hier auch. Das ist einer der Gründe, warum man Dezibel benutzt. Ich kann hier einfach addieren, statt Leistungsverhältnisse miteinander zu multiplizieren. Was dann auch reinkommt, weshalb Dezibel spannend sind,

zum Beispiel für alles, was mit Schall zu tun hat, ist, weil das menschliche Gehör und auch diverse andere Sinne des Menschen logarithmisch funktionieren. Hier ist ein Unterschied von 10 Dezibel, der hört sich praktisch immer gleich an, egal ob es gerade schon Mörderlaut ist oder ob es Flüsterleise ist. Das menschliche Gehör

arbeitet hier insbesondere, was die Lautstärkeempfindung angeht, etwa logarithmisch, was man noch lange diskutieren könnte, aber so grob kann man das mal mitnehmen. Der Mensch hört sozusagen tatsächlich die Dezibel und nicht die Leistung. Das ist Punkt Nummer 3.

Punkt 1, große Bereiche eindampfen, Punkt 2, aus dem Produkt wird eine Summe und Punkt 3, oft entspricht das dem, was man als Mensch wahrnimmt, das logarithmische. Da sehen Sie logarithmen in der Praxis.

Es gibt noch einen wichtigen Eintrag hier in die Dezibel-Tabelle. Den möchte ich auch noch haben. Ein Leistungsverhältnis von 2 zu 1 und ein Leistungsverhältnis von 4 zu 1.

Wie viel Dezibel sind das etwa? Das überlegen Sie sich gerade mal möglichst ohne Taschenrechner. So und so viel Dezibel für 2 zu 1 und so und so viel Dezibel für 4 zu 1. Okay, die einfachste Möglichkeit hier jetzt, wo wir nicht hier einzusetzen, 10 mal den Zehnerlogarithmus von 2

für das Verhältnis von 2 zu 1, dann finden Sie eben, der Zehnerlogarithmus von 2 ist 0,30 irgendwas. Das mal 10 sind 3 Dezibel, das hat man dann irgendwann auswendig. Eine andere Art drauf zu kommen ist sich zu überlegen,

welche Zehnerpotenz denn 2 ist. 2 ist 10 hoch wie viel? Folgender Trick. 2 hoch 3 ist 8, also ungefähr 10. Und dann, wenn 2 hoch 3 gleich 10 ist, ist also 2 ungefähr die dritte Wurzel aus 10.

10 hoch ein Drittel. Wenn ich dann den Zehnerlogarithmus aus 2 bilde und 2 ist 10 hoch ein Drittel, der Zehnerlogarithmus aus 2 muss irgendwas bei einem Drittel sein. Das sind diese ominösen 3 Dezibel. 3 Dezibel sind ein Leistungsverhältnis von 2 zu 1,

die kommen sehr häufig vor. Und 4 zu 1 hatten einige auch schon ausgerechnet. 6 Dezibel, aber, 6 Dezibel nicht, weil sich das hier verdoppelt, das kann ja nicht sein. Sie sehen, wenn Sie hier um Faktor 10 auf der linken Seite gehen,

gehen Sie hier um 10 weiter auf der rechten Seite. Dass Sie hier von 2 auf 4 verdoppeln, das kann nicht wirklich der wahre Grund sein, dass Sie hier von 3 auf 6 verdoppeln. Was ist der richtige Grund, dass das tatsächlich jetzt zufällig auf beiden Seiten verdoppelt wird? 4 ist nicht nur das Doppelte von 2, sondern auch das Quadrat von 2.

Das ist der Grund. Wenn ich das vorstelle mit diesen Verstärkern, ich habe einen Verstärker, der um Faktor 2 verstärkt, und dann noch einen Verstärker, der wieder um Faktor 2 verstärkt. Dann habe ich einen Verstärker, der insgesamt um Faktor 4 verstärkt. 3 Dezibel und dann nochmal 3 Dezibel drauf.

Das ist der Grund, weil es das Quadrat von 2 ist. Und dann noch zweimal, um 2 Quadrat verstärken. Deshalb verdoppelt sich das hier. Wenn Sie hier auf 8 zu 1 gehen, haben Sie deshalb 9. Schon wieder 3 Dezibel drauf. Die Leistung zweimal verstärken meine ich damit, wenn ich die Leistung um Faktor 2 verstärke und dann nochmal um Faktor 2 verstärke,

habe ich sie insgesamt um Faktor 4 verstärkt. Da kommen die 6 Dezibel her. Und wenn ich die Leistung nochmal um Faktor 2 verstärke, bin ich bei 9 Dezibel dreimal die hintereinander. Was wird denn passieren, wenn ich dann ein Pegel habe

von minus 10 Dezibel? Was heißt denn das? Also umgekehrt, ich habe 1 Zehntel der Leistung. 1 zu 10. Hier eine negative Zahl im Exponenten, den Kehrwert. So funktionieren die Negativen. Was müsste dann, das gibt es dann tatsächlich auf dem Mischpult.

Minus unendlich Dezibel finden Sie auf dem Mischpult. Was ist das dann? Korrekt, Null. Sie gehen hier sozusagen ins Negativ Unendliche. 10 hoch minus unendlich. Sie haben sich die Exponentialkurve vor. 10 hoch minus unendlich.

Dann kommt formal Null raus. So steht es dann auf dem Mischpult. Wenn sich die Schieberegler auf dem Mischpult anguckt, dann steht hier oben irgendwas von 6 Dezibel, 0 Dezibel und ganz unten steht minus unendlich Dezibel, weil es gibt keine Null in diesem Sinne in dem Spiel. Das selbe können wir gerade nochmal

beim Herrn Richter uns angucken hier. Was heißen denn jetzt eigentlich negative Stärken für solche Erdbeben? Ja, genau so ist das. Stärke minus 1 ist nicht in den Nachrichten, weil das wäre 1 Zehntel.

Also 0,1 schreibe ich jetzt tatsächlich mal hin, das ist ja ein Messwert. 10 hoch minus 1 Mikrometer. Dann Stärke minus 1 und so geht das weiter. Das heißt, die Richterskala ist ins Negative offen, was nicht allzu schlagzeinträchtig ist, wenn Sie eine Stärke von minus 10 haben.

Interessiert jetzt nicht irgendjemanden. Sie ist nach oben offen, das wurde früher immer mit dazu gesagt im Radio und im Fernsehen, auf der nach oben offenen Richterskala, weil total peinlich, Stärke 8 sehen Sie, ist massiv, Stärke 9 ist massivst, Stärke 10, Stärke 11 und so weiter,

irgendwann fliegt einem die Erde um die Ohren. Irgendwann ist hier bald Schluss. Das geht nicht bis 100 oder bis 1000. Deshalb war das immer völliger Blödsinn zu sagen, auf der nach oben offenen Richterskala. Sie ist theoretisch nach oben offen, aber das lässt sich einfach nicht machen. Theoretisch ist sie in beide Richtungen offen. Sie ist nach oben offen und nach unten sowieso

für winzige Ausschläge.