Angenommen, ich weiß Folgendes über eine stetige Zufallsgröße. Sie hat Werte von minus a bis plus a, wobei ich a erst mal nicht kenne, eine positive reelle Zahl. Die Zufallsgröße hat Werte von minus a bis plus a und alle gleichmäßig dazwischen.

Sie liegt hier so häufig wie da, wie da, so eine gerade durchgezogene Linie. So soll die Zufallsgröße sein, dass das ihre Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Und ich möchte außerdem noch, dass die Standardabweichung von dieser Zufallsgröße

eins ist. Die Frage ist, wie muss ich a wählen, wie breit ist das dann eigentlich? Also der erste Schritt sollte sein, sich diese Höhe hier zu überlegen. Das soll eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein, das heißt, diese Fläche hier muss

eins werden. Das ist jetzt eine ganz banale Geometrie, damit diese Fläche eins werden kann, die ist 2a breit, dann muss sie eins durch 2a hoch werden. Also habe ich eine Funktion klein p in Wahrscheinlichkeitsdichte, die zwischen

minus a und plus a konstant gleich eins durch 2a ist. Ich muss vielleicht erst mal klammern, so rum ist vielleicht besser, eins durch 2a. Vielleicht auch noch mal nebenbei. Wenn diese Zahl a klein ist, wird das Ganze hoch, eins durch 2a wird groß, wenn a klein

ist. Ich muss ja immer noch die Fläche eins haben. Wenn die Zahl a groß ist, das Ganze breit ist, muss das flach werden, damit es wieder die Fläche eins hat. Die Höhe ist eins durch 2a. Damit rechnen Sie jetzt vorwärts, was die Standardabweichung denn ist in dieser

Situation, nur dass Sie a nicht kennen. Ok, der Erwartungswert ist offensichtlich 0, das muss man nicht ausrechnen. Wenn ich so eine symmetrische Figur habe, dann könnte ich das mit dem Integral hinschreiben, toll, aber das lohnt sich ja noch nicht.

Ich sollte auch noch mal sagen, p, damit meine ich diese gesamte Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichtet, die ich übrigens hier ein bisschen uselig gezeichnet habe. Eigentlich habe ich hier keine Funktion gezeichnet, hier mit der senkrechten Linie. Sie wissen, was ich meine. P sollte für die gesamte Funktion stehen.

So, und nun habe ich die Varianz, ist der Erwartungswert vom Quadrat minus das Quadrat vom Erwartungswert, aber der Erwartungswert ist offensichtlich 0 in unserem Spiel. Das Quadrat der Varianz ist 1, weil die Standard Variation schon 1 sein soll,

dann ist also auch das Quadrat davon 1. Und was ist e von x Quadrat, der Erwartungswert von x Quadrat, ich integriere von minus a bis a x Quadrat, mal die Wahrscheinlichkeitsdichte, die

Wahrscheinlichkeitsdichte ist die ganze Zeit ja 1 durch 2a. So, 1 durch 2a kann ich nach vorne holen und dann Stammfunktion zu x Quadrat, billigste wäre x hoch 3 Drittel, von minus a bis a, ist 1 durch 2a,

mal a hoch 3 Drittel, minus, und jetzt setze ich minus a ein, minus a hoch 3, minus a hoch 3 sind minus a hoch 3 Drittel, kommt dasselbe nochmal raus, durch 2, dann kann ich einstreichen, a hoch 3

durch 3a, dann bin ich bei a Quadrat durch 3, das soll 1 sein, a ist nicht negativ, hatte ich am Anfang mal gesagt, a soll nicht negativ sein, also finde ich, dass a ist gleich Wurzel 3, plus Wurzel 3, 1,7 noch was.

So, also ich nehme so eine gleichmäßige Verteilung von minus irgendwas bei 1,7, ich schreibe jetzt 3 ist 1,7 hin bis plus 1,7, so eine Verteilung und die

ist in dieser groben Beschreibung 0 plus minus 1, so würden Sie das einfach nur physikalische Experimente machen, würden Sie typischerweise sagen,

ok meine Zufallsgröße ist 0 plus minus 1, Standardabweichung von 1, wir sehen ja ok hin und wieder wird es schlimmer als 1 in der Abweichung, aber es wird ja eigentlich viel häufiger, weniger schlimm in der Abweichung, eigentlich

sollte man doch erwarten, dass die Standardabweichung sowas ist, dass die bis zur Hälfte geht, warum ist die Standardabweichung nicht das, was ich erwarten würde, dass die bis zur Hälfte zeigt, warum geht die weiter, sie geht bis zu minus 1 statt bis zur Hälfte von minus 1,7 und sie geht bis zu plus 1, so rum aufgetragen, plus sigma, statt bis zur Hälfte von 1,7, sie geht über die

Hälfte hinaus, warum, was ist schief, also die Standardabweichung verhält sich nicht so, wie man es naiv erwarten könnte, ich habe Abweichungen von 0 bis 1, 0 bis

minus 1, alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsdichte, aber die Standardabweichung liegt dann trotzdem nicht in der Mitte, sondern Sie sehen, hier liegt es ein bisschen weiter außen, das liegt daran, wie wir die gebildet haben, ich habe gesagt, die Variante, die Standardabweichung ins Quadrat ist der

Erwartungswert von x minus sein Erwartungswert ins Quadrat, was man dann hier umformen konnte, in Erwartungswert von x Quadrat minus Quadrat von Erwartungswert, dieses Quadrat ist das Ärgernis, das macht so einiges kaputt, wenn ich die naheliegendere Lösung gewählt hätte, wenn ich gewählt

hätte, der Erwartungswert vom Betrag von x minus Erwartungswert, dann würde es funktionieren, dann hätte ich eine Standardabweichung, die so funktioniert, wie man sich das vorstellt, diese Definition mit dem Quadrat hier in der Varianz, die sorgt dafür, dass einige Sachen nicht so

funktionieren, wie sie funktionieren sollten, einige komische kleine Faktoren dann jeweils dabei stehen, also so ist es leider nicht geworden, die Definition der Standardabweichung ist nicht geworden, der Erwartungswert vom Betrag der Abweichung, sondern ist leider geworden der Erwartungswert vom Quadrat der Abweichung und daraus die Wurzel.