Folgende Aufgabe. Der 10er Logarithmus von x² ist gleich 6. Was ist x? Rennen Sie mal die Logarithmengesetze an. Aber seien Sie vorsichtig. Es kann sein, dass irgendetwas verloren geht. Das sieht erstmal einfach aus, aber diese Aufgabe hat eine Hürde eingebaut.

Ich zeige beide Wege. Erstmal den Weg, den die meisten gewählt haben, bei dem man keine Probleme hat, lustigerweise. Wenn der 10er Logarithmus von x² gleich 6 ist, dann weiß ich, x² muss 10 hoch 6 sein.

Also das, was ich da oben habe, ist gleichbedeutend mit x² ist gleich 10 hoch 6. Keine Probleme damit. Das können Sie auch so kriegen, indem Sie sagen, ich nehme die linke Seite, 10 hoch die linke Seite, gleich 10 hoch die rechte Seite. 10 hoch die rechte Seite, klar, 10 hoch 6. 10 hoch die linke Seite, habe ich gerade gesehen, gibt noch Probleme.

10 hoch den 10er Logarithmus von irgendwas, gibt wieder dieses irgendwas. Der 10er Logarithmus ist die Umkehrfunktion zu 10 hoch. Die beiden heben sich auf. 10 hoch den 10er Logarithmus. Wie die dritte Potenz der dritten Wurzel oder die dritte Wurzel der dritten Potenz.

So können Sie sich das vorstellen. Beide Seiten in den Exponenten nehmen. 10 hoch links, gleich 10 hoch rechts. Und wenn man das hat, nicht vergessen, dass es zwei Möglichkeiten gibt. Es gibt als Lösung einmal 10 hoch 3. 10 hoch 3 ins Quadrat. 10 mal 10 mal 10, mal 10 mal 10 mal 10 sind 10 hoch 6.

Oder minus 10 hoch 3. Zwei Möglichkeiten. Erster Weg. Zweiter Weg. Mit den Logarithmengesetzen. Vielleicht müssen wir das betreffende Gesetz nochmal ordentlich haben, weil das nur bei der Hälfte der Leute jetzt irgendwie so geklappt hat.

Gucken wir uns das Einstägegesetz nochmal an. Der Logarithmus zur Basis B aus einer Potenz. Was wissen Sie darüber? Der Logarithmus aus einer Potenz. Wie kann ich das vereinfachen? Etwas konkreter gefragt. Der 10er Logarithmus von mir aus 1000 ins Quadrat.

Wie könnte ich den kriegen? Den 10er Logarithmus aus 1000 ins Quadrat. Wie können Sie das umformen?

Sie können diese zwei aus der Logarithmusfunktion rausziehen. Vielleicht führe ich das tatsächlich an diesem Beispiel nochmal vor, dass Sie einmal sehen, dass es funktioniert. Der Logarithmus von 10 aus 1000 ins Quadrat ist der Logarithmus zur Basis C von 10 hoch 6.

1000 ist 10 hoch 3 ins Quadrat. 10 hoch 6. Mit anderen Worten gleich 6. Oder mit der Rechenregel können Sie auch sagen, ich ziehe die zwei aus dem Logarithmus raus. Zwei Mal den 10er. Hab ich da Lg 10 geschrieben? Wie schlimm sieht das aus?

Logarithmus 10 natürlich. Lg ist der 10er Logarithmus. Die zwei rausziehen von 1000. Der 10er Logarithmus von 1000 bis 3 gibt auch schon wieder 6. So wird es auch funktionieren. Die allgemeine Regel, Sie können den Exponenten hier aus dem Logarithmus rausziehen.

C mal den Logarithmus zur Basis B von A. Das habe ich eben gelernt. Wir sollten nochmal klären, für welche A, B, C das gilt. Das schreiben die Ingenieurinnen und Ingenieure und die Physiker und Physikerinnen eher selten hin.

Die Mathematiker sind da strikt A, B, C. Für welche A, B, C gilt das? Fangen wir mal an mit A. Ich sollte das so hinschreiben. Für alle A, B, C, die irgendwas erfüllen. Für alle A, aus welcher Menge gilt das?

Für alle B, aus welcher Menge? Und für alle C, aus welcher Menge gilt das hier? Fangen wir mit A an. Welche A dürfen Sie in diese Regel hier einsetzen? Alle reellen Zahlen größer Null. Nicht die Null, nicht die negativen Zahlen. Das sehen Sie hier schon auf der rechten Seite.

Der Logarithmus von Null. Womit potenziele ich B, damit Null rauskommt? Keine Chance. Denken Sie an Exponentialfunktionen. Da kommt nicht Null raus, beim besten Willen. Negative Zahlen? Schon gar keine Chance. Zumindest solange es nicht komplex wird.

Also, ich habe keine Chance für ein negatives A, ich habe keine Chance für A gleich Null. Alle positiven Zahlen, alle positiven reellen Zahlen werden das machen. Ich sage mal selbst hier gerade C, diese Exponenten, dürfen beliebige reelle Zahlen sein. A hoch minus 98, A hoch plus 37 halbe überhaupt kein Problem. Können Sie davor ziehen.

Das klappt für alle reellen Zahlen im Exponenten. Aber zu welcher Basis darf ich Logarithmen bilden? Das ist noch spannend. Für welche B kann ich Logarithmen bilden? Dann in Zehnerlogarithmus, Lg, den natürlichen Logarithmus. Zur Basis E, 2, noch was.

Zu welchen Basen können Sie Logarithmen bilden? Zu welchen Basen können Sie keine Logarithmen bilden? Genau. B gleich Null würde nicht funktionieren. Zur Basis Null, ich schaffe hier mal Platz. Zur Basis Null haben wir keine Chance. Wenn Sie sich die Exponentialfunktion zur Basis Null angucken.

Y ist gleich Null hoch X. Null hoch 1 ist Null. Null hoch 2 ist Null. Null hoch 42 ist Null. Null hoch ein halb. Die Wurzel aus Null ist Null. Das sieht ziemlich platt aus.

Was halten Sie von Null hoch Null? Was sollte Null hoch Null sein? Genau. In der Ingenieurwissenschaft und der Informatik ist man sich relativ einig. Null hoch Null sollte 1 sein. In der Mathematik kann man das lange diskutieren.

Praktischerweise sollte Null hoch Null gleich 1 sein. So sieht also meine Funktion aus. Was halten Sie von Null hoch Minus 1? Bei Null hoch Minus 1 habe ich ein Problem. Richtig, das wäre ja 1 durch Null. Das heißt für negative X hier gar keine Chance.

Der Logarithmus zur Basis Null müsste hier von die Umkehrfunktion sein. Sie sehen, keine Chance. Davon gibt es keine Umkehrfunktion. Logarithmus zur Basis Null gibt es nicht. Das ist nicht der einzige Logarithmus, der nicht funktioniert. Es gibt noch einen anderen, von dem man meinen könnte, dass er funktioniert. Was ist auch noch eine ziemlich dumme Funktion?

Irgendetwas hoch X, was liefert ähnlich dumme Resultate? Korrekt, 1 hoch X ist genauso blöd. Sie kriegen die ganze Zeit 1 raus. Ich mache das hier in das selbe rein. 1 hoch X liefert die ganze Zeit 1. 1 hoch Null ist 1. 1 hoch 42 ist 1.

1 hoch Minus 3 ist 1. Wir sehen, da haben Sie auch keine Chance für den Logarithmus. Das kriegen Sie nicht umgekehrt. Ich will sagen, dieses B, was darf denn dieses B dann sein? Zu welchen Zahlen B kann ich denn jetzt nun wirklich Logarithmen bilden? Ja, alles zwischen Null und 1 wäre okay und ab 1 aufwärts wäre okay.

Positive Zahlen, aber nicht die 1. Könnte man so hinschreiben, alle positiven realen Zahlen, was automatisch die Null ausschließt, da wäre die Null dabei, alle positiven realen Zahlen, aber nicht die 1. Das ist etwas überraschend, dass man die 1 da ausschließen muss als Basis.

Das wäre das allgemeine Gesetz, wie es in der Formelsammlung steht. Wenn man das in voller Gänze hinschreibt, wie gesagt, in den Ingenieurwissenschaften, in der Physik, ist man da gerne ein bisschen schlampig. An dieser Stelle, bei dieser Aufgabe, um die es gerade geht, da muss man vorsichtig sein, dass man wirklich alles das mitnimmt. Dieses Gesetz, dass man den Exponent nach vorne ziehen kann,

gilt für alle As, die positiv sind, für alle Bs, die positiv und nicht 1 sind, und für alle Zahlen C, egal wie. Jetzt gehen wir nochmal zurück zu der Aufgabe hier. Zweiter Weg. Dieses Gesetz anwenden. Das hatten ja einige gemacht. Dieses Gesetz anzuwenden.

Ich ziehe die 2 nach vorne. 2 mal Logarithmus x gleich 6. Ich mache hier schon mal ein Fragezeichen. Gleich geht das schief. Dann teile ich auf beiden Seiten durch 2. Ich finde, der Logarithmus von x ist gleich 3. Naja, der 10er Logarithmus von x ist gleich 3.

Schön, x ist gleich 10 hoch 3. Was ist schiefgegangen? Warum habe ich hier jetzt nur noch eine Lösung, obwohl es 2 sein müssten? Genau, das ist das Problem. Dieses Gesetz geht nur für positive Zahlen a. Ich kann es nicht für negative Zahlen anwenden. Für negative Zahlen sagt mir das nichts.

Das hier gilt für alle Zahlen a, die positiv sind, für alle Bs usw. Wenn a nicht positiv ist, sagt mir das Gesetz nichts. Das ist der Ärger. Das heißt, indem ich das Gesetz anwende, habe ich hier etwas verschlammt. Das gilt nicht. Das Gesetz geht nur dann, wenn x eine positive Zahl ist.

Dann geht das weiter und ich kriege auch eine positive Zahl raus. Wenn x eine negative Zahl ist, hilft mir dieses Gesetz nichts. Dann habe ich hier keine Äquivalenz um Formel gemacht. Da muss man vorsichtig sein. Wie gesagt, in den Ingenieurwissenschaften und in der Physik ist man da gerne ein bisschen schlampig. Das kann einen reinreiten.

Das sehen Sie an dieser Stelle, dass hier etwas schief geht. Ich verliere eine Lösung, weil ich nicht darauf aufpasse, dass dieses Gesetz nicht für alle Zahlen a gilt, sondern nur für die positiven Zahlen. Das noch mal als Warnhinweis, wenn Sie Logarithmengesetze anwenden. Nicht ganz so helmsärmlich, im Zweifelsfall geht irgendwas schief.