Das Volumen eines billigen Rotationskörpers, und zwar, den Hinweis lassen Sie mal die Formelsammlung zu und das Skript denken Sie lieber selber nach, folgende Funktion, y gleich x², diese Funktion um die x-Achse drehen

und die Frage ist, was ergibt das dann für ein Volumen? Also hier wird gedreht, welches Volumen steckt da drin? Das Volumen eines Rotationskörpers.

Versuchen Sie das mal wirklich selbst hinzukriegen. Stellen Sie sich vor, was passiert, wenn Sie hier ganz winzige und immer größere Bierdeckel übereinander legen. Wie kann ich das Volumen dieser einzelnen Bierdeckel addieren? Was wird zum Schluss als offizielle Formel rauskommen müssen?

Irgendein Integral natürlich, dx. Also, ich sollte noch sagen, von x gleich 0 bis x gleich 1. Der Teil der Kurve interessiert mich. x gleich 0 bis x gleich 1, den drehen um die x-Achse. Wie viele Kubikmeter sozusagen, wie viele Volumeneinheiten stecken da drin?

Sie haben recht, wenn Sie sagen, wir bräuchten eine z-Achse, die z-Achse piekst hier raus oder rein. Je nachdem, wie man es gerne haben will, rechtshändig oder linkshändig. Also, im Großen und Ganzen in 3D sähe das dann so aus. Ich habe x und y und quer dazu z. Und dann diese Figur von dieser Art.

So sieht das dann aus insgesamt. Und die Frage ist, wie viel Volumen steckt in dieser Figur drin? Wenn ich die Figur mal um 90 Grad drehe, hat man ja sowas dann. Also keine Pyramide, sondern quasi so ein Zipfel hier.

Stimmt, andersrum ist es ein Kelch. Wenn Sie es andersrum um 90 Grad drehen, ist es quasi ein Kelch. Genau, so wird es ein Kelch, wenn Sie es um 90 Grad so umdrehen. Davon hätte ich gerne das Volumen.

Denken Sie wirklich mal an die Bierdeckel. Was ist das Volumen jedes einzelnen Bierdeckels hier sozusagen? Jeder Salamischeibe. Das Integral sollte dann aufsummieren. Also quasi eine Summe über unendlich feine Bierdeckel.

Wenn Sie sich so ein Bierdeckel angucken, was ist das Volumen eines solchen Bierdeckels? Das ist dessen Dicke, dx. Als Physikerin, Physikerin, Ingenieur versteht man das als unendlich kleines Stück, was man in x zur Seite geht. Das hier ist die Dicke von dem Ding.

Und ich summiere auf die Fläche mal die Dicke. Fläche mal die Dicke gibt das Volumen. Und die Fläche hier, einfach die Kreisfläche, Pi mal r². Pi mal, schreibe ich jetzt r. Na, ich schreibe tatsächlich mal Pi mal r², so. In den richtigen Grenzen.

Ich schreibe mal wirklich das so hin, dass das wie die Formelsammlungsformel aussieht. Reicht so. So, dann haben wir die Formelsammlungsformel. In der Formelsammlung wird man natürlich das Pi nach vorne nehmen. Im Integral sieht das ein bisschen komisch aus. Das ist eine Konstante, die dürfen Sie nach vorne nehmen. Das ist die Formelsammlungsformel für das Volumen eines Rotationskörpers.

Bei Drehung um die x-Achse. Ziemlich billig. Mit unserer Funktion wird das werden Pi mal integriert von 0 bis 1. Und jetzt muss man ein bisschen vorsichtig sein. Der Radius ist ja mein y.

Mein y ist x². Ich brauche aber das Quadrat vom Radius. Also x². Quadrat. x hoch 4. Die x. Die billigste Stammfunktion wäre x hoch 5. Fünftel in den Grenzen von 0 bis 1. Und dann habe ich 1 hoch 5. Fünftel minus 0 hoch 5.

Mal Pi. Pi. Fünftel. Wird das Volumen von diesem Objekt zahlen? Also ein ziemlich komisches Objekt. Aber man hat in zwei Zeilen da stehen, was das für ein Volumen hat. Vielleicht mal gerade so ein bisschen echte Mathematik. Das hier war jetzt ja einfach Formel einsetzen.

Die zweite Zeile, die erste Zeile ist echte Mathematik. Noch da ein bisschen weiter zu. Wenn Sie sich das so überlegt haben, wie können Sie jetzt da einen Sanity-Check machen? Was gucken Sie sich hier an, um die Idee zu kriegen, ob das überhaupt wahr sein kann? Ob es eine Chance hat, wahr zu sein? Was gucken Sie sich hier an bei der Formel?

Meter hoch 3 werden das automatisch werden. Die Längeneinheit hoch 3. Hier steht die Längeneinheit ins Quadrat. Meter Quadrat. Und wenn man es hier physikalisch nimmt, so anschaulich, das dx, ein unendlich kleines, ein infinitesimal kleines Stückchen, wie es dann heißt, was man zur Seite geht, hat das natürlich auch Meter.

Hier stehen Kubikmeter, werden aufsummiert, wunderschön. Es kommen Kubikmeter raus. Das ist natürlich so ein bisschen inoffiziell die Begründung. Die andere Begründung wäre, wenn Sie ein Integral bilden, sowas wie f von x dx, irgendwelche Grenzen, sich das angucken, das soll ja die Fläche unter der Funktion sein.

Die Einheit von dem, was rauskommt, muss sein, die Einheit auf der x-Achse mal die Einheit auf der y-Achse. Wenn Sie hier Meter über Sekunden integrieren, kriegen Sie Meter mal Sekunde raus. Das wäre ein bisschen komisch. Egal. Also die Einheiten multiplizieren sich tatsächlich.

Ich kriege zum Schluss die Einheit von f mal die Einheit von x. Die Einheit von x hier mal die Einheit von f. Das wird die Einheit des Integrals sein, genau wie es hier dann auch rauskommt. Wäre ein allerallererstes Sanity-Check. Ich gucke, ob das einheitsmäßig hinkommt. Und dann werde ich natürlich auch mal böde Beispiele einsetzen. Was ist das blödeste Beispiel, was Sie hier einsetzen können?

Genau, das allerblödeste Beispiel ist Null einzusetzen. Ein Rotationskörper, der die ganze Zeit den Radius Null hat, dann hat er auch das Volumen Null. Glück gehabt. Wäre schlimm, wenn das nicht ginge. Und als nächstes natürlich hier einen konstanten Radius einsetzen.

Ich gucke mir einen Zylinder an. Hier mal ich mal einen Zylinder hier. Ich habe sich vorhin einen Zylinder reingemalt. Ich gucke mir einen Zylinder an. Sie wissen, wie ein Zylinder geht. Grundfläche mal Höhe vergleichen. Das Miteinander wird offensichtlich auch hinkommen. Wenn man bis dahin gekommen ist mit seinen Sanity-Checks, dann glaubt man das auch allmählich.

Wobei gleich sehen wir noch einen Fall, nämlich bei der Mantelfläche, wo das hinhauen würde bis dahin und es trotzdem falsch sein könnte. Aber in der Tat, diese Formel bringt es dann. Und jetzt gucken wir uns das aus einer anderen Position an.

Wir berechnen noch das Volumen eines anderen Rotationskörpers. Nämlich, was passiert, wenn ich dieselbe Kurve nehme? Auch wieder von Null bis Eins. Und ich drehe sie so herum. Um die Y-Achse. Auch bitte nicht in die Formel sammeln. Ihr kennt alle diese Formel. Die sind aber langweilig.

Weil man die in 30 Sekunden selbst hinschreiben kann. Spannend ist, wieso kann man die so in 30 Sekunden selbst hinschreiben? Dann hat man was gelernt über das Integral. Also, was ist das Volumen von diesem Körper? Sie sehen, das ist jetzt also ein Paraboloid. Wirklich so eine Tasse. Eine gefüllte Tasse. Oder ich sollte sagen, der Inhalt einer gefüllten Tasse.

Der Kaffee in der Tasse hier. Von X gleich Null bis X gleich Eins. Dem mal um die Y-Achse drehen. Was passiert, wenn ich das Ding um die Y-Achse drehe? Überlegen Sie sich die Formel für die Y-Achse. Gegeben ist diese Funktion hier.

Mal es vielleicht nochmal hin. Welche Formel kriege ich dann? Ich habe hier eine Funktion. Y ist gleich F von X. Wir kennen die Funktion schon. X², aber machen wir es mal allgemein. XY. Und jetzt suche ich das Volumen, das hier entsteht.

Wie können Sie das in Salamischeiben oder Bierdeckel zerlegen? Dieses Volumen bei Rotation um die Y-Achse. Ein Integral, aber auch am schönsten wieder ein Integral über die X. Die einfachste Lösung, oder die gradlinigste Lösung wäre zu sagen,

wir vergessen, dass das die Y-Achse und das die X-Achse ist. Wir vertauschen die Rollen von X und Y und integrieren über Y an dieser Stelle. Wir müssen natürlich hier passend umkehren. Das wäre eine Möglichkeit, aber es geht auch direkt weiter mit einem Integral über die X. Schreiben Sie das mal hin.

Wie das allgemein aussieht. Von A bis B auf der X-Achse. Von A bis B. So ein Stückchen hier. Ich will sagen, ich habe hier viel zu viel genommen. So sieht das aus. Da die Bierdeckel aufsummieren.

Also hier müssen wir ein bisschen weiter reingucken. Ich habe hier solche Scheiben, die sich an die Funktion anschmiegen. Und die Frage ist, wie hoch ist denn jetzt so eine Scheibe?

Ich gehe hier ein Stückchen dX zur Seite. Dann gehe ich ein Stückchen dy nach oben. Jetzt möchte ich aber hier hinten dx haben, um das ganz normale Integral zu schreiben. dy wäre einfach.

Ich muss irgendwie umrechnen, von dx auf dy. Als dicke dieser Scheibe brauche ich das dy. Die Fläche, das haben Sie alle schon gesehen. Die Fläche ist leicht. Der Radius ist nämlich x. Also ist die Fläche pi mal x².

Das ist leicht. Aber dy bräuchte ich eigentlich. Hier steht blöderweise im Integral dx. Hier bräuchte ich jetzt irgendwie noch eine Art, wie ich dy schreiben kann. Mit dx. Und dann ist das Integral komplett.

So, die Ableitung sagt uns also was. Wenn die Ableitung 1 ist, ist dy genauso groß wie dx. Wenn die Ableitung 0 ist, ist dy 0. Die Kurve ist flach. Und so weiter und so weiter. Das Verhältnis von diesen beiden ist doch die Ableitung. Also ist dy gleich f'.

Die Ableitung an dieser Stelle x mal dx. Dann kommt das hin. Wenn die Ableitung 0 ist, ist dy platt. Wenn die Ableitung 1 ist, ist dy genau dasselbe wie dx. Wenn die Ableitung 2 ist, ist dy doppelt so groß wie dx.

Und so weiter. Hier kommt die Ableitung. Oder jetzt ganz ingeniörmäßig, so wie wir es eben bei der Substitution hatten. Stellen Sie sich vor f' von x. Das ist ja eigentlich dy nach dx. dy nach dx mal dx. Wie bei der Substitution. Kürzen wird dy.

Mit der richtigen Portion Mathematik geht das sogar tatsächlich. Das wird in der Schule normalerweise nicht unterrichtet. Nonstandard Analysis. Das geht tatsächlich, aber sieht für die gestandenen Mathematikerinnen und Mathematiker auf den ersten Blick ganz fürchterlich aus. Aber es funktioniert.

Netterweise auch nachweisbar. Das ist was hier passiert. Also ich kriege die Ableitung von dieser Funktion dazu. Das wäre die Formelsammlungsformel für das Volumen bei Drehung um die y-Achse. Und dieses Pi nimmt man natürlich jetzt wieder nach vorne.

So sieht das aus. Wir können auch einmal wieder die Einheiten checken. Quadratmeter, Meter. Zumindestens die Einheiten passen schon mal. Wenn Meter hoch drei stünden, x hoch drei, müssten Meter hoch drei mal Meter. Keine gute Idee.

Wenn wir hier in Sekunden stünden, kann alles nicht so sein. Also einheitsmäßig passt das schon mal. Der ganz einfache Sanity-Check wäre eigentlich folgender. Der Sanity-Check von eben. Der allererste nach den Einheiten. Was kann ich hier noch ausprobieren? Eben haben wir uns das dümmste Körper angeguckt, was passiert, wenn der Radius null ist.

Dann wird auch das Volumen null sein, weil ich hier nur einen Strich entlang der x-Achse habe. Nichts mit Volumen. Hier ist das etwas anders. Was ist hier der dümmste Körper, den ich mir angucken kann? So genau.

Wenn y konstant ist, wenn ich hier eine Funktion nehme, die konstant ist, so eine Funktion. Und die um die y-Achse drehe, dann kriege ich eine Scheibe raus. Vielleicht noch mit einem Loch in der Mitte, aber es wird eine Scheibe werden. Und kein Volumen haben. Was passiert hier, wenn y, wenn diese Funktion konstant ist?

Was passiert in meiner Formel? Richtig, dann wird die Ableitung null. Konstante Funktion ableiten, die Ableitung wird null und das Volumen wird null. Das macht mich doch glücklich an der Stelle. Die Formel scheint etwas Richtiges zu tun bei einer Funktion, die nicht ganz so simpel ist.

Sie muss nicht mal komplett null sein. Sie muss einfach nur konstant sein und wir kriegen das Richtige raus. Das ist jetzt kein Nachweis, dass diese Formel stimmt. Aber schon mal ein gutes Zeichen, dass sie eine Chance hat. So, und da setze ich jetzt tatsächlich mal ganz blöd das hier nochmal ein.

Meine Funktion sollte ja sein y gleich x² von null bis eins. Und ich sollte auch noch dazusagen, wo ich das eben gesehen habe, diese beiden Körper hier, die füllen ja nicht einen Würfel oder sowas. Die berühren sich hier in dieser einen Linie. Und ansonsten ist davor und dahinter ziemlich viel Luft. Das ist nicht, wie es zweidimensional aussieht.

Wenn sie es nur zweidimensional malen, würde man glauben, dass sie sich zu irgendwas ergänzen. Nein, nein, in keinster Weise. Der eine geht hier so rum weg und der andere geht so rum weg. Und davor und dahinter ist ganz, ganz viel freier Raum. Das gibt keinen Würfel, wenn sie die beiden zusammen packen, leider nicht. Okay, sie setzen das hier nochmal ein und gucken, ob das hinhaut.

Was kommt raus? So, bei uns war die Funktion einfach nur x². Und die Grenzen waren null bis eins. Also x² mal hier jetzt ableiten, 2x, die x. Sicherheitshalber nochmal.

Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale. Sie haben nicht das Integral fg, das ist gleich das Integral f Integral g. Das haut nicht hin, das ist eine neue Regel, die haben wir aber nicht. Schon einheitsmäßig haut das nicht hin. Das hatte ich letzte Woche irgendwann vorgeführt.

Also, die beiden muss ich zusammenfassen. Macht also ein Integral von null bis eins, 2x hoch 3 dx. Die zwei kann ich nach vorne holen. Ich brauche eine Stammfunktion für x hoch 3. Nehmen wir x hoch 4 viertel als einfachste Stammfunktion von null bis eins.

Oh, ich habe pi vergessen, sehr schön. Ich habe pi vergessen die ganze Zeit. Da kommt noch ein pi davor, sorry. Hier kommt auch noch ein pi davor. Und dann haben wir, das ist 2pi mal eins durch vier. Pi halbe.

Das war eben in einigen Stellen, glaube ich, irritierend, dass ich jetzt mal ganz dreist gesagt habe, dieses dx ist ja eigentlich ein unendlich kleiner Schritt in x Richtung. Und jetzt summiere ich auf, unendlich viele dieser unendlich kleinen Schritte. Diese anschauliche Deutung des Integrals, so ist es mal entstanden.

Und hier sehen Sie Switchig wieder ganz knallhart um und sage, aha, hier steht eine Funktion drinnen im Integral. Ich suche eine Stammfunktion und fertig. Da habe ich jetzt plötzlich wieder diese formale Geschichte drauf, dass ich da einfach sage, der Kringel, dx dahinter,

ich suche eine Stammfunktion der Funktion, die da drinnen steht. Das muss ich vielleicht nochmal klar machen, wie die beiden zusammenhängen. Wenn ich unter einer Funktion die Fläche bestimme, ist das dümmste, was ich tun kann, um die Fläche zu bestimmen, die Fläche ebenfalls in Streifen zu schneiden, wie wir es gerade auch gesehen haben.

Und was summiere ich dann auf, um die Fläche zu kriegen? Ich summiere auf die Höhe des Streifens mal die Breite des Streifens von a bis b. Da kam eigentlich mal das Integral her. Die Höhe des Streifens f von x mal die Breite des Streifens dx

und davon alle aufsummieren von a bis b. Also das ganz normale Integral funktioniert eigentlich auch so. Man hat es dann nur immer abstrakter gemacht und fasst es dann jetzt einfach auf als irgendein komisches Symbol,

die Funktion, die integriert werden soll und hinten steht noch ein komisches Symbol. Aber da kam es wirklich auch mal her, diese Fläche darunter in Streifen zu zerlegen. Und das dx steht für die Breite eines solchen Streifens. Integral mit Riemannsummen habe ich nie ausführlich vorgeführt, weil es in der Praxis ziemlich unsinnig ist, man wird ein Integral nicht so ausrechnen.

Und Sie sehen, hier habe ich plötzlich wieder diese anschauliche Deutung und switche plötzlich um und sage, oh, ich brauche eine Stammfunktion, dann werde ich mit Stammfunktionen weiter. Da muss man so ein bisschen, wie ich sagen, so einen flüssigen Umgang, so ein flüssiges Verhältnis zu entwickeln. Dass man es einmal anschaulich nehmen kann und einmal dann wieder formal nehmen kann.

Diese Formeln hier sind in der Praxis seltener, als einen die Formelsammlung Glauben machen will. Das Spannende, und besser ob ich das erzähle, das Spannende ist, dass man hier leicht verstehen kann, was denn ein Integral wirklich denn so macht. Wofür kann ich ein Integral anwenden?

Das ist ein Anwendungsbeispiel für das Integral. Ob man nun im wahren Leben ständig Rotationsvolumina ausrechnet, das wage ich zu bezweifeln. Aber wenn Sie das hier hinschreiben können, ohne Formelsammlung, haben Sie was tiefes über das Integral verstanden und auch noch was tiefes über die Ableitung verstanden, hier bei dem Nächsten, wenn Sie das hinschreiben können.

Das ist mir wichtiger, als dass Sie diese Formel hier auswendig können. Die ist dann sowieso geschenkt, wenn Sie sie verstanden haben.