Wir gucken uns folgende Funktionen an. Die Funktion soll einen Definitionsbereich abbilden nach den reellen Zahlen. Und zwar mit der Rechenvorschrift. Wir nehmen Sinus von 1 durch x, diese Funktion. Das ist dann die übliche Schreibweise hier. Die Funktion hat als Definitionsbereich eine

Menge d, sage ich gleich noch etwas dazu, als Zielmenge die reellen Zahlen. Und die Rechenvorschrift, da macht man hier den etwas anderen Fall mit dem Strich dran, die Rechenvorschrift ist, nehme das x und rechne aus, Sinus 1 durch x für jedes x. Das hier ist die Maschine sozusagen, die hier unten steht, die Maschinerie.

Aufgabe wählen Sie d als Teilmenge der reellen Zahlen so, dass er maximal groß ist. Das ist dann das übliche, was man unter Definitionsbereich dann versteht, wenn man nur die Rechenvorschrift hinschreibt. Wie mache ich den Definitionsbereich maximal groß? Und dann ist die Frage, was ist die Bildmenge?

Formal geschrieben f von d, das meint man dann mit Bildmenge. Die Funktion von einer Menge, alles was rauskommen kann, das ist die Bildmenge.

Was ist die Bildmenge? So, die maximale Definitionsmenge unter den reellen Zahlen. Offensichtlich geht der Sinus immer, das Problem ist 1 durch x, ich darf nicht 1 durch 0 rechnen, ansonsten habe ich keine Probleme.

Also nehme ich hier, die Definitionsmenge ist gleich, die reellen Zahlen ohne die 0, so müsste man das streng hinschreiben, das ist ein bisschen pervers. Diese Mengendifferenz braucht ja links und rechts Mengen, die reellen Zahlen aber nicht die 0. Die Menge mit der 0 abziehen von der Menge mit den reellen Zahlen, das wäre die offizielle Schreibweise.

Die 0 dürfte dann nicht nackt stehen ohne die Schweifklammern, weil diese Mengendifferenz nur für Mengen geht. Sie ziehen Mengen voneinander ab. Das kostet am Anfang etwas Überwindung, das so ausführlich hinzuschreiben. Alternativ können Sie sagen, dass das Intervall von minus unendlich offen bei minus unendlich bis

0 ohne die 0 vereinigt das Intervall von 0 offen bei der 0 bis unendlich. Auch das würde funktionieren. Oder Sie schreiben es alle reellen Zahlen x, die ungleich 0 sind. Noch eine Möglichkeit und Millionen, Fantastilionen anderer Möglichkeiten das hinzuschreiben.

Ja, doch auch Fantastilionen. Nehmen Sie einfach so Folgendes. Sie können erst mal Folgendes machen. Alle z aus den reellen Zahlen mit der Eigenschaft z ist ungleich 0.

Dann haben Sie noch eine andere Art das hinzuschreiben, ob Sie das Ding z nennen oder x nennen, wenn wir den nächsten Trick, wenn wir noch mehr kriegen können. Alle reellen Zahlen x mit der Eigenschaft x ist ungleich 0 und 1 ist gleich 1.

Ich glaube, jetzt sehen Sie die Idee, wie Sie unendlich viele kriegen. Die schreiben Sie mal zu Hause auf alle. Für die Bildmenge überlegen Sie sich mal, wie Sinus von 1 durch x als Kurve, als Grab heißt das ja offiziell, wie das als Kurve aussieht.

Der Sinus wird sowas werden und so weiter und so weiter bis ins Unendliche. Hier ist die 1, da unten ist die minus 1, nicht ganz gelungen. So wird der Sinus aussehen und jetzt gehe ich mit 1 durch x in den Sinus rein.

Was wird das machen? Wie wird die Kurve aussehen? Pi mal Daumen. Was wird dieser Sinusschwingung passieren? Ich muss doch noch einen Tipp geben. Was passiert, wenn Sie ganz große Zahlen x einsetzen?

Fangen Sie mal damit an, hier setzen Sie ganz große Zahlen x ein. Was ist dann 1 durch x ungefähr? Was wird mit dem Sinus passieren? Ich sollte überhaupt noch ein bisschen was an den Sinus hier dran schreiben. Ich sage immer Einheiten auf die Achsen und mache es dann selber nicht. Sehr schön. Hier ist 2 Pi, volle Umdrehung, da ist Pi, also 3,14.

Und der Sinus, Sie sehen, die Zeichnung ist miserabel. Der Sinus geht hier mit 45 Grad durch den Ursprung, ist leider nicht gelungen. Das hier werden nachher 45 Grad. Wenn Sie das berücksichtigen, dann gucken Sie sich Sinus von 1 durch x an.

Erstmal für x sehr groß, 1 durch 1 Million, 1 durch 1 Milliarde. Was wird mit dem Sinus passieren? Dann haben Sie schon mal ein Ende von der Kurve. Ja, das ist nicht so leicht. Wir gucken uns mal Sinus 1 durch x an, für x sehr groß.

Ich möchte was sagen zu Sinus 1 durch x für sehr große x. Y ist gleich Sinus 1 durch x. Wenn x sehr groß ist, 1 durch 1 Million, 1 durch 1 Milliarde,

dann ist 1 durch x ganz dicht bei 0, 1 durch 1 Milliarde, ganz dicht bei 0. Das hier innen drin ist dicht bei 0. Ich bilde den Sinus aus etwas dicht bei 0, und zwar oberhalb von 0. 1 durch 1 Million, 1 durch 1 Milliarde sozusagen. Wir sind kurz oberhalb von 0.

Und daraus bilde ich den Sinus. Das ist praktisch dieselbe Zahl, die Sie rauskriegen. Wenn Sie hier 1 durch 1 Million einsetzen, der Sinus von 1 durch 1 Million im Bogenmaß, wo gemerkt, ist auch sehr genau wieder 1 durch 1 Million. Ich will sagen, wenn ich hier weit rausgehe mit meinem x,

kriege ich Zahlen dicht bei 0, die positiv sind. 1 durch 1 Million, daraus der Sinus wird 1 durch 1 Million sein. 1 durch 10.000, daraus der Sinus ist ungefähr 1 durch 10.000. Der muss so enden. Der darf nicht hier hinten nochmal unter die Achse gehen.

Das endet nicht mit irgendwelchen negativen Werten hier zwischendurch. Das kann nicht hinhauen. Das müssen positive Werte sein. Ich frage meinen Original Sinus hier dicht über der 0 ab. Entsprechend geht das auf der linken Seite.

Wenn Sie hier 1 durch Minus 1 Million einsetzen, Minus etwas dicht bei 0, eine negative Zahl dicht bei 0, dann gucken Sie hier beim Sinus nach und kriegen dieselbe Zahl raus. Ich muss hier mit negativen Zahlen dicht bei 0 aufhören. So muss das auf der linken Seite enden, wenn es da enden würde.

So geht es auf der linken Seite jetzt unendlich. So, da haben wir schon mal zwei grobe Anhaltspunkte. Jetzt steht der Sinus außen. Das habe ich bei einigen gesehen, dass Sie das noch nicht berücksichtigt haben. Der Sinus steht außen. Ich habe quasi zwei Maschinen. Ich habe das eine Maschinen namens 1 durch x.

Der Fleischwolf namens 1 durch x. Und das geht in dessen Ausgang hier 1 durch x. Dessen Ausgang geht in das Maschinen namens Sinus rein. Aus dem Sinus kommen aber immer nur Werte zwischen Minus 1 und Plus 1 raus. Aus dem Sinus kriegen Sie niemals 13 oder 42 raus.

Das ist die Funktion, die hinten als letztes angewendet wird. Denn die Funktion, die als letztes angewendet wird, grüne Dreiecke produziert, dann müssen Sie, egal was Sie reinstecken in die Funktion, es kommen nur grüne Dreiecke raus. In diesem Fall Zahlen zwischen Minus 1 und 1. Was anderes kann es nicht werden aus dem Sinus.

Das heißt, ich könnte schon mal so Begrenzungslinien einmalen. Egal was passiert, weiß ich, es ist nie mehr als 1. Das ist verboten. Und es ist nie weniger als Minus 1.

Werte unter Minus 1 sind verboten, egal was passiert. Weil das, was rauskommt, ein Wert vom Sinus ist und der Sinus nichts über 1 und nichts unter Minus 1 liefert. Für reelle Zahlen, so wie wir es kennen. Das Spannende ist, was jetzt zwischendurch passiert. Den Null habe ich ja schon ausgeschlossen,

weil ich nicht 1 durch Null teilen will. Was passiert mit 1 durch X, wenn ich mit X den Ursprung näherkomme? Ja, vorsichtig. Wenn X gegen Null geht, machen wir so etwas hier. 1 durch 0,01. Was ist 1 durch 0,01? 1 durch ein Hundertstel ist 100.

Sie kriegen 100 mal 0,01 in 1 rein. Das ist notwendig mit der Torte. 100 Teile. Und jetzt möchte ich wissen, wie viele 0,01 Teile ich in die 1 rein kriege. 100 Stück. 1 durch 0,01. 1 durch ein Hundertstel ist 100.

Wenn Sie durch eine Zahl dicht bei Null teilen, kriegen Sie eine große Zahl raus. Also, wenn ich hier mit X dicht bei Null arbeite, wird 1 durch X groß werden. Wenn 1 durch X groß wird, bin ich aber beim Sinus ganz, ganz weit draußen.

Das heißt, das Ding oszilliert immer schneller und immer schneller. Je dichter ich hier an die Null komme, desto weiter raus gehe ich beim Sinus, desto mehr Perioden vom Sinus habe ich zurückgelegt. Das wird fürchterlich oszillieren. Das ist noch nicht ganz gelungen. Es wird ja immer plus minus 1 zwischendurch.

Das wird fürchterlich oszillieren. Und ob tatsächlich dann die 1 und die minus 1 hier sauber erreichen und hier auf dieser anderen Seite spiegelsymmetrisch, naja, gucken Sie es mit Wolfram Alpha an, dann wissen Sie es sauber. Das wird dabei rauskommen. Je weiter ich nach rechts gehe,

desto mehr wird 1 durch X bei Null liegen. Ich frage den Sinus hier ab. Je weiter ich von rechts zum Ursprung gehe, desto weiter gehe ich raus in der Sinuskurve. 1 durch X explodiert, desto weiter gehe ich raus, desto mehr Sinusschwingungen lege ich zurück auf den Weg zum Ursprung. Und es ist natürlich immer von minus 1 bis plus 1 bis minus 1 bis plus 1,

komplette Schwingungen. Also hier gibt es unendlich viele Sinusschwingungen bis zum Ursprung, der ja nicht dabei ist. Da ist ein Loch am Ursprung. Auf der linken Seite mit einer Punktspiegelung symmetrisch. Der Punkt hier müsste dementsprechend, der Punkt müsste dementsprechend, wenn ich es ordentlich gezeichnet hätte.

So sieht das aus. Das heißt, was ist die Bildmenge? Also Bildmenge ist alles zwischen minus 1 und 1. Es kommt nicht 1,2 raus, es kommt nicht 1,3 raus, es kommt nicht minus 1,2 raus.

Minus 1 kommt raus, plus 1 kommt raus, auch Null kommt raus. Obwohl ich da die Null auf der X-Achse ausgeschlossen habe, auch Null kommt raus. Also ist die Bildmenge das abgeschlossene Intervall von minus 1 bis 1.

Das wird die Bildmenge sein. Die kommen tatsächlich raus.