Wozu braucht man im wahren Leben Sinus und Cosinus und wozu braucht man komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik? Sie beschreiben eine sinusförmige Schwingung, was aus der Steckbluse kommt sozusagen, von der Amplitude her und von der Phasenlage her.

Wie weit ist das nach links bzw. rechts verschoben gegenüber normalen Sinus oder Cosinus? Sie beschreiben das von der Amplitude und der Phasenlage her durch eine komplexe Zahl. Realteil, komplexe Zahl, Imaginärteil, komplexe Zahl. Die Länge der komplexen Zahl sagt etwas zur Amplitude und der Winkel ist die Phase.

So kommen nachher komplexe Zahlen wirklich vor und so kommen dann auch Cosinus und Sinus vor. Wenn ich umrechnen will von Länge und Winkel auf Realteil, Imaginärteil und umgekehrt, dann habe ich Sinus und Cosinus. Und dann ergibt sich auch fast automatisch die sinusförmige Schwingung. So spielt das nachher alles zusammen.

Jetzt als Beispiel mal, wie das alles zusammen spielt, folgendes Produkt. Wenn ich rechne 4 plus 3i mal 1 plus i, dann habe ich ja zwei Möglichkeiten das auszurechnen. Ich kann einfach mal algebraisch vorgehen, Grundrechenarten, 4 mal 1 plus 4 mal i plus 3i mal 1 und so weiter.

Die eine Art das auszurechnen, algebraisch. Aber wenn ich es algebraisch ausgerechnet habe, kann ich mir noch mal angucken, was denn geometrisch passiert. Das sind ja Pfeile in der gauschen Zahlenebene. Wie sieht das mit den Längen und den Winkeln der Pfeile aus und dem Ergebnis?

Das wissen Sie ja schon aus den alten Videos, wie das zusammenhängen muss. Gucken Sie sich mal an, wie dieses Ergebnis dann geometrisch aussieht, ob es wirklich so aussieht, wie es sein soll. Was sind die Winkel dieser Zahlen? Was sind die Länge dieser Zahlen? Was ist der Winkel des Ergebnisses?

Die Länge des Ergebnisses. Und gucken Sie, ob das so passt. Natürlich viel zu passen, aber sicher zahlbar. Ich habe eben gelernt, man kann sich doch an einigen Stellen übel vertun, wie es sein sollte. Also einmal zur Sicherheit, dass Sie es mal richtig gesehen haben, das nachprüfen.

So, erstmal die algebraische Art das auszurechnen. 4 mal 1 sind 4. 4 mal i sind 4i. 3i mal 1 sind 3i. 3i mal i sind 3i².

Und da eben dran denken, i² ist minus 1. Das ist ja der Witz in diesem Spiel. Hier entsteht also minus 3. Was kriege ich 4? Minus 3 ist 1. Und dann habe ich noch 4i und 3i sind 7i. Das wäre, was man ganz dumm hier mit Realteil und Imaginärteil schlicht aufzurechnen kann. Feierabend.

Jetzt die andere Ansicht mit Längen und Winkeln. Erstmal die Längen. Es ist ja lustigerweise so, wenn Sie diese komplexen Zahlen einzeichnen in die gaussische Zahlenebene, dass sich die Längen multiplizieren und dass sich die Winkel addieren.

Nebenbei eben hatte jemand versucht, die Winkel zu multiplizieren. Stellen Sie sich die Einheiten vor. Das kann es nicht sein. Die Winkel werden addiert. Die Längen werden multipliziert.

So etwas haben wir hier. 4 plus 3. Ach, den muss ich unterbringen. 1 plus 7i. Das heißt, hier gehe ich bis 7. So wird der aussehen. Dieser hier. 4 plus 3i. 4 nach rechts, 3 nach oben. Das sein. Und der hier. 1 plus i zeigt irgendwie hier so diagonal.

Und das geometrische ist eben die Länge von dem grünen. Der eine Faktor mal die Länge von dem blauen. Anderer Faktor muss die Länge von dem roten geben. Und die Winkel müssen sich addieren. Erstmal die Längen. Überstärklich sehen, der grüne ist etwas länger als 1, der

blaue ist deutlich länger als 4 und das Ergebnis ist etwas länger als 7. Etwas mehr als 1 mal deutlich mehr als 4. Gibt etwas mehr als 7. Ist nicht plausibel von der Figur her.

Wir rechnen die Längen mal aus. Die Länge von dem blauen. Kriege ich das mal geschickt hin. Die Längen. Der blaue. Pythagoras. Sie gehen 4 nach rechts, 3 nach oben. Die Versuchung ist groß damit im i zu agieren. Das habe ich jetzt auch gerade wieder gesehen.

Das i müssen Sie an der Stelle vergessen bei der Länge. Hier gucken wir uns einfach ein rechtwinkliges Dreieck an. Wogemerkt ein rechtwinkliges Dreieck. Also Sie müssen auch jetzt nicht mit Sinusatz oder Cosinusatz anfangen. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete ist 4 lang, eine Kathete ist 3 lang. Keine Rede von i. Also

ist die Länge der Hypotenuse 4 ins Quadrat und 3 ins Quadrat und daraus die Wurzel. Ganz normaler, banaler Pythagoras. Wie kriege ich die Länge einer komplexen Zahl? Realtal quadrieren, Imaginärteil, das ist nur die 3, quadrieren, agieren, Wurzel draus.

Das ist die Länge einer komplexen Zahl. Und das gibt dann sinnvollerweise, 16 und 9 macht 25, Wurzel 25 gibt lustigerweise exakt 5. Das ist die Länge der komplexen Zahl 4 plus 3i. So geschrieben dann. Betrag, wenn Sie wollen.

Wenn Sie das mit einer reellen Zahl machen, kriegen Sie die Länge in Anführungszeichen der reellen Zahl. Das ist der ganz normale Betrag. Nehmen Sie die reelle Zahl negativ. Die Länge dieser reellen Zahl ist der ganz normale Betrag. Also was wir hier machen, der Betrag, die Länge einer komplexen Zahl, das ist eine Verallgemeinerung des Betrags für die reelle Zahl.

Da nicht verwirren lassen. Das ist nichts Neues insofern. Der nächste ist einfach, 1 plus i. 1 nach rechts gehen, 1 nach oben gehen, Wurzel 2.

Was habe ich eben gesagt, mehr als 1? Na gut, mehr als 1, 1,4. Und der rote, die Länge der Betrag, dasselbe von 1 plus 7i. Dann kriegen Sie Wurzel 1 ins Quadrat plus 7 ins Quadrat.

1 plus 49 macht die Wurzel 50. Jetzt können wir einmal proberechnen. Ich habe ja gesagt, das Produkt der beiden Längen muss die Länge des Ergebnisses sein. Bei der komplexen Multiplikation 5 mal Wurzel 2 ist Wurzel 50. Sieht erstmal komisch aus.

Gucken wir uns das gerade mal an. 5 mal Wurzel 2. Wie kommen Sie auf Wurzel 50? Genau, Sie ziehen die 5 in die Wurzel. Um die 5 in die Wurzel zu ziehen, müssen Sie die aber quadrieren. Also Wurzel 25 mal 2. Sie können sich überzeugen, indem Sie jetzt rückwärts gehen.

Wurzel 25 mal 2. Wie können Sie das rechnen? Wurzel 25 ist 5 mal Wurzel 2. So hat es Sinn. Und gut, Wurzel 25 mal 2, Wurzel 50. Also in der Tat, es kommt dasselbe raus. Das mit den Längen haben wir damit schon mal nachgerechnet.

In diesem Beispiel. Ich habe es ja in den alten Videos gezeigt, warum es allgemein gelten muss. Aber ich glaube, es ist ganz sinnvoll, das nochmal in Aktion zu sehen. Der grüne und der blaue, das sind die beiden Faktoren. Und lustig ist wirklich, wenn Sie das hier mit Geodreieck messen. Wie viel Zentimeter ist der grüne Lang? Wie viel Zentimeter ist der blaue Lang? Und das miteinander multiplizieren, haben Sie die Länge von dem roten.

Die Länge von dem Ergebnis. Obwohl Sie eigentlich ganz was anders gerechnet haben. Sie haben hier nur mit Zahlen dumm rum gerechnet und i² gleich minus 1 eingesetzt. Und trotzdem ist jetzt irgendwie ganz magisch die Länge multipliziert worden. Und analog passiert es bei den Winkeln. Aber das war noch nicht ganz so fertig.

Vielleicht gucken Sie alle noch mal ein bisschen in die Winkel rein. Was mit den Winkeln passiert. Die Winkel von diesen drei komplexen Zahlen. Das selbe Phänomen. Es geht um Dreiecke, es geht um Sinus, Cosinus, Tangens. Dieses i muss man ignorieren. Bei den Längen und bei den Winkeln.

Ich nehme mal 4 plus 3i als ersten. Der Winkel von 4 plus 3i. Ich schreibe jetzt nichts mit Arg und Winkel oder sowas. Ich schreibe jetzt nur der Winkel von 4 plus 3i. Was interessiert mich? Ich gehe 4 nach rechts, 3 nach oben. Wie groß ist dieser Winkel im rechtwinkligen Dreieck?

4 nach rechts, 3 nach oben. Den Winkel bestimmen. Nicht mit Sinus-Satz, weil es ist ja ein rechtwinkliges Dreieck, kein allgemeines Dreieck. Sie könnten sagen, ich kenne ja sogar die Hypotenuse. 5 haben wir eben ausgerechnet. Die Länge war 5. Typischerweise wird man die Hypotenuse nicht kennen, sondern nur diese Angaben haben.

Überlegen Sie sich, wie Sie mit diesen Angaben den Winkel bestimmen. Mit Sinus und seinen Freunden. Analog mit den anderen beiden. Dann gucken wir noch, ob das tatsächlich mit der Summe hinkommt. Hier wäre der Tangens angesagt oder der Cotangens, aber der ist so ein bisschen exotisch. Wenn ich die beiden Katheten habe, gegen Kathete durch an Kathete ist der Tangens.

Also ist der Winkel hier der Arcus-Tangens mit einem Körnchen Salz. Müssen wir gleich noch mal diskutieren. Der Arcus-Tangens von gegen Kathete durch an Kathete.

3 durch 4. Und der Form. Es gibt ja diesen Ärger, dass der Tangens keine unkehrbare Funktion ist. Der Arcus-Tangens ist also nicht wirklich die Umkehrung. Eigentlich kann ich mir ja nicht sicher sein, was für ein Ärger kann ich hier haben.

Von wegen nicht umkehrbar. Der Tangens ist eigentlich nicht umkehrbar. Ich mal das nochmal auf. Es scheint nötig zu sein, was Tangens und Arcus-Tangens so veranstalten. Der Tangens, Sinus durch Cosinus, läuft ja so.

Und wiederholt sich dann. Kommt da von unten wieder und so weiter. Und hier geht er nach oben rauf. So wird der Tangens aussehen. Ich schreibe halt Tangens. Ach, was weiß ich immer. Tangens Alpha, wie auch immer.

Was für ein Winkel ist das hier? Bei welchem Winkel geht der Tangens ins Unendliche das erste Mal? Genau, das hier ist bei 90 Grad. Und das hier auf der anderen Seite ist, bei minus 90 Grad. Das heißt, wenn ich mir mal ein rechtwinkliges Dreieck hier angucke,

der Arcus-Tangens kehrt nur diesen inneren Bereich um. Man muss sich ja bei den Arcus-Funktionen für irgendwas entscheiden. Man entscheidet sich beim Tangens, Arcus-Tangens, dann diesen inneren Ast umzukehren. Nur diesen inneren Ast. Sie kriegen nur Winkel ab.

Ein Unendlichste sozusagen vor minus 90 Grad bis ein Unendlichste vor plus 90 Grad zurück. Nur Winkel aus diesem Bereich kriegen Sie zurück. Sie kriegen nicht 120 Grad zurück aus dem Arcus-Tangens. Und Sie kriegen nicht minus 120 Grad zurück aus dem Arcus-Tangens, sondern nur von minus 90 Grad knapp davor bis plus 90 Grad knapp davor.

Nur dieser innere Bereich, der wird vom Arcus-Tangens umgekehrt. Der Arcus-Tangens sagt, okay, was ist aus dem Tangens rausgekommen? Dann nehmen wir den. Oder ist das aus dem Tangens rausgekommen, dann nehmen wir den Winkel. Aber er kriegt niemals einen Winkel außerhalb von diesem Bereich.

Er kriegt niemals sogar die minus 90 Grad und die 90 Grad. Das ist das Ärgernis bei Tangens und Arcus-Tangens. Das heißt für uns, wenn Sie sich das Dreieck angucken, solange dieser Winkel hier zwischen plus 90 Grad, aber nicht exakt 90 Grad und minus 90 Grad ist, aber nicht exakt minus 90 Grad,

ist die Welt in Ordnung mit dem Arcus-Tangens. Sobald Sie exakt vertikalt laufen, der Realteil ist null, haben Sie ein Problem. Oder wenn der Realteil negativ ist, dann haben Sie ein Problem. Dann müssen Sie vorsichtig sein. Aber ansonsten haut es hin mit dem Arcus-Tangens. Bei den komplexen Zahlen. Hier also kein Problem.

Realteil ist positiv. Kein Problem mit dem Arcus-Tangens. Bei den beiden anderen genauso. Beide anderen haben auch einen Realteil, der positiv ist. Ich kann direkt den Arcus-Tangens verwenden. Ohne große Probleme. Das heißt beim zweiten, der Winkel von 1 plus i.

Der Winkel von 1 plus i. Wir müssen eigentlich nicht mit Arcus-Tangens rechnen. Sowieso ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete 1, die andere Kathete 1. Na toll, das wird 45 Grad. Da muss man nicht drüber nachdenken. Und 1 plus 7i. Das wird ein Chroma-Wert von 1 plus 7i.

Genau so natürlich, wie wir es eben hatten. Einfach dann der Arcus-Tangens aus 7. 7 durch 1. Der Arcus-Tangens aus 7. Gucken wir mal gerade. Sehr selten, dass ich einen Taschenrechner brauche.

Aber an der Stelle Arcus-Tangens aus 7. Ich könnte den Arcus-Tangens aus 7 gut schätzen. Fast 90 Grad. Aber es sollte jetzt gerade etwas genauer werden als fast 90 Grad. Also der 7 und dann inf. Der Tangens auf dieser Ausgabe des Windows-Taschenrechners.

81 Grad. 82 Grad. Hier haben wir schon 45 Grad. Und hier oben der Arcus-Tangens aus 0,75. Daraus den Arcus-Tangens.

Gerundet 37 Grad. So, und die Behauptung war, die Summe dieser beiden Winkel, 37 Grad, 45 Grad, 82 Grad, haut ja sogar tatsächlich hin. Man addiert also die Winkel. Sie nehmen diesen Winkel und nehmen diesen Winkel

und kriegen als Summe lustigerweise den Winkel des Resultats. Die Winkel addieren sich. Länge multiplizieren, Winkel addieren. Bei der Multiplikation komplexer Zahlen. Und wesentlich, wenn Sie die Länge bestimmen, müssten Sie das i loswerden.

Und wenn Sie die Winkel bestimmen, müssten Sie das i loswerden. Das geht ganz normal mit Ziehungskursen und Tangens. Und Pythagoras.