Eine ganz aktuelle Aufgabe. Ich habe 1 Euro Grundkapital und verziehen Sie den 2000 Jahre lang mit 2% Zinseszins.

Angenommen, das ginge. Was würde passieren? Wie rächen Sie das mit Potenzen aus? Und versuchen Sie vor allen Dingen mal, das ist der wesentliche Teil der Übung, abzuschätzen, ohne dass Sie jetzt einen Taschenrechner anschmeißen. Versuchen Sie mal zu schätzen, wie viel das denn ist. 10 hoch noch was.

Kriegen Sie das ungefähr in der Größenordnung geschätzt, was dabei rauskommen muss, ohne Taschenrechner? Dann haben Sie wieder ein bisschen was zu Potenzen gelernt. Also, das Endkapital. Das ist einfach die Zinseszinsformel.

Dieser 1 Euro. Sollte ich einfach mal ein Eurosymbol machen. Sieht vielleicht lustiger aus. Der eine Euro mal. Im ersten Jahr kommen 2% drauf. Das heißt, nach dem ersten Jahr haben Sie mal 1,02. Der eingesetzte Euro und 2 Hundertstel drauf.

Und damit starten Sie ins nächste Jahr. Das heißt, im nächsten Jahr gibt es nochmal die 2% drauf und so weiter. Und das 2000 mal. 2000 Faktoren und 1,02 hintereinander macht also das hier. 1 Euro mal 1,02 hoch 2000.

Wofür ein Taschenrechner dabei herrscht, wollen wir uns nicht so lange quälen hier. 1,02 hoch 2000. Das sind also, ja, netterweise kann man eher auf naturwissenschaftlich umschalten.

1,6 mal 10 hoch 17. Ist also ungefähr 1,6 mal 10 hoch 17 Euro. Wir können gerade mal zählen. 3 sind 1000, 6 sind Millionen, 9 sind Milliarden, 12 sind Billionen, 15 sind Billiarden.

Billiarden, also das heißt 160 Billionen. Wenn ich mich jetzt nicht vertan habe. 1000 Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden, ja. Also 160 Billiarden. Damit könnte man so einige Staatsdefizite begleichen.

Sie sehen, irgendwo ist etwas faul. Es gibt keine Bank, die so lange gehalten hätte. Außerdem würde das ja von der Inflation aufgefressen werden. Die Inflation ist ja typischerweise weit mehr als 2%. Und es trägt in welchen Hübler-Interflationsjahren, dass sie 1000 und mehr Prozent hat.

Das Geld wird einfach aufgefressen. Man kann so nicht rechnen. Das wird so nicht passieren. Sie sehen, dass das irgendwelche Probleme hat. Mathematisch finde ich jetzt folgendes spannend, das mal abzuschätzen. Das jetzt in Taschenreiche einzugeben ist das eine, würde man typischerweise machen. Aber ich würde hoffen, dass Sie hier jetzt auch einen Zusammenhang sehen zu der üblichen Exponentialfunktion.

Dass Sie den hier umdeuten können in die übliche Exponentialfunktion. E hoch eine Zahl ist 1 plus a durch n hoch n.

Und davon der Grenzwert n gegen unendlich. So kriege ich die Exponentialfunktion. Ich habe das im Video vorgeführt. Der Gedanke dahinter ist folgender.

Vielleicht füre ich das noch einmal vor, weil es gerade nicht so klar schien. Der Gedanke dahinter ist, wenn ich e hoch irgendeine Zahl... Ich mache das mal andersrum zum Beispiel. Wenn ich wissen will, was e hoch von mir aus 42 ist, kann ich auch sagen, Okay, ich rechne mal e hoch 42 durch von mir aus 10.000 hoch 10.000.

Dann ist ja nichts Schlimmes passiert. Die zehntausendste Wurzel, die zehntausende Potenz, das hebt sich wieder weg. Potenz einer Potenz, Sie multiplizieren die Exponenten, da steht wieder 42. Aber das lustige ist, dass hier dieses e hoch 42 Zehntausendste ist nun eine Zahl ganz dicht an Null.

Und für eine Zahl ganz dicht an Null hat diese natürliche Exponentialfunktion die Exponentialfunktion. Hat die die Eigenschaft, dass der Wert, der hier rauskommt, praktisch eins plus das ist, was ich eingesetzt habe.

Hier diese Gerade hier, eins plus x, meine Tangentengrade hier an die Exponentialfunktion an der Stelle x gleich Null. Der Witz bei der natürlichen Exponentialfunktion ist, dass diese Gerade eine Steigerung von 45 Grad hat.

Und dass ich deshalb sagen kann, dieses hier ist in sehr guter Nährung eins plus 42 Zehntausendstel. Und da sehen wir jetzt mal eine Formel. e hoch irgendwas, e hoch irgendwas ist, damit es nicht mehr eine Nährung ist, sondern exakt wird, ich teile durch ganz viel, mein irgendwas durch ganz viel teilen, da steht hier oben drin, hoch diese Zahl.

Hier habe ich a gleich 42, n gleich 10.000, da kommt diese Formel her. Die klappt nur, wenn ich sage, diese Eulerische Zahl 2,7 irgendwas soll so gebaut sein, die Exponentialfunktion soll also so gebaut sein, dass die hier mit 45 Grad durch die Y-Achse geht.

Deshalb klappt diese Nährung, deshalb klappt diese Formel. Jetzt versuchen Sie mal diese Formel da irgendwo wieder zu finden. Kann ich das schreiben als e hoch irgendwas? Wenn ich so frage, natürlich kann ich das schreiben. Was ist das? e hoch wieviel ungefähr?

e hoch Fragezeichen. Ohne Taschenrechner, sondern nur durch Nachdenken. Hier mal gucken, was man tun muss. Dieses N sinnvollerweise gleich 2.000. Jetzt möchte ich, dass hier innen drin 1,02 steht.

1 plus irgendwas durch 2.000 soll 1,02 sein. Dann wählen Sie das gleich 40. 1 plus 40 durch 2.000 ist 1,02. Das wollen wir mal zeigen. 1 plus 40 durch 2.000 würde ich da reinschreiben.

40 durch 2.000 sind 4 durch 200. 4 durch 200 ist 2 durch 100. 1 plus 2 durch 100. 1,02 steht da drin. Hinten habe ich jetzt 1,02 hoch.

Da steht 2.000. Das ist das, was ich brauche. Ich wähle a gleich 40. Das heißt, hier steht in guter Nährung e hoch 40. Ich kann mal gerade vorsichtig gucken, inwieweit die Nährung da so stimmt. Was ich jetzt also auch rechne, ist 40. Das ist jetzt ganz übel.

Invers natürlichen Logarithmus. Unkernfunktion von natürlichen Logarithmus ist die Exponenzarfunktion. Also inverse ln. Immer noch etwas hoch. 17. Sie sehen, 2.000. Es ist da vorne schon deutlich mehr, aber der Exponent stimmt immer noch.

Nebenbei, was hier auch gar nicht berücksichtigt wird, ist ja zum Beispiel Folgendes, dass das gerundet wird. Eigentlich stimmt diese Summe noch nicht ganz. Die ist ein bisschen zu groß, weil ich ja runden muss. Auf die ersten zwei Cent, die ich als Zinsen kriege, kriege ich ja 0,02 Cent wieder als Zinsen.

Die runden sich ja weg. Also was das hier nicht berücksichtigt, sind Rundungsfehler. Insofern ist das nicht ganz gerecht. Das ist ein bisschen zu groß. E hoch 40 ist noch ein bisschen größer, aber stimmt von der Größenordnung. Wenn das weniger Zinsen wären und mehr Jahre, dann würde das noch viel besser passen.

Das hier gilt im Grenzwert. n gegen und n. Ich habe jetzt n gleich 2.000. a ist schon relativ klein gegen das n. 40 gegen 2.000. Trotzdem merkt man noch, dass es nicht ganz passt. Je größer jetzt hier die Zahl der Jahre wird, je kleiner die Zahl wird, mit der ich exponentiere, desto besser wird das Ganze im Verhältnis dann.

E hoch 40 ist das also ungefähr. Und jetzt können wir uns nochmal vorsichtig überlegen, wie groß den E hoch 40 etwa ist. E hoch 40. Wie können Sie da einen Griff dran kriegen? Was wissen Sie, was garantiert kleiner ist und was garantiert größer ist?

Dann gucken wir uns mal Folgendes an. 3 hoch 40 ist garantiert größer. Und 2 hoch 40 ist garantiert kleiner. Und beide kann ich zu Fuß ausrechnen und mal eine Idee kriegen, was denn da passiert. Versuchen Sie mal 2 hoch 40 Größenordnungsmäßig zu schätzen.

Versuchen Sie mal 3 hoch 40 Größenordnungsmäßig zu schätzen. Welche Zweierpotenz benutze ich hier zum Schätzen? Was ist der Trick? Welche Zweierpotenz ist einfach? Das kommt ganz dick dann im dritten Semester in der Informatik.

2 hoch 10 ist ungefähr 1000. 1024. 2 hoch 10 ist ungefähr 10 hoch 3. Das macht es etwas einfacher. 1024 ist ungefähr 1000. Das Kilo in der Informatik. Anders als das metrische Kilo. Und der nächste Trick. 3. Was ist eine halbwegs ordentliche Potenz von 3?

3 hoch 2 ist für die faulen Leute ungefähr 10. Wenn es nur um die Größenordnung geht. Warum nicht? 9 und 10, wenn es um die Größenordnung geht. In diesem Sinne versuchen Sie mal zu sagen, was denn 2 hoch 40 grob ist und was 3 hoch 40 grob ist.

Also die 2 hoch 40 kann man schreiben als 2 hoch 10 hoch 4. 4 mal 10 Faktoren 2 hintereinander. Dann habe ich insgesamt 40 Faktoren. Das ist aber 2 hoch 10.

10 hoch 3 ungefähr. 10 hoch 3 hoch 4. 10 hoch 3 hoch 4 ist aber 10 hoch 12. Also kann ich mir ziemlich sicher sein, auch wenn hier gerundet steht, dass e hoch 40 deutlich über 10 hoch 12 sein wird. Und 3 hoch 40 möchte ich formulieren mit 3 Quadrat.

3 hoch 40 ist 3 Quadrat hoch 20. 40 Faktoren 3 hintereinander sind 2 Faktoren 3 20 mal hintereinander. Und das ist ungefähr, 3 hoch 2 ist ungefähr 10, ist also ungefähr 10 hoch 20. Und wenn Sie jetzt Pi mal Daumen sagen, okay, e hoch 40, halbe Strecke zwischen 10 hoch 12, 10 hoch 20.

Dann ist 10 hoch 17 gar nicht mal so abwegig. Wie gesagt, es geht mir nur um die Größenordnung, dass man eine Idee kriegt auf die Schnelle, wie schlimm es denn werden kann.

Hier auf dem halben Wege zwischen 10 hoch 12 und 10 hoch 20. Wir können gerade noch mal zur Wiederholung. 10 hoch 12 wären also 1000. Und dann haben wir die Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden.

Also das hier wären Billionen. Das wäre die Unterschranke, die wir hätten. Billionen und hier Billionen, Billiarden, 18 wären die Trillionen. Und das wären hier 100 Trillionen als obere Schranke. Und was dann wirklich rauskommt, das waren es 160 Billiarden in der Größenordnung, sortiert sich nett dazwischen.

Das noch mal als Idee, wie diese ganzen Exponentialfunktionen zusammenhängen. Und dass man auch nicht immer den Taschenrechner braucht, um sich klar zu machen, dass das ziemlich viel werden muss.