Jetzt machen wir mal eine fiese Ungleichung, x²-9 im Betrag, also nicht nur fies wegen Quadrat, sondern doppelt fies wegen Betrag aus dem Quadrat hier, das möchte ich, dass das größer ist als x und x ist eine reelle Zahl.

Welche x's erfüllen das? Der erste Schritt sollte jetzt sein, die Betragsstriche wegzukriegen. Der Betrag ist mit einer Fallunterscheidung definiert, es sei denn, Sie machen den Betrag als Wurzel aus dem Quadrat, benutzen Sie die Fallunterscheidung, mit der der Betrag definiert ist, um das auseinanderzunehmen.

Mich interessiert bei dem Betrag die Fallunterscheidung, ob innen drinnen eine Zahl ab null aufwärts steht, dann kann ich die Betragsstriche weglassen, oder ob innen drinnen eine negative Zahl steht, dann muss ich ein Minus davor haben, vor der Zahl innen drin. Das ist das Spannende, nicht ob x positiv und negativ oder null ist, das interessiert

mich bei dem Betrag nicht, mir geht es um das, was innen in dem Betrag drinnen steht, also gucken Sie sich an, ist x Quadrat minus 9 größer gleich null, dann kann ich die Betragsstriche weglassen, oder ist x Quadrat minus 9 kleiner null, das sind die beiden Fälle, die mich interessieren, nichts mit x alleine, das hilft mir nischt.

Wenn ich das auf meine Art hinschreibe, schuldmäßig schreiben Sie erster Fall dieses, zweiter Fall dieses, auf meine Art hingeschrieben, dass das eine einzige equivalente Umformung hier wird, schreibe ich die beiden Fälle hin und meine original Ungleichung, x Quadrat minus 9 größer x und dazwischen ein oder,

diese Ungleichung gilt, wenn sonst was passiert und die Ungleichung passiert oder das Gegenteil von dem sonst was passiert und die Ungleichung passiert, das ist offensichtlich equivalent und nun kann man umformen, das habe ich an einigen

Stellen schon gesehen, das muss ich vielleicht noch mal ein bisschen üben im Tutorium, wenn im Betrag etwas ab null aufwärts steht, das ist hier oben, beides muss wahr sein, damit das und wahr wird, im Betrag steht etwas ab null aufwärts, na schön, dann kann ich die Betragsstriche weglassen, hier unten im Betrag steht etwas negatives,

dann kann ich die Betragsstriche nicht direkt weglassen, sondern ich muss die Vorzeichen ändern, minus Großklammer auf große Klammer zu, so sieht das dann aus, wenn im Betrag was negatives steht, ist der Betrag minus das, was im Betrag steht, hier die Klammern nicht

vergessen, sie müssen beide Vorzeichen gleich ändern, minus x Quadrat plus 9, auf der linken Seite geht das wieder mit dieser Parabelkiste, auf der linken Seite gibt es hoffentlich einfacher, x Quadrat minus 9, das ist ja eine nach unten verschobene

Parabel, ach na toll, eine nach unten verschobene Parabel und mich interessiert, wo diese Parabel einen Wert ab null aufwärts hat oder wo die Parabel einen Wert negativer

hat, das sollte direkt gehen, ohne dass Sie jetzt eine PQ Formel bemühen, also können Sie das ausbuchstabieren, Sie können das und das und das ausbuchstabieren und das werden vier erst mal etwas unübersichtliche Terme, habe ich eben gemerkt, sorry, aber wir werden es irgendwie noch zusammenfassen können, meine Hoffnung wäre, dass Sie

dann demnächst sowas hier direkt durch hingucken lösen können, x Quadrat minus 9 soll größer gleich null sein, will sagen x Quadrat soll größer gleich 9 sein, Gleichheit haben wir für 3 und minus 3, 3 Quadrat ist 9, minus 3 Quadrat ist 9, ich muss weiter

rechts oder weiter links liegen, das erste hier heißt x ist größer gleich 3 oder x ist kleiner gleich minus 3, das ist diese erste Bedingung hier, x muss hinreichend positiv sein, ab 3 aufwärts oder hinreichend negativ sein, ab minus 3 abwärts, dann ist

das Quadrat größer gleich 9, notfalls die Parabel hinmalen hatte ich ja eben versucht, das hier unten muss das Gegenteil sein, von dem da oben, so war es ja gerade gebaut, kleiner größer gleich, größer gleich ist das Gegenteil von kleiner, das Gegenteil davon, hier oben habe ich, ich liege links oder ich liege rechts, dann ist das hier

dazwischen, x ist größer als minus 3 und x ist kleiner als 3, x liegt um den Ursprung herum zwischen minus 3 und 3, dann ist das Quadrat kleiner als 9, die ersten beiden

gibt es relativ einfach, hier hinten müssten Sie jetzt jeweils mit PQ Formel das nochmal hinschreiben, wo wird es gleich, kriegen Sie mit der PQ Formel und dann einmal nachdenken, wo es denn größer wird, das ist hier unten ein bisschen raffinierter, weil da plötzlich minus x Quadrat steht, gucken wir uns mal den hier an, x Quadrat

minus 9 ist größer als x, Nebenrechnung zu dem da, der blaue ist logisch äquivalent zu x Quadrat minus x minus 9 ist größer als 0, ich bringe das x rüber auf beiden

Seiten subtra hier, das ist er ohne Probleme erlaubt, und jetzt prüfe ich, wo ist denn der gleich Null, also die Nebenrechnung zur Nebenrechnung, ich schreibe das mal so, wo ist der gleich Null Fragezeichen, der ist da gleich Null, PQ Formel, wo x ist

gleich plus ein halb plus minus den Quadrieren, ein Viertel plus 9 ist, ich will sagen, ein halb plus minus 36 37, Wurzel 37 durch Wurzel 4, also 37 die Wurzel und dann durch

2, da wird das gleich Null, mich interessiert aber nicht gleich Null, sondern größer als Null, das ist eine nach oben geöffnete Parabel, ich mach immer die Y-Achse, die hier keine interessiert, das ist eine nach oben geöffnete Parabel, die an zwei Stellen

gleich Null wird, sie wird größer als Null links und rechts, das hatten wir ja schon x mal, das heißt diese Ungleichung ist logisch äquivalent dazu, dass x links liegt, kleiner ist als ein halb minus Wurzel 37 halbe, oder x rechts liegt, größer

ist als ein halb plus Wurzel 37 halbe, das wäre die Nebenrechnung für ihn hier, vielleicht trage ich das sogar tatsächlich da ein, ich trage das hier wirklich mal ein, also das blau eingekrängelte ist logisch äquivalent zu x ist kleiner ein halb minus Wurzel

37 halbe, oder x ist größer ein halb plus Wurzel 37 halbe, damit ist der hier erledigt, noch irgendeine Farbe, nehmen wir den hier unten, den Violett, Nebenrechnung für den

violetten Teil, minus x Quadrat minus 9 ist größer als x, minus x Quadrat minus 9 ist größer als x, minus x Quadrat minus 9, größer als x, mal gerade gucken was sich ändert, hier haben wir dann ein Minus, ich muss jetzt aber minus minus 9 rechnen,

also plus 9 größer als x, so wird das werden, das Vorzeichen von dem x Quadrat ändert sich, das Vorzeichen von der 9 ändert sich, minus x Quadrat minus x plus 9 ist größer als 0, jetzt muss ich mit meiner PQ Formel etwas aufpassen, das schreibe ich lieber

als x Quadrat plus x minus 9 ist kleiner als 0, minus x Quadrat minus x plus 9 größer als 0, beide Seiten mal minus 1, jetzt wird das schwierig mit den Ungleichungen, oder was heißt schwierig, vorsichtig sein an der Stelle eben, die Ungleichung links und

rechts mal minus 1, dann haben sie x Quadrat plus x minus 9, 0 bleibt 0, aber das Ungleichungszeichen ändert sich, das ist nicht das Gegenteil, sondern es kippt einfach um, das Gegenteil wäre ja kleiner gleich, es kippt einfach um, wenn sie haben 42 größer als 0, haben sie minus 42 kleiner als 0, beide Seiten mal was negatives durch was negatives,

heißt dass das Ungleichungszeichen sich umdreht, nicht das Gegenteil wird, sondern sich umdreht, habe ich das, ich muss mal gerade gucken was ändert sich in der PQ Formel, ein halb wird zu minus ein halb in der PQ Formel, das Quadrat bleibt, hier steht minus ein halb, und nun suche ich, das wird jetzt lustig,

nun suche ich alle x für die das hier negativ wird, ich habe zwei Schnittpunkte mit der x Achse, ich suche aber die x für die das Ergebnis negativ wird, das interessiert mich, der negative Teil, das heißt ich muss innen drin liegen, kleiner als, das muss ich jetzt auch einzeln hinschreiben, x ist

oberhalb der linken Grenze, minus ein halb, minus Wurzel 37 halbe, ich glaube ich bereue gerade, dass ich das alles in eins geschrieben habe, schuldigung, x ist oberhalb der linken Grenze und unterhalb der rechten Grenze, minus ein halb plus Wurzel 37 halbe, das hätte ich einzeln aufschreiben sollen,

Entschuldigung, das ist was hier steht, in dem Teil, das violette ist also x ist größer als minus eine halb, minus Wurzel 37 halbe und x kleiner als

minus ein halb, plus Wurzel 37 halbe, mit einem und dazwischen, ich suche aus der Parabel die Werte von x mit negativen Ergebnis, größer als

der linke und kleiner als der rechte, nicht ein oder, da steht ein und, so, ich glaube die ganze Nebenrechnung hier wieder weg, die nervt ja eigentlich nur, oder kopieren wir das, ach wir können das ja einfach kopieren, haben Sie auf Papier jetzt den Nachteil, jetzt können wir das in eins schreiben, ich

schreibe es erstmal falsch hin und wir sortieren dann die Fehler zusammen, x größer gleich 3 und x kleiner gleich minus 3 und x ist kleiner ein halb minus Wurzel 37 halbe oder x ist größer ein halb plus Wurzel 37

halbe oder x ist größer als minus 3 und x ist kleiner als 3 und x ist größer als minus ein halb minus Wurzel 37 halbe, etwas sauber 2 hier und x ist

kleiner als minus ein halb und 37 halbe, so sieht es derzeit aus, was ich jetzt hingeschrieben habe ist nicht richtig, warum ist das nicht richtig, ja also

Vorsicht mit den Klammern, wenn Sie das und hier so stehen lassen ungeschützt, dann ist ja das gemeint und das will ich nun wirklich überhaupt nicht, das wäre ja so was wie 2 plus 3 mal 4 plus 5, 3 mal 4 wird zuerst ausgerechnet, ne, das will ich nicht, es müssen in der ersten Zeile unbedingt

Klammern stehen bei dem hier, dieser Ausdruck ist ja komplett gemeint, das oder das, gibt es wahr oder falsch und hier hinten brauche ich Klammern, das oder das und dann kommt erst das und, unten brauche ich keine Klammern zur Überraschung, weil da und und und steht, das ist so wie mal mal mal mal,

das ist freundlich, wenn Sie lauter uns haben, brauchen Sie keine Klammern zu setzen, lauter uns heißt ja alle sollen wahr sein, der soll und der und der, alle vier Teile, der Teil, der Teil, der Teil und der Teil, alle vier Teile sollen wahr sein, das ist jetzt nun wirklich eklig, ich frage mich

gerade, ja doch, das machen wir glaube ich mal insgesamt per Zahlenstrahl, man könnte hier unten sofort ein paar raus streichen, aber das kostet doch ein bisschen Übung, das machen wir insgesamt per Zahlenstrahl, markante Punkte, ich brauche die minus drei und ich brauche die drei, auch die minus drei

und ich brauche die drei und dann kommt vor, ein halb minus, Wurzel 37 halbe, Wurzel 37, ungefähr Wurzel 36, ungefähr sechs, sechshalbe, ein halb minus, sechshalbe, ein halb minus drei, das ist also irgendwas bei minus

2,5, mal den mal hier rein, hier liegt so was wie ein halb minus Wurzel 37 halbe, dann brauchen wir ein halb plus Wurzel 37 halbe, das ist Größenordnungsmäßig Wurzel 36, sechshalbe, drei, Größenordnungsmäßig drei halbe, hier

liegt so was wie ein halb plus Wurzel 37 halbe, hier unten aber noch minus ein halb minus Wurzel 37 halbe, was haben wir inzwischen, Wurzel 37 halbe ist in der Größenordnung von drei, minus ein halb minus drei, dann liegen wir hier und

ich habe keinen Platz mehr, ich mache das runter, minus ein halb minus Wurzel 37 halbe und der allerletzte minus ein halb plus, irgendwas in der Größenordnung von drei sind irgendwas bei 2,5, da ist der, minus ein halb plus Wurzel 37 halbe,

jetzt weiß ich wie die Landschaft aussieht, das ist jetzt nicht exakt aufgemalt, aber ich weiß wie die liegen, wer liegt links, wer liegt rechts, mehr interessiert mich an dieser Stelle nicht um hier und oder zu bilden, jetzt frage ich mich ob ich

genug Farben habe um das zu markieren, mal sehen, ich habe nicht genug Farben, x größer gleich drei, ab drei aufwärts, vielleicht mit einem Pünktchen bis ins unendliche, oder x ist kleiner gleich minus drei, ab minus drei einschließlich abwärts,

das sind die beiden, x ist kleiner als ein halb minus Wurzel und so weiter, x ist kleiner, wo ist der denn, x ist kleiner als ein halb, der ist das nicht, kleiner heißt der ist nicht dabei und abwärts, größer als ein halb plus Wurzel 37, größer ist nicht

dabei, jetzt wird das farbtechnisch spannend, größer als minus drei, ich fasse mal

zusammen, dann ist es leichter, größer als minus drei und kleiner als drei, die beiden kann ich ja zusammenfassen, es geht ja mit und und weiter, alles soll gleichzeitig gelten, größer als minus drei und kleiner als drei, das sind die

von hier, wo meint das mal, von hier, nicht die minus drei dabei und kleiner als drei bis hier, das sind die grünen hier, jetzt komme ich auch farbmäßig hin, das war klug, dass ich das zusammengefasst habe, jetzt mache ich mal hier mit dem pink, ich hoffe das kann man von dem violett unterscheiden, die da hinten, größer als

minus ein halb minus Wurzel, größer als der, also von dem aufwärts, aber kleiner und kleiner als minus ein halb mit dem, kleiner als der, so sieht das

bisher aus und jetzt habe ich Schnittmengen und Vereinigungsmengen zu bilden, aus den beiden unten habe ich die Schnittmenge zu bilden, ziehe ich die noch farblich hin, Zyran, das reicht gerade noch, hier die beiden da unten,

daraus bilde ich jetzt die Schnittmenge, beide gleichzeitig, das heißt von wo bis wo ist die Schnittmenge, genau, das ist jetzt leichter so abzulesen, als dass man das irgendwie logisch ausrechnet, die Schnittmenge aus dem grünen und dem pinkfarbenen, alle die

bei beiden gemeinsam sind, das ist ja das logische uns dann, also die das beides erfüllen, ich starte hier, aber die minus drei ist nicht dabei und ich gehe bis hierhin, aber diese minus ein halb plus und so weiter ist nicht dabei, das wäre alles was unten steht,

so und der Oberteil ist ekliger, mal sehen, gelb habe ich noch, fein, das wird dem Video schwer zu sehen, aber sei es so, der ganze Oberteil soll jetzt gelb werden, dunkelgrün

oder dunkelblau, dunkelgrün oder dunkelgrün, dunkelgrün, dunkelgrün oder dunkelblau, die beiden zusammengenommen und violett oder orange, violett oder orange, also die Vereinigungsmenge

aus dunkelblau und dunkelgrün, die Vereinigungsmenge aus den beiden, dem oder, die Vereinigungsmenge aus den beiden hier, davon die Vereinigungsmenge, vielleicht male ich das mal so hin, aus den beiden, das ist jetzt sehr unorthodox, aus den beiden die Vereinigungsmenge, aus

den beiden die Vereinigungsmenge und davon die Schnittmenge und wenn ich geschickt geplant hätte, hätte ich dafür eine Lücke gelassen, Entschuldigung, jetzt haben sie wieder das nachsehen, anscheinend auch, weil ich es nicht schaffe nur den Teil hier auszuwählen, schade das, ok, dann male ich es in gelb darunter, ich male es in gelb

darunter, also, diese beiden vereinigen, diese beiden vereinigen und von den Vereinigungsmengen die Schnittmenge bilden, kriegen sie das im Kopf hier hin, in der Tat, das geht

von links von minus und endlich bis minus drei auf der linken Seite, nochmal, ich nehme den zusammen mit dem und suche dann die Elemente von beiden gemeinsam, was ist gemeinsam in dem und in dem, das ist auf der linken Seite alles bis minus drei einschließlich,

falsch gezeichnet, alles bis minus drei einschließlich und auf der rechten Seite alles ab ein halb plus Wurzel aufwärts, ohne diese ein halb plus Wurzel, das ist von blau und grün, geschnitten mit der Vereinigungsmenge von violett und orange, links

bleibt das, einschließlich der minus drei, rechts bleibt das hier, ohne die ein halb plus Wurzel und so weiter, jetzt habe ich die gelbe Menge und die zyranfarbige Menge, türkise Menge, was mache ich jetzt mit gelb und türkis, in dem einen und dem anderen

und stünde wäre es die Schnittmenge, in dem einen oder dem anderen ist die Vereinigungsmenge, ich will die Vereinigung aus dem gelben und dem türkisen, das ist dann die Lösung, wow, also die Lösungsmenge geht bis hier und sie sehen ah, türkis geht ja weiter,

türkis zyran, zyran geht weiter bis dahin, aber das ist nicht dabei, also habe ich alles bis dahin und hier geht es dann weiter mit dem gelben, das ist meine Lösungsmenge, das heißt die Lösungsmenge ist das Intervall von minus unendlich bis minus ein halb

plus Wurzel, 37 halbe auf der linken Seite vereinigt, hier geht es weiter, ein halb plus Wurzel, 37 halbe, hier ist plus unendlich, ohne plus unendlich dabei, so könnte man

das rauskriegen, wow, das war ein bisschen eklig von den Zahlen her, sorry, aber so haben wir dann nochmal die ganzen Geschichten miteinander verrührt.