16B.4 Dreiecksberechnung, Fläche aus drei Seitenlängen
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10098 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Producer |
Content Metadata
| Subject Area | |
| Genre |
Mathematik 1, Winter 2012/201381 / 187
25
28
44
47
48
52
104
112
115
158
159
161
162
167
168
172
174
178
182
184
187
00:00
Film editingInterface (chemistry)Sierpinski triangleGradientSquareParallelogramSineAngleRight angleHöheEquationRectanglePhysical quantityMaß <Mathematik>Computer animationDiagram
07:17
Mass flow rateMaxima and minimaSquareFactorizationProduct (category theory)FormelsammlungEstimationSineLink (knot theory)Sierpinski trianglePhysical quantityInterface (chemistry)SineComputer animationDiagram
12:25
SquareLengthInterface (chemistry)FlächeneinheitSineEstimationFactorizationMaß <Mathematik>Computer animationDiagram
Transcript: German(auto-generated)
00:00
Nun folgendes Dreieck. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 4, 5 und 6. 4, 5 und 6. Offensichtlich kein rechtwinkliges Dreieck. Wie groß ist die Fläche? Ja, das haben Sie gemerkt. Wenn Sie eine Höhe hätten, zum Beispiel diese Höhe hier, dann wäre es ja leicht.
00:28
Nehme ich den Winkel hier mal alpha und dann da die Höhe, dann wäre es leicht. Dann würde ich nämlich folgendes Parallelogramm bilden.
00:44
Das Dreieck nochmal gespiegelt oben drüber legen, hätte dieses Parallelogramm. Und die Fläche von dem Parallelogramm ist einfach zu kriegen. Sie nehmen das Dreieck da vorne weg, legen Sie es da hinten noch mal dran. Die hinten dran legen, dann haben Sie einen Rechteck.
01:02
Und dieses Rechteck wäre sechs Einheiten breit und die Höhe hoch. Und hätte die doppelte Fläche von meinem Dreieck. Also habe ich die Fläche ist die Hälfte, weil das Rechteck die doppelte gehabt hätte, die Hälfte von der Fläche des Rechtecks sechs breit
01:24
und die Höhe hoch. Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wie man auf die Höhe kommt. Nur noch. Das ist der heikle Punkt. Wie kommt man auf die Höhe? Mit dem Alpha. Hier haben wir ein rechtwinkliges Dreieck. Gegenkathete durch vier ist der Sinus von Alpha.
01:45
Nebenrechnung. Die Gegenkathete bei der Höhe durch die Hypotenuse vier ist der Sinus von Alpha. Also ist diese Höhe gleich vier mal Sinus Alpha. So war jetzt so gut. Jetzt fehlt mir aber der Sinus Alpha.
02:11
Und da kommen wir jetzt mit dem Kosinusssatz dran. Vielleicht schreibe ich aber das jetzt in einer vernünftigen Form hin. Es ist also die Fläche gleich
02:23
1,5 mal 6 mal 4 mal Sinus Alpha. Und nun ist die Frage was Alpha ist. 4, 5, 6. Hier ist Alpha. Ich möchte den Winkel Alpha bestimmen. Wieder der Kosinusssatz. Wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, dann wäre
02:43
5 die Hypotenuse. Und ich hätte 5 Quadrate ist gleich 4 Quadrat plus 6 Quadrat. Aber Alpha ist kein rechter Winkel. Deshalb minus 2 mal 4 mal 6 mal den Kosinus von Alpha. Und jetzt höre ich nach Alpha auf. Also wir haben 25
03:01
ist gleich 16 plus 36 minus genau 2 mal 24 minus 48 Kosinus Alpha. 16 und 36 bringen wir rüber. 25 minus 16 sind 9.
03:24
9 minus 6 und 30 sind 27 minus 27. Ist also minus 48 Kosinus Alpha. Auf beiden Seiten werden wir die Minuszeichen los. Durch 48 teilen. Also habe ich Alpha ist gleich der Akus Kosinus
03:48
aus 27,48. Dieses logische Äquivalent, wieder mit einem Körnchensalz. Der einzig vernünftige geometrische Winkel ist dieser hier, der aus dem Akus Kosinus rauskommt.
04:01
Rein rechnerisch könnte es ja auch 360 Grad mehr sein oder auch der negative Winkel. Damit habe ich Alpha. Und den setze ich hier beim Sinus ein. Gesamt haben wir also die Fläche ist gleich 12 mal den Sinus von Alpha, aber ich weiß, dass Alpha gleich Akus Kosinus 27,48 ist.
04:25
12 mal den Sinus vom Akus Kosinus 27,48. Das ist noch eine schöne Geschichte. Der Sinus vom Akus Kosinus. Da musste auch was zu machen sein. Der Sinus vom Akus Kosinus.
04:43
Überlegen Sie mal. Der Sinus vom Akus Kosinus. Malen Sie mal ein rechtwinkliges Dreieck auf. Sowas.
05:01
Der Sinus vom Akus Kosinus. Wenn ich jetzt sage, das ist a, b, c. a ist c mal den Sinus von Alpha. Wovon bilde ich jetzt den Akus Kosinus, dass Alpha rauskommt? Das müsste ich jetzt ja irgendwie
05:23
hinkriegen. Hier das Alpha mit einem Akus Kosinus schreiben. Wovon ist Alpha der Akus Kosinus? Dann kann ich das ineinander einsetzen. Gehen wir gerade noch mal anders dran. Der Kosinus von Alpha. Brauchen wir Platz.
05:44
Der Kosinus von Alpha. Was ist das? Okay, das haut hin. b durch c. Ankathete durch Hypotenuse. Also ist Alpha der Akus Kosinus von Sie tun so, als ob Sie diese gleiche quasi auflösen. Sie wenden links den Akus Kosinus an. Sie wenden rechts den Akus Kosinus an.
06:07
Links steht Alpha mit dem Körnchen Salz. Wegen war nicht wirklich Unckerfunktion. Und rechts steht Akus Kosinus b durch c. So sieht das aus. Also ich kann sagen, Alpha ist der Akus Kosinus von b durch c. Wenn ich dieses Verhältnis habe, kriege ich Alpha als den Akus Kosinus.
06:26
Und jetzt kann ich einander einsetzen. Dieses Alpha setze ich ganz dreist da ein. Und stelle fest, a ist gleich c mal den Sinus vom Akus Kosinus
06:43
b durch c. Das ist so viel einfacher, denn jetzt habe ich Sinus Akus Kosinus ausgedrückt mit einer nackten Seitenlänge. Dann kann ich beide Seiten noch durch c teilen. a durch c ist der Sinus vom Akus Kosinus
07:08
von b durch c. Das ist doch irgendwie lustig. Jetzt habe ich eine Aussage über den Sinus vom Akus Kosinus. Die interessierte mich ja. Kann ich den Sinus vom Akus Kosinus irgendwie retten?
07:22
Sie sehen der Sinus von Akus Kosinus von b durch c. Das ist einfach. Das ist a durch c. Die Frage ist, was ist a durch c? Wenn sie b durch c haben, wie kommen sie auf a durch c? Wie können sie die linke Seite
07:42
ausrechnen? Auf ganz andere Art als mit dem Sinus von Akus Kosinus. Ja, Pythagoras. Benützen Sie Pythagoras, um aus b durch c, a durch c zu bestimmen. Eine Formel, in der b durch c steht. Und aus b durch c möchte ich a durch c ausrechnen. Mithilfe von Pythagoras. Und dann kann ich die Formel benutzen, um den Sinus Akus Kosinus
08:07
zu ersetzen. Durch etwas einfacheres. Was mache ich? Ich schreibe erstmal Pythagoras hin. In diesem rechtwinkligen Dreieck. a Quadrat plus b Quadrat ist gleich c Quadrat.
08:23
a Quadrat plus b Quadrat ist gleich c Quadrat. Ich möchte was rauskriegen wie a durch c. a durch c. Dann teile ich doch mal beide Seiten durch c Quadrat. Und finde a Quadrat durch c Quadrat plus b Quadrat durch c Quadrat ist gleich 1.
08:46
Beide Seiten von Pythagoras durch c Quadrat geteilt. Ich bin immer noch auf der Suche nach einem Ausdruck für a durch c. Dann stelle ich doch jetzt mal a durch c auf eine Seite. a Quadrat durch c Quadrat ist gleich 1 minus b Quadrat durch c Quadrat.
09:07
Wie kriege ich jetzt a durch c? Der letzte Schritt ist dann einfach. Genau die Wurzel ziehen. a durch c ist also die Wurzel aus 1 minus. Sie sehen das hier ist ja b durch c in Klammern ins Quadrat.
09:21
Es gibt also eine ganz einfache Möglichkeit, von b durch c auf a durch c zu kommen. Ohne Sinus und den Argus Cosinus. Ich quadriere was im Argus Cosinus da hinten drinnen steht, ziehe das von 1 ab, bilde die Wurzel und dann habe ich das was da rauskommt. Der Sinus von Argus Cosinus ist die Wurzel aus 1 minus das Quadrat.
09:42
Das ist eine andere Art dann den Sinus von Argus Cosinus auszurechen. Der Sinus von Argus Sinus ist einfach, der Cosinus von Argus Cosinus ist einfach. Und der Sinus von Argus Cosinus sehen Sie ist die Wurzel aus 1 minus das Quadrat. Was hier steht quadrieren von 1 ab ziehen Wurzel gibt das selbe Ergebnis wie Sinus von Argus Cosinus.
10:10
Das kann ich oben benutzen. Wurzel aus 1 minus das Quadrat waren wir, wo waren wir waren wir? Da waren wir, also ich weiß jetzt, dass dieses
10:21
ist, ich kopiere das mal dieses ist zwölf mal die Wurzel aus 1 minus 27 48 ins Quadrat ganz ohne Sinus und seine Freunde geht das also.
10:41
Einfach nur diese Eigenschaft hier eingesetzt. Der Sinus aus Argus Cosinus sich so ausdrücken lässt. Man kann das allgemein durch exerzieren. Sie können diese Formel allgemein mit ABC hinschreiben, dann kriegen Sie lustigerweise, Sie sehen irgendwas mit einer Wurzel und Quadraten und Produkten aus den ABC.
11:01
Es gibt eine Formel, bei der man nur die Seitenlängen vorgibt und daraus dann die Fläche zaubert. Stand lustigerweise bei keinem von Ihnen in den Formelsammlungen. Finden Sie auf Wikipedia aber sicherlich die Formel. Brauchen wir aber auch gar nicht. Wir haben es ja auch so geschafft. Das hier ist die Fläche.
11:22
Das allererste Ding, wir werden das hier natürlich kürzen. Faktor 3 steckt überall drin, dann habe ich hier oben erstmal auf 9 gekürzt und hier unten durch 3, dann bin ich bei 16.
11:40
9 Sechzehntel, das wird nicht wirklich schön. 1 minus 81 durch 16 ins Quadrat sind 256. Das weiß man dann nach Informatik auswendig. 16 ist Quadrat sind 2 hoch 4, 2 mal 4, 2 mal 8 sind 256. Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Byte mit Werten zu belegen? 256.
12:11
Das heißt hier sind wir bei 256 minus 81, 256 sind 175. Und ich bin bei 12 mal
12:26
Wurzel 175 durch Wurzel 256. Na toll, eigentlich hätte ich gar nicht das Quadrat von 16 ausrechnen müssen. Viel zu viel Aufwand gemacht. Sind also 12 durch Wurzel 250, 16, mal die Wurzel aus 157. Die 12 und die
12:45
16 können wir noch kürzen. Steckt ein Faktor 4 überall drinnen, oben wird es die 3, unten wird es eine 4. Das Ärgernis ist jetzt die Wurzel 175. Die gute Schätzung für Wurzel 175 wäre ungefähr
13:02
13, denn 13 ins Quadrat sind 169. 175, 169, das macht den Braten nicht fett. Vor allen Dingen bei der Wurzel. Die Wurzel wird ja immer flacher. Da muss ich nicht allzu genau dran gehen. Und dann habe ich hier zum Schluss 3 mal 13 Viertel, 39 Viertel, also ungefähr 10. 10 Flächeneinheiten wäre die Ansage.
13:35
10 Flächeneinheiten. Wie können Sie zum Vergleich 10 Flächeneinheiten einmalen? Genau das hätte ich auch gemacht.
13:45
Von der Seite mit der Länge 5 senkrecht weg, 2 Einheiten, da habe ich die Fläche 10. Die 2 Einheiten, das wäre ja die Hälfte von der Seite mit der 4, wenn ich die 4 so malen würde. Wenn das die 4 wären, davon die Hälfte.
14:05
Dieses Rechteck, das habe ich jetzt rausgekriegt, müsste wie mal Daumen dieselbe Fläche haben wie das Dreieck. Das sieht für mich sehr plausibel aus, wenn ich hier das zerschneide. Das möchte ich glauben. Also ungefähr 10 ist die Antwort. Und wenn Sie es genauer haben wollen eben 3 Viertel mal Wurzel 175.
14:28
Genau wie ich das in den alten Videos vorgeführt hatte. Man kann direkt den Kosinus rausschmeißen. Wenn Sie in diesem Dreieck zum Beispiel benutzen, das H was mit dem Sinus zu
14:40
tun hat, aber das was hier unten abgeschnitten wird, was mit dem Kosinus zu tun hat. Also man kann direkt auch auf den Kosinus kommen, hat der Narkus Kosinus und davon den Kosinus. Das macht es einfacher, da habe ich es direkt.