Also der Teil der Ableitung ist ziemlich stupide. Irgendwelche Gesetze anwenden, von denen man sicher sein kann, dass sie zum Erfolg führen. Jetzt gucken wir uns mehr die Bedeutung an. Ich schreibe mal Folgendes hin. Schätze mit Ableitung.

Richtiges Z hier. Schätze mittels Ableitung. Lassen wir uns mal Gedanken darüber machen, was denn die Ableitung tatsächlich bedeutet. Ausrechnen ist das eine. Aber eine Idee haben, was sie denn bedeutet, ist was anderes. 1 durch 10,03.

Ich bin ein fauler Mensch. 1 durch 10,03. Schätzen mit Hilfe der Ableitung. Den Sinus von 0,01 im Bogenmaß. Schätzen mit Hilfe der Ableitung. Die Wurzel, die Quadratwurzel aus 4,1. Schätzen mit Hilfe der Ableitung.

Wenn sie das können, haben sie schon richtig was gelernt über Ableitung. Also komplett ohne Taschenrechner. Versuchen diese Zahlen auf ein paar Stellen nach dem Komma zu bestimmen. Mithilfe der Idee, was die Ableitung tut. Dass die Ableitung die Steigung der Tangentengraden angibt.

Mein Gedanke hier ist folgender. Die Ableitung sagt mir was zur Tangentengrade. Also versuche ich mich doch mit der Tangentengrade aus der Affäre zu ziehen. Wenn wir 1 durch X nehmen, das ist jetzt nicht maßstabsgerecht.

Aber vom Prinzip her, das was ich vorhabe, wenn hier irgendwo die 10 wäre, die müsste natürlich viel weiter draußen liegen, wenn hier irgendwo die 10 wäre, dann wäre hier ein Zehntel. Sie sehen, dass das vom Maßstab nicht passen kann. 1 durch 10 ist einfach. Diese Strecke hier kenne ich. 1 durch 10. 0,1.

Wenn das gefragt wäre, wäre es billig. Aber es ist nicht 1 durch 10 gefragt. Es ist 1 durch 10,03 gefragt. Irgendwo hier neben, wir sehen jetzt ist der Maßstab nun völlig im Eimer, irgendwo hier neben liegt 10,03. Und ich möchte wissen, was dieser Funktionswert ist.

Bei 10,03. Wie groß ist diese Seite? Und da versuchen Sie mal mit der Ableitung zu Rande zu kommen.

Wie kann mir die Ableitung jetzt dabei helfen, dass ich diese Strecke ausrechne? Die Strecke kenne ich. 1 Zehntel. Diese möchte ich ausrechnen. Ableitung ist die Steigung der Tangentengrade.

Okay, da betreten wir tatsächlich Neuland. Ich bestimme meine Tangentengrade hier an der Stelle 1 Zehntel. Das ist nämlich billig, die Tangentengrade an der Stelle 1 Zehntel zu bestimmen. Das ist nur schwierig einzuzeichnen. So, das könnte meine Tangentengrade hier an der Stelle 1 Zehntel sein.

Ich kann die Steigung einfach ausrechnen. Die Steigung ist nämlich der Wert der Ableitung.

Wenn ich die Tangentengrade hier durchlege, durch diesen Punkt, läuft sie durch den Punkt und ich kenne die Steigung. Die Steigung ist die Ableitung von 1 durch x an der Stelle 10. Machen wir gerade mal hier die Ableitung von 1 durch x an der Stelle 10. x hoch minus 1.

Ableiten kann man zum Beispiel mit dieser Potenzregel machen. x hoch n Ableiten, wo waren wir da? x hoch n, x hoch n, da. x hoch minus 1 Ableiten gibt also minus 1 mal x hoch minus 2.

Macht minus 1 durch x². Minus 2 im Exponenten durch x². Das gibt also minus 1 durch x². Das heißt, ich kenne die Steigung. Das ist nämlich minus 1 durch 10².

Minus 0,01 Minus 100 ist die Steigung der Tangentengrade. Sie sehen, die ist bei mir ein bisschen zu steil geworden. Die ist ja schon relativ flach, aber sie ist immer noch zu steil. Die Kurve ist viel flacher, als ich sie gezeichnet habe und die viel dichter über der x-Achse und die Tangentengrade ist auch viel

flacher, als ich sie gezeichnet habe. Und der Trick ist nun, dass man sich daran weiterhangelt. Unter dem Mikroskop sehen Tangente und Kurve praktisch gleich aus. Wenn Sie hier ein Mikroskop drauf halten, sehen Sie praktisch keinen Unterschied zwischen Kurve und Tangente. Deshalb gucke ich jetzt hier

auf der Tangentengrade nach, um diesen Wert hier zu bestimmen, wo hier ein Fragezeichen dran steht, für den ich da oben jetzt keinen Platz mehr habe. Was muss das sein? Ich starte mit dem Wert 1 Zehntel und dann gehe ich mit der Steigung

minus 0,01, minus 1 durch 10² um 0,03 zur Seite. Wenn Sie mit der Steigung 1 um einen Meter zur Seite gehen, dann haben Sie einen Meter nach oben zurückgelegt. Wenn Sie mit der Steigung ein halb um einen Meter zur Seite gehen, haben Sie einen halben Meter nach oben zurückgelegt. Wenn Sie mit der Steigung 2 um einen halben Meter zur Seite gehen, dann haben Sie einen ganzen Meter nach oben zurückgelegt.

Und hier analog, ich gehe 0,03 zur Seite mit der Steigung minus 1 durch 10². Minus 1 durch 10².

Nicht 102, minus 1 durch 10². Welches Stückchen verliere ich hier? Das wird ein kleines Stück runtergehen. Welches Stückchen verliere ich hier? 1 durch 10² mal 0,03. Wie weit ich zur Seite gehe, mal die Steigung. Das ist die Änderung auf der Y-Achse. Und damit habe ich einen Schätzwert

für 10,03. Ich gucke Ihnen einfach auf der Tangentengrade nach. Wenn wir uns hier an Zahlen rechnen, ist das also 0,1 minus 0,0. 1 mal 0,03

macht 0,1 minus 0,0. Jetzt wird es spannend. Das muss vier Stellen hinter dem Komma stehen, eine drei, vier Stellen hinter dem Komma. Das muss dabei rauskommen. Dann sind wir bei 0, die 1 wird zur 0 und dann kommt jetzt hier 9,9,7. So, Proberechnen, hinten die 3 rauf.

Wird eine 0, 1 im Sinn. Die 9 wird eine 0, 1 im Sinn. Die 9 wird eine 0, 1 im Sinn. Da steht 0,1. Okay, ich bin gespannt, was der Taschenrechner sagt. 1 durch 10,03.

997, 0089. Das heißt, im wahren Leben kommt hier also tatsächlich jetzt 00 und irgendwas hinten dran. Das wäre so eine grundlegende Idee, was denn die Ableitung überhaupt schafft. Die Ableitung sagt Ihnen, was die Tangentengrade ist, wie ihre Funktion mikroskopisch aussieht. Das ist der Gedanke überhaupt mal dahinter gewesen. Die Geschwindigkeit sagt Ihnen

eines Objekts, die momentanen Geschwindigkeit sagt Ihnen, wie sie sich in diesem Moment und der nächsten Nanosekunde vielleicht auch noch wägt, von A nach B. Und hier sagt es mir, was passiert mit dem Y-Wert.

Über die nächsten 10 hoch minus ziemlich viel Einheiten auf der X-Achse. Das ist die Idee von der Ableitung. Die sagt mir, was über die Tangentengrade ist. Das probieren wir jetzt bei den anderen nochmal ähnlich. Also hier hatten wir jetzt 0,0997.

Hier ist also ungefähr 0,0997. Mit dem Sinus sollten Sie es jetzt selber können. Ich glaube, den haben wir auch hin und wieder schon mal dran. Die Wurzel sollte dann auch klappen. Den Sinus hatten wir ja schon hin und wieder. Ich mache dieselbe Überlegung wie bei der Hyperbe

jetzt bei der Sinusfunktion. Na ja, das ist eher eine Wahl als eine Sinusfunktion. Und zwar möchte ich den Sinus für einen ganz einen Winkel, ich wollte gerade sagen ganz klein, ich sollte jetzt sagen, einen Winkel dicht bei 0 wissen. Und zwar

hier auch mal wieder maßstabsmäßig völlig falsch, 0,01. Von der Zahl möchte ich den Sinus wissen. Und ich rette mich mit dem Steigungsdreieck. Wenn Sie hier das Steigungsdreieck reinmalen, der Sinus

an der Stelle 0 ist 0. Das macht das Ganze extrem einfach, bequem wollte ich gerade sagen. Wenn ich hier um 0,01 zur Seite gehe, werde ich hier um 0,01 nach oben gehen, weil die Tangentengrade

bekanntermaßen hier die Steigung 1 hat. Denn das ist ja schlicht und ergreifend Cosinus von x. Die Steigung der Tangentengrade

ist Cosinus von x. Hier hat die Tangentengrade die Steigung 0, der Cosinus ist 0. Hier hat die Tangentengrade die Steigung minus 1, der Cosinus ist minus 1. Hier hat die Tangentengrade die Steigung 0 und so weiter. An jeder Stelle können Sie Cosinus x ausrechnen und haben die Steigung der Tangentengrade. Hier ist die Steigung der Tangentengrade 1. Mit anderen Worten, wenn ich ein ganz, ganz kleines Stückchen nach rechts gehe,

gehe ich genau dasselbe kleines Stückchen nach oben. Auf der Tangentengrade. Die Kurve selbst biegt ab. Wenn Sie das unter dem Mikroskop angucken, ist das die Tangentengrade. Und irgendwann biegt dann der Sinus ab. Was heißt irgendwann, er biegt die ganze Zeit ab. Nur zunehmend schneller biegt der Sinus ab. So sieht das unter dem Mikroskop aus. Hier ist der Ursprung.

Die beiden sind praktisch deckungsgleich und dann biegt der Sinus ab. Aber die Gerade hat weiterhin die Steigung 1, die Tangentengrade. Und je dichter ich am Ursprung bin, umso besser passt diese Näherung. Wenn ich 0,01 einsetze,

kommt auch praktisch 0,01 raus. Ein Tücken weniger, weil der Sinus nach rechts abbiegt. Im Bogenmaß, wie gesagt, im Gradmaß natürlich ganz was anderes. Das ist ungefähr 0,01. Wir wissen sogar 0,00999 und so weiter, weil es ein bisschen weniger sein muss.

Einmal gerade den Taschenrechner hier. Wichtigste Schritt umstellen auf Valiant. 0,01 und davon den Sinus. Wie versprochen, 0,009999, also ziemlich dicht dabei.

Und das wird umso besser, auch im Verhältnis umso besser, Fehler zur Gesamtzahl umso besser, je dichter sie an der Null dran sind. Auch da wieder. Die Ableitung sagt Ihnen, wie sich die Funktion verhält, wenn sie mit dem X-Wert ein Stückchen zur Seite gehen.

Ich gehe aus der Null, einhundertstel raus. Der Sinus hat bei der Null die Ableitung 1, das heißt, der Wert wird auch ein hundertstel nach oben gehen. Der Letzte war die Wurzel, das haben die meisten jetzt denke ich auch. Mal noch mal aufmalen, wie das mit der Wurzelfunktion aussieht. Ich bin

hier irgendwo bei 4, also eine liegende Parabe. Ich bin da irgendwo bei 4 und habe keinen Platz auf der Y-Achse. Mal sehen, hier bin ich bei 4. Und hier, oh je, was schief heute.

So was. Hier bin ich bei 2, hier ist die Wurzelfunktion mit dem Namen Wurzel. Und nun will ich ein Stückchen zur Seite. Nicht bei 4 möchte ich die Wurzelfunktion kennen, sondern ich möchte sie

bei 4,1 kennen. Und das Prozedere ist hoffentlich allmählich klar. Man überlegt sich, was die Tangente gerade ist. Naja, man überlegt sich, was die Tangente gerade ist. An der Stelle 4 und geht jetzt auf der Tangente gerade,

den 0,1 zur Seite. Unter dem Mikroskop sehen die beiden Kurven praktisch identisch aus. So sieht es dann unter dem Mikroskop aus. Die Tangente gerade und die Wurzelfunktion dient ja nach links und nach rechts unten ab. Und je dichter sie hier drauf gucken, umso mehr verschmelzen die beiden.

Von der Tangente gerade bräuchten wir die Steigung. Das heißt, ich brauche die Steigung der Wurzelfunktion. Das ist wieder dieses Potenzgesetz. Ich möchte ableiten die Wurzel von x nach x. Die Wurzel ist x hoch ein halb nach x. Dann bin ich bei der Form x hoch n.

Zurück, x hoch n, x hoch n, da. x hoch ein halb möchte ich ableiten, gibt ein halb mal x hoch ein halb minus eins. Ein halb minus eins. Macht minus ein halb. Ein halb mal x hoch minus ein halb, die Ableitung der Wurzelfunktion.

Da ist ein halb mal x hoch minus ein halb. Kann man hübscher schreiben, eins durch zwei mal die Wurzel aus x. Die zwei, das ist die hier. x hoch minus ein halb heißt Wurzelkehrwert. Das minus heißt Kehrwert. Ein halb für die Wurzel. Da unten steht es, Wurzelkehrwert. Eins durch zwei Wurzel x ist die Ableitung der Wurzelfunktion.

Das heißt, ich kann jetzt diese Steigung hier ausrechnen. Die Steigung der Tangentengrade. Das ist nämlich eins durch zwei mal Wurzel vier. Eins durch zwei mal Wurzel vier. Wenn sie die Steigung vier wissen wollen, an der Stelle

von mir aus 0,8, dann rechnen sie eins durch zwei mal Wurzel 0,8 und so weiter. Für jedes x kriegen sie die Tangentensteigung der Wurzelfunktion, indem sie eins durch zwei mal Wurzel x rechnen.

Und das ganze ist natürlich sehr bequem. Zwei mal Wurzel vier ist einfach eins durch zwei mal zwei ist ein Viertel. Die Steigung ist ein Viertel. Jetzt kann ich sagen, wie lang dieses Stückchen den Stift anspitzen.

Ich kann sagen, wie lang dieses Stückchen aufwärts ist. Das muss sein Steigung mal, wie weit ich zur Seite gehe. Steigung ist ein Viertel. Wie weit ich zur Seite gehe, ist mal 0,1. Das ist dieses kleine Stückchen Aufrecht.

Und das heißt, der Wert insgesamt Wurzel 4,1. Der Wert insgesamt wird werden, ich schreibe gerundet, der Wert, den ich an der Stelle 4 hatte, das ist die 2. Plus, jetzt kommt ja zu der 2, das sind 2. Zu der 2 kommt dieses kleine Stückchen oben noch dazu.

Also 2 plus ein Viertel mal 0,1. Ein Viertel sind 0,25, da sind wir bei 2,025. Ich bin gespannt.

Was sagt unser Taschenrechner? Haben wir die Wurzel direkt? Nee. Invers x Quadrat

2,0248. Sie sehen, das klappt nicht ganz so gut wie bei den anderen Anschein, 2,0248. Aber gerundet 2,025, immer noch, was ich da stehen habe. Drei Stellen nach dem Komma, das ist doch auch schon mal was. Das ist die Idee hinter der Ableitung. Die Ableitung sagt,

wenn ich eine Funktion habe und mir diese Funktion unter dem Mikroskop angucke, oder jetzt habe ich eine Lupe gemalt, egal, unter der Lupe angucke, wie steil ist die Gerade, die ich da sehe, unter der Lupe?

Es gibt die ganz fiesen Funktionen, die sehen unter der Lupe nicht wie eine Gerade aus. Dann habe ich natürlich Pech gehabt. Nehmen Sie die hier, die Betragsfunktion. Wenn Sie hier mit der Lupe gucken, sieht es beim besten nicht wie eine Gerade aus, sondern Sie haben immer einen Knick drin. Es gibt noch viel fiesere Funktionen, die in der Praxis netterweise nicht vorkommen, die nicht nur einen Knick haben, sondern die ganz fürchterlich graus sind und auch auf keiner

auf keiner Skala glatt werden. Die sind aber pathologische Fälle für die reine Mathematik eher. In der Praxis sehen Sie die nicht. Wenn Sie Messwerte haben, haben Sie sowieso eigentlich gar keine Kurven, sondern eigentlich nur einzelne Punkte.

Noch ein ganz anderes Problem, muss ich später noch mal drauf kommen, aber schon gar nicht Kurven, die ganz fürchterlich gekräuselt sind, so gekräuselt sind, dass selbst unter dem besten Mikroskop nicht mehr eine Gerade entstehen würde. Die haben Sie in der Praxis nicht. Das als Idee der Ableitung.