eine etwas praxisrelevantere Aufgabe zur Wahrscheinlichkeit. Ich habe eine Kiste Bauteile, 100 Bauteile und die Frage ist gleich, wie viel sind denn kaputt oder erst mal etwas gröber gefragt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

dass ich darin ein oder mehr Defekte habe? Die Wahrscheinlichkeit, dass darin ein oder mehr, ich schreibe mal 1+, wie man im amerikanischen so schön schreibt, 1 oder mehr Defekte sind.

Um das beantworten zu können, müsste man natürlich irgendwie noch mehr Informationen haben, nämlich folgende Information. Im Schnitt ist jedes 50 Bauteil kaputt. Das hat vielleicht vorher jemand mal ausgemessen,

1000 sich angeguckt oder 100.000 sich angeguckt und festgestellt, im Schnitt ist jedes 50 kaputt und nun habe ich hier diese Kiste von 100 auf dem Schreibtisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darin ein oder mehr, mindestens eines, kaputt ist?

Also ich erwarte, dass von den 100 im Schnitt zwei kaputt sind, aber das sagt natürlich noch nicht direkt, was über die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein oder mehr kaputt sind. Da muss man weiter nachdenken, im Schnitt wären zwei kaputt.

Schön, aber was sagt man, dass über die Wahrscheinlichkeit, dass ein oder mehr kaputt sind? So, wenn Sie gar nichts wissen, ein Baum, wenn Sie gar nichts wissen, ich ziehe das erste Bauteil aus der Kiste. Das ist kaputt oder nicht. K und N von mir aus, kaputt oder nicht. Kaputt soll es sein in einem Fünftzigstel der Fälle, Wahrscheinlichkeit von einem Fünftzigstel.

Mit der ist es kaputt. Und mit der Wahrscheinlichkeit von 49 Fünftzigstel ist es nicht kaputt. Vorsicht, diese Wahrscheinlichkeiten hier müssen sich zu eins addieren. Wenn Sie hier was anderes rauskriegen, ich habe gerade eben gesehen, ein Hundertstel, ein Hundertstel.

Ja, ein Hundertstel, ein Hundertstel, schön, aber was ist mit den anderen 98 Hundertstel? Da müssten Sie irgendwie drei Ausgänge haben vom Start und der Letzte müssten noch 98 Hundertstel haben. Das muss sich zu eins addieren. Sie müssen in 100 Prozent der Fälle irgendwas tun. Dann können Sie nicht nur in ein Prozent und ein Prozent der Fälle was tun, die übrigen 98 Prozent bräuchten wir auch noch.

Also die Summe hier muss eins ergeben, sie darf nicht größer sein als eins, sie darf nicht kleiner sein als eins. Wenn das erste Bauteil kaputt ist, dann haben wir schon einen der Fälle, die uns interessieren, da brauchen wir uns die übrigen gar nicht angucken. Es ist eines kaputt, mich interessiert ob eins oder mehr kaputt waren.

Wenn das erste Bauteil, was ich da ziehe, nicht kaputt ist, dann gucken wir weiter. Was ist mit dem zweiten Bauteil, was ich aus der Kiste nehme? Ohne zurücklegen, wenn Sie so wollen. Ich lege die alle nacheinander auf den Schreibtisch. Das zweite Bauteil aus der Kiste. Na ja, mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Fünfzigstel ist es kaputt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 49 Fünfzigstel ist es nicht kaputt.

Wenn es kaputt ist, tritt das ein, was mich interessiert. Ich muss gar nicht weiter gucken. Wenn es nicht kaputt ist, gucke ich weiter. Sie sehen, da könnte man jetzt lange aufschreiben. Das ist nicht so lustig, das jetzt bis zu Ende aufzuschreiben. Aber wenn Sie das Prinzip erkannt haben, geht das ja relativ zügig, sich zu überlegen, was denn da rauskommen muss.

Kaputt. In einem Fünfzigstel der Fälle ist es sowieso sofort kaputt. Plus unvereinbare Ereignisse. Der erste ist nicht kaputt, gucken wir uns den nächsten an.

49 Fünfzigstel mal ein Fünfzigstel. Nicht 49. Das ist jetzt nicht, als ob ich diese Buchstaben da rausziehe, wie bei der letzten Aufgabe. Es ist ja jedes Mal die Wahrscheinlichkeit, wenn ich den nächsten hole, ein Fünfzigstel ist kaputt, 49 Fünfzigstel ist nicht kaputt.

Diese 50 hier hat eine andere Bedeutung als dieses Durchnummerieren, was wir vorher hatten. Jeder von denen ist mit dieser Wahrscheinlichkeit kaputt und nicht kaputt. Er könnte ja auch mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Fünfhundertstel kaputt sein, deutlich bessere Qualität.

Und mit einer Wahrscheinlichkeit von 499 Fünfhundertsteln heile sein. Diese 50 hatte jetzt nichts mehr mit den Anzahlen in dem Karton zu tun. Ich hatte gesagt zu Beginn, im Schnitt ist jeder Fünfzigste kaputt. Also eine Wahrscheinlichkeit von einem Fünfzigstel, dass einer, den ich auf dem Tisch liegen habe, kaputt ist. Das wäre an der Stelle vielleicht ein Sanity Check. Was wäre, wenn es nicht ein Fünfzigstel als Wahrscheinlichkeit wäre, sondern was wäre, wenn diese Dinger fast perfekt wären?

Was wäre, wenn die Wahrscheinlichkeit ein Millionstel wäre? In einem Millionstel der Fälle ist der erste kaputt, in 999.999 Millionsteln der Fälle ist der erste heile und so weiter. Also diese 50 hat jetzt nichts mehr mit der Zahl der Bauteile in der Kiste zu tun.

Einfach eine gegebene Wahrscheinlichkeit. Insbesondere geht das jetzt eben nicht mehr so Laplace-mäßig, die Anzahl der günstigen Fälle durch die Zahl aller Fälle, weil ich hier so eine gemessene Wahrscheinlichkeit habe. Wo war ich? Ich wollte das aufsummieren. Also hier, dass der erste kaputt ist, ein Fünfzigstel.

Ein damit unvereinbares Ereignis, der erste ist nicht kaputt, aber der zweite ist kaputt. 49 Fünfzigstel mal ein Fünfzigstel. Plus, der erste und der zweite sind nicht kaputt, der dritte ist kaputt. 49 Fünfzigstel mal 49 Fünfzigstel mal ein Fünfzigstel.

Plus, was kriege ich denn als allerletzten Summand? Sie sehen, ich möchte hier nicht alle hinschreiben. Was ist der allerletzte Summand? Genau, der letzte wird also sein 49 Fünfzigstel hoch 99 mal ein Fünfzigstel. Da müssen wir uns gerade noch überlegen, warum hoch 99, warum nicht hoch 100, warum nicht hoch 98?

Wieso hat der letzte hoch 99? Wunderbar. Wenn ich hier unten durchgehe, sind 99 heile. Die ersten 99, die ich aus der Kiste nehme, sind heile. Und der allerletzte, der hundertste, der ist kaputt.

Das ist also der letzte Summand. Sie sehen, wenn man so ein Diagramm baut, mag man das im Zweifelsfall nicht zu Ende. Wichtig ist, das Prinzip zu erkennen, dann können Sie hinschreiben, was rauskommen muss. Das könnte ich jetzt in den Computer eingeben. Zu Fuß werde ich das nicht machen wollen. Man kann es netterweise viel einfacher machen. Man kann dieses hier auch sehr intelligent zusammenfassen.

Ein allgemeiner Tipp ist immer, gucken Sie sich das Gegeneignis an. Vielleicht ist es viel einfacher auszurechnen, was das Gegenteil macht, als das, was das eigentlich interessante Ereignis macht. Das Gegenteil hiervon ist, es ist keiner kaputt. 100 Bauteile und keines ist kaputt.

Probieren wir es mal so rum. Es muss also dasselbe rauskommen, wenn ich rechne 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass keines kaputt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines kaputt ist? 49 Fünfzigstel ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer nicht kaputt ist. Aber ich will ja 100 hintereinander haben, die nicht kaputt sind.

Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass alle 100 in dem Kasten nicht kaputt sind. Davon das Gegenteil ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer kaputt ist. Sie sehen, es lässt sich ja viel einfacher ausrechnen, lustigerweise. 1 minus 49 Fünfzigstel hoch 100.

Und nun kommt noch ein Kunstgriff, das können Sie sogar ohne Taschenrechner. Dass hier eben, wie es da so steht, da denkt man, oh, oh, oh, da muss ich anfangen zu programmieren. Dasselbe hier ausgerechnet, geht zumindest auf die Schnelle mit dem Taschenrechner. Und es geht sogar ganz ohne Taschenrechner. Ich schreibe den hier hinten etwas anders. Das ist 1 minus 49 ist ja 50 minus 1.

Wow, ich kann immer noch kopfrecht. 50 minus 1 Fünfzigstel. Das heißt, hier hinten steht, das ist 1 minus 1 minus 1 Fünfzigstel hoch 100.

1 minus 1 Fünfzigstel hoch 100. 1 Fünfzigstel sind zwei Hundertstel. Erinnern Sie sich, von den Hundert werden im Mittel zwei kaputt sein. Zwei werden im Mittel kaputt sein von den Hundert. Da taucht das lustigerweise auf. 1 Fünfzigstel, zwei von den Hundert hoch 100. Gucken Sie sich hier mal den letzten Term hier an.

1 minus 2 Hundertstel hoch 100. Der sollte Ihnen, toi, toi, toi, bekannt vorkommen. Auch nach ein paar Monaten nur noch. Ich komme gerade mal aus einer ganz anderen Ecke. E hoch minus zwei. E hoch minus zwei. Wenn ich E hoch minus zwei ausrechnen will, naja.

E hoch minus zwei durch 100 hoch 100. Ich hoffe, dass Sie sich noch an die Potenzrechengesetze erinnern. Eine Potenz heißt, die beiden Exponenten miteinander zu multiplizieren. E hoch minus zwei ist E hoch minus zwei durch 100 hoch 100.

Und jetzt gucken Sie sich die E-Funktion an. Die E-Funktion hat die Steigung eins an der Stelle null. Das hier ist die E-Funktion. Exp mit der Steigung eins.

Wie kann ich E hoch minus zwei Hundertstel ungefähr schreiben? 0,02 unter eins. Ich gehe hier 0,02 nach links. Und dann gehe ich auf der Tangentengrade 0,02 nach unten. Es ist 0,02 weniger als eins.

In guter Näherung. Die Kurve geht ja etwas nach oben weg. Aber in guter Näherung ist das hier eins minus 0,02. Zwei Hundertstel. Aus der eins gehe ich zwei Hundertstel nach unten. Sie sehen, was hier steht.

Eins minus zwei Hundertstel hoch 100. Was hier rauskommt, ist in halbwies praktikabler Näherung E hoch minus zwei. Ich kriege als Ergebnis also ungefähr eins minus E hoch minus zwei. Ohne den Taschenrechner.

E hoch minus zwei Schätzung. Also eins durch E Quadrat ungefähr ein Neuntel. Eins minus ein Neuntel. Eins minus ungefähr elf Prozent. Unter 90 Prozent. Zwischen 80 Prozent und 90 Prozent. Irgend sowas von der Größenordnung. Das wird es nachher werden.

Genauer brauche ich solche Wahrscheinlichkeiten auch im Allgemeinen nicht. Spannend ist, ist es 99,999 Prozent oder ist es 90 Prozent oder ist es 50 Prozent. Aber ob es nun 91 Prozent sind oder 92 Prozent, ist mir bei Wahrscheinlichkeiten ja typischerweise ziemlich schurz. Also dieses Ding wird irgendwas zwischen 80 und 90 Prozent sein.

Wir haben die Kiste Bauteile. Und die Wahrscheinlichkeit, dass darin mindestens eines kaputt ist, ist irgendwas zwischen 80 und 90 Prozent. Was mir eigentlich wichtig war, das scheint nochmal Wiederholungsstoff zu sein, die E-Funktion wieder zu erkennen.

Sobald ich sowas habe, E hoch minus zwei durch 100 hoch 100, steht da eins minus zwei Hundertstel hoch 100. Diese Geschichte E hoch minus zwei. Darin sehen Sie, wie die E-Funktion bei Wahrscheinlichkeiten auftaucht. Das hier hat etwas mit der Poissonverteilung zu tun.

Das hatte ich in irgendeinem alten Video mal diskutiert. Aber Sie brauchen sich gar nicht die Poissonverteilung irgendwie ins Hirn zu zimmern. Wenn Sie das hier verstanden haben, oder das mit der Gegenwahrscheinlichkeit, ist der Rest banal. Eine wesentliche Annahme ist hier eingebaut.

Und die ist vielleicht in der Praxis ein bisschen blauäugig. Wenn Sie sich das hier angucken, was habe ich da als Annahme über meine Bauteile eingebaut, ohne es bisher erwähnt zu haben? Was könnte ein Problem sein?

Zurück zu den Münzen. Ich werfe zwei Münzen, die können ja auch ruhig kaputt sein. Das hatten wir am Dienstag, zwei kaputte Münzen. Eine fällt auf Kopf, eine fällt auf Zahl. Die können auch ruhig beide kaputt sein. Aber es gibt eine Sache, die ich dabei immer annehme, wenn ich sage, so und so viele Münzen werfen, so und so viele Würfe werfen.

Ich gehe davon aus, dass mir keiner sowas baut. Sie nehmen die beiden Münzen, schweißen die in Plastik ein, und dann werfen Sie dieses Stück Plastik auf den Tisch. Was ist das Problem? Genau, der Begriff unabhängig in der Stochastik. Stellen Sie sich vor, die sind beide in Plastik eingeschweißt, die eine immer auf Kopf, die andere auf Zahl. Na toll, Sie haben niemals den Fall, dass die beiden auf Kopf fallen und niemals den Fall, dass die beiden auf Zahl fallen.

Das wäre nicht unabhängig. Diese beiden Münzen sollen unabhängig voneinander fallen, Stochastisch. Und genauso bei den Würfen. Wenn ich sage, werfe drei Mal mit den Würfen, gehe ich davon aus, dass diese Würfe unabhängig voneinander sind.

Und nicht, dass automatisch, wenn beim ersten Mal die sechs kommt, dann auch bei den beiden anderen Mal die sechs kommt. Zum Beispiel. Das kann schiefgehen, das kann schiefgehen. Stellen Sie sich vor, es gäbe sowas, wie dass jeder Montag ein Produktionsproblem hat. An jedem Montag gibt es lauter Ausschussproduktionen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass montags der erste kaputt ist und obendrein der zweite und der dritte kaputt ist, die ist viel größer, weil eben das Montagsproduktionen sind. Sowas könnte man haben. Und umgekehrt an den anderen Wochentagen hätte ich das, dass die Bauteile mit höherer Wahrscheinlichkeit heile sind.

Dann wäre das nicht unabhängig voneinander. Sondern ich wüsste, wenn der erste nicht defekt ist, ist der zweite auch mit höherer Wahrscheinlichkeit als 49.50 nicht defekt. Und wenn der erste defekt ist, wüsste ich, dass der zweite auch eher defekt ist. Also diese Annahme, dass die unabhängig voneinander sind, die ist tricky.

Das wird man in der Praxis nicht haben. Gerade wenn man bei der Produktion sowas wie Montagsproduktionen hat, eine Maschine ist falsch eingestellt oder jemand ist noch nicht ganz wach bei der Arbeit, dann gibt es die ganze Serie kaputt, aber nicht zufällig mehr oder minder, sondern deutlich mehr kaputt.

Das muss man hier im Hinterkopf behalten, wenn man solche Formeln anwendet. Hier die Poissonverteilung stimmt im Zweifelsfall nicht für Produktionsberechnungen.