ein Dreieck mit den Seitenlängen 4, 5, 6, egal, 4, 5, 6, so ein Dreieck und ich suche jetzt die Halbierende der Seite C, der Seite 6, mit der

Länge 6, davon die Halbierende und ich möchte jetzt gerne wissen, welchen Winkel diese Halbierende mit der Seite mit der Länge 5 wird. Hier die Halbierende und ich frage nach dem Winkel. Also 3 auf der Seite, 3 auf der Seite, die Seitenhalbierende auf die Seite mit der Länge 6.

Wie groß ist der Winkel hier zur rechten? Mir wird gerade klar, wie fies diese Zeichnung ist. Was halten Sie von diesen beiden Winkeln hier unten, diese beiden Winkel? Was halten Sie von diesen beiden Winkel sind nicht 90 Grad, wenn das 90 Grad wären, müssten diese beiden Seiten ja gleich lang sein.

Das ist nicht symmetrisch, diese beiden Winkel sind nicht 90 Grad. Dieser Winkel da oben, das ist fies, dieser Winkel da oben ist auch nicht die Hälfte des gesamten Winkels. Also weder sind es hier unten zwei rechte Winkel, das haut nicht hin und wenn Sie ganz genau hingucken,

sehen Sie, dass hier oben diese beiden Winkel auch nicht gleich sind. Die Seitenhalbierende ist im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierende. Die ist ja so ein bisschen rüber geneigt. Man sieht es glaube ich am stärksten, wenn man so ein Dreieck hat, was noch viel weiter rüber geneigt ist. Wenn Sie so ein Dreieck haben und jetzt die Seitenhalbierende angucken, sehen Sie, die Seitenhalbierende kann nicht die Winkelhalbierende sein, das sind zwei Paar Schuhe.

Das ist fies bei diesem Dreieck, es ist ja fast gleichschenklich, deshalb sieht das so verdächtig aus, aber diese beiden Winkel hier oben sind nicht gleich. So, jetzt weiß ich auch wieder wie es geht. Man kann zum Beispiel so vorgehen, mit dem Cosinussatz diesen Winkel berechnen

und dann können Sie mit dem Cosinussatz, also ich schreibe mal hier eins, dann können Sie mit dem Cosinussatz hier diese Querverbindung berechnen, die Länge der Querverbindung, auch mit dem Cosinussatz

und dann kann man mit dem Sinussatz als drittes den gesuchten Winkel ausrechnen. Das ist pervers. Die Nummer eins, der Cosinussatz im gesamten Dreieck, ich gebe die mal einen Namen, sagen wir mal Alpha, dann finde ich also, wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, hätte ich vier Quadrat,

vier Quadrat ist gleich fünf Quadrat plus sechs Quadrat, wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, aber Alpha ist kein rechter Winkel, also minus zwei mal fünf mal sechs mal den Cosinus von Alpha.

Okay, das werden dann also 16 ist gleich 25 plus 36 minus 60 mal den Cosinus von Alpha 25 und 36 rüberbringen.

Guter Vorschlag, die 36 zuerst rüberbringen, 16 minus 36, dann habe ich auf der linken Seite minus 20 und dann auf die 25 abziehen, dann habe ich minus 45 auf der linken Seite, minus 45 ist minus 60 Cosinus Alpha.

Das Minuszeichen kann ich loswerden. Ich kann durch 15 teilen, drei und vier und habe dann, dass Alpha ist gleich der Arcoscosinus aus drei Viertel ist. Hier wieder vielleicht in Anführungszeichen das Äquivalenzzeichen.

Alpha gleich Arcoscosinus drei Viertel ist der einzige plausible Winkel in dem Spiel. Wir können auch 360 Grad mehr nehmen oder den negativen Winkel, aber das ergibt nicht allzu viel Sinn geometrisch. Damit haben wir den Arcoscosinus drei Viertel. Einmal gerade gucken, ob wir nicht voll daneben liegen. Sie sehen, das sollten bei 45 Grad sein.

Der Cosinus, hier bin ich bei 90 Grad. Cosinus drei Viertel, wie gesagt, ich hätte gerne was bei 45 Grad. Hier bin ich bei eins auf der Höhe beim Cosinus. Na ja, ich sieh dich ganz nah drei Viertel aus, aber ich halte es für machbar.

Hat so viel nicht jemanden Wert vom Taschenrechner? Also Taschenrechner sagt irgendwas bei 41 Grad. Damit kann ich leben. Das wäre der Schritt Nummer eins.

Der Schritt Nummer zwei. Jetzt verwende ich den Cosinussatz, um hier die Länge dieser Verbindung zu kriegen. Wie gehe ich vor? Cosinussatz ist ja immer, ich stelle mir vor, es ist ein rechtiges Dreieck und korrigiere dann. Wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, dann wäre diese Länge hier, wie nenne ich die mal?

Dann wäre diese Länge hier die Hypotenuse. Ich hätte L² ist gleich. 3² plus 5², wenn Alpha ein rechter Winkel wäre, wäre L² gleich 3² plus 5².

3² plus 5², aber es ist kein rechter Winkel. Also minus 2 mal 3 mal 5, mal den Cosinus von Alpha. Und jetzt wissen Sie, wenn Sie den Taschenrechner bemüht haben, um Alpha auszurechnen, haben Sie Strom verschwendet.

Denn ich brauche ja nur den Cosinus von Alpha, ich brauche gar nicht den nackten Winkel, ich brauche nur den Cosinus von Alpha. Cosinus von Arcos Cosinus, hierhin kommt dann einfach die 3 Viertel wieder raus, die wir vorher reingesteckt haben. Dann haben wir hier 9 plus 25, minus 30 mal 3 Viertel ist das Quadrat meiner Länge.

34 minus 90 Viertel sind wir bei 45 halbe. Bringen wir es auf halbe, dann haben wir 68 minus 45 sind 23 halbe.

L ist also die Wurzel aus 23 halbe. Die Wurzel aus 23 halbe, die Wurzel aus etwas mehr als 10, die Wurzel aus 11, 3, noch was müsste es werden.

Wenn man sich die Zeichnung anguckt, 4, 5, malen Sie vielleicht dran, das sind in einzelnen Einheiten. 1, 2, 3, 4, dann sollte dieses die Länge 3 haben. Ja, kann ich glauben, dass das die Länge 3 hat. Also haben wir hier Wurzel aus 23 halbe und der Taschenrechner sagt 3,39, wenn man unbedingt haben will.

Aber mir reicht eigentlich erst mal etwas mehr als 3, damit ich weiß, dass ich da auf der richtigen Schiene bin. Und der letzte hier, Sinus-Satz für den Winkel, den ich suche.

Wenn der Alpha heißt, soll ich, wie soll ich den nennen, ich weiß auch nicht, den Phi, den Winkel, den ich suche. So, dafür den Sinus-Satz. Also ich kriege der Sinus von Alpha durch L, ist der Sinus von Phi durch 3.

Der Sinus von Alpha durch L, gegenüberliegende Seite, ist der Sinus von Phi durch 3. Der Sinus von Alpha durch L ist der Sinus von Phi durch 3. Mich interessiert der Sinus von Phi.

Der ist also, die 3 rüberbringen, 3 durch L mal den Sinus von Alpha. Wir kennen L, das ist Wurzel 23 halbe. Wir kennen Alpha. Alpha ist nämlich der Akus Cosinus von 3 Viertel.

Und was machen Sie nun? Genau, jetzt kommt exakt dieselbe Formel wie eben. Der Sinus vom Akus Cosinus ist lustigerweise Wurzel aus 1 minus dem Quadrat von dem, was im Akus Cosinus steht. Und dann bin ich dabei die Wurzel hier vorne. Schreibe ich dann mal als 2 durch 23 in der Wurzel, mal 3, mal die Wurzel aus 1 minus 9 Sechzehntel.

Den hier aus Buchstabiert 16 Sechzehntel minus 9 Sechzehntel sind 7 Sechzehntel. Also die Wurzel aus 7 Sechzehntel.

Das macht dann Wurzel 7 Viertel im nächsten Schritt. 2 23. mal 3 mal Wurzel 7 Viertel. Jetzt können wir die Wurzel noch zusammenfassen. Wurzel 14 23. mal 3 Viertel.

Ich glaube, das lasse ich jetzt einmal so stehen. Es rettet es allmählich nicht mehr. Und dann zum Schluss gibt es den Winkel. Wie ist gleich der Akus Sinus aus Wurzel 14 23. mal 3 Viertel.

Sollen wir das noch ganz grob überschlagen? Das wird nicht richtig schön. Das wird jetzt 5 Minuten dauern, das zu überschlagen. Da habe ich jetzt auch keine Lust zu.

Sollte man eigentlich tun, aber schenken wir uns das mal. Ach so, die Frage von wegen, was Sie in der Arbeit schreiben sollten. Ich fände es sehr schick, wenn Sie das hier als Endergebnis in der Arbeit haben, wenn Sie sich tatsächlich überlegen, dass der Sinus vom Akus Cosinus zu vereinfachen ist.

Wenn nicht, dann eben nicht. Dann steht hier unten jetzt noch etwas ganz fürchterliches mit dem Sinus vom Akus Cosinus von mir aus. Im wahren Leben würde ich mir tatsächlich jetzt erstmal noch überlegen, ob das denn sinnvoll sein kann, von der Größenordnung her. Ich erwarte ja bei dieser miserablen Skizze hier einen Winkel von 40 Grad oder so.

Was kriegen Sie exakt hier unten raus? Okay, der Taschenrechner sagt 35, irgendwas 35 Grad. Da sollte man vielleicht noch checken, ob das im Prinzip in der Größenordnung liegen kann, vorher schon.

Andere Geschichte ist, ob es zwei Lösungen gibt. Sie sehen aus der Zeichnung, offensichtlich kann es keine zweite Lösung geben. Der Winkel ist eindeutig definiert und das muss dieser hier sein. Es kann nicht der 180 Grad minus 35 Grad sein.

Das ergäbe keinen Sinn. 180 Grad minus 35 Grad, es muss dieser Winkel sein von 35 Grad. Okay, jetzt haben wir mal eine Seitenhalbierende. Das war mal eine alte Seminaraufgabe, das war keine Klausuraufgabe. Wenn Sie das alleine machen hier in der Klausur,

sitzen Sie ja locker eine halbe Stunde an dieser Aufgabe, bis Sie darauf gekommen sind, in welcher Reihenfolge man nun was ausrechnen muss. Also das ist keine einzige Klausuraufgabe. Das wären sozusagen drei Klausuraufgaben hintereinander. Wobei ich nicht dreimal Sinusatz, Cosinusatz hintereinander machen würde. Aber das wäre deutlich mehr als eine Klausuraufgabe.

So, das zu einer Seitenhalbierenden. Ich habe eben schon aufgemalt an diesem extremen Dreieck, dass die Seitenhalbierende im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierende ist. Die beiden nicht durcheinander schmeißen. Die Seitenhalbierende ist zum Beispiel spannend, das will ich noch dazu sagen. Das habe ich vielleicht anderswo schon mal gesagt.

Die Seitenhalbierende ist zum Beispiel spannend, wenn man den Schwerpunkt wissen will. Wenn ich irgendeine dreiecksförmige Fläche habe, und ich interessiere mich dafür, wo der Schwerpunkt liegt, dann liegt er lustigerweise auf der Seitenhalbierenden. Wenn Sie hier die Seitenhalbierende bilden,

wüssten Sie, der Schwerpunkt liegt da drauf. Kann man sich leicht so überlegen, indem man das Dreieck hier in Streifen schneidet, parallel zu der langen Kante hier. Dann sehen Sie, das hier wird praktisch in der Mitte unterstützt. Dieses hier wird praktisch in der Mitte unterstützt. Alle Bretter, aus denen ich das Dreieck gebildet habe, liegen im Gleichgewicht.

Dann wird das ganze Ding auch im Gleichgewicht liegen. Genau, wenn Sie davon ausgehen, wenn Sie sich jetzt noch eine andere Seite nehmen und davon die Seitenhalbierende bauen, nehmen Sie die Seite und bauen Sie von der die Seitenhalbierende,

dann wissen Sie, der Schwerpunkt muss auch auf dieser Linie liegen. Auf dieser Seitenhalbierenden liegen. Sie sehen, da liegt der Schwerpunkt offensichtlich da. Was man dann obendrein auch weiß, der Schwerpunkt muss ja auch auf dieser Linie liegen, der dritten Seitenhalbierenden. Damit weiß man, die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in exakt einen Punkt,

und das ist der Schwerpunkt. So kriegen Sie einen Schwerpunkt. Das ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, aber zur Konstruktion reichen Ihnen zwei, denn die haben ja schon nur einen Schnittpunkt. Da kommen Seitenhalbierende vor.