Ein Integral von 0 bis unendlich x²e hoch minus x dx, das sollte sofort nach partielle Integration schreien. Ein Produkt, den zweiten kann ich gut integrieren, den ersten kann ich ableiten und das Ganze wird hübscher, wenn ich es ableite. Sicherheitshaber nochmal, weil ich das an einer Stelle

gesehen habe. Das Integral eines Produkts ist höchst selten das Produkt der Integrale. Erfinden Sie da keine neue Regel. Sie können nicht einzeln integrieren, genauso wenig wie Sie typischerweise nicht einzeln ableiten können. Die Ableitung eines Produkts ist Produktregel. Bei der

Ableitung geht es schon schief, beim Integral geht es erst recht schief, wenn Sie da versuchen, was mit den Produkten zu mauscheln. Es gibt Spezialfälle, in denen man sowas hinkriegen kann, aber typischerweise nicht. Also hier können Sie nicht einzeln die Stammfunktion bilden. Was offensichtlich will ich den ersten ableiten und den zweiten integrieren?

Wir raten, das muss wohl irgendwas mit e hoch minus x werden. Exponentialfunktion, davon eine Stammfunktion, wird wohl wieder auch so eine Exponentialfunktion werden. Sie rechnen einmal Probe, den ableiten gibt minus e hoch minus x, also brauche ich hier ein Minus um das wieder gut zu machen. Was kriege ich? Ich kriege den Randterm, die beiden

nicht abgeleiteten x, Quadrat mal minus e hoch minus x, was ein langes Minus geworden heute, von 0 bis unendlich. Ich schreibe jetzt mal ganz dreißigste unendlich als Grenze. Sie wissen, was ich meine, eigentlich Grenzwert bilden. Minus das Integral mit vertauschten Rollen, so geht die

spezielle Integration. Randterm, die beiden nicht abgeleiteten, minus das Integral mit vertauschten Rollen, will sagen 2x mal minus e hoch minus x, 2x mal minus e hoch minus x. Hinten kann ich aufräumen, nicht minus

minus, ich schreibe hier mal ganz dreißigste ein Plus und mache das Minus da hinten weg. Den hier kann ich sofort auswerten. Im Grenzwert x Quadrat e hoch minus x für x gegen unendlich, e hoch minus x wird gewinnen gegen das x Quadrat. Es wird 0 werden. Das e hoch minus x schnürt das x Quadrat ab. Wenn

sie nun endlich einsetzen als Grenzwert, kommt 0 raus. Wenn sie 0 einsetzen, steht hier 0 Quadrat mal minus 1, kommt auch 0 raus. Das hier vorne verdünnisiert sich ohne weitere Probleme. Hier hinten mache ich noch mal, spezielle Integration, 2x ableiten, dann habe ich 2, e hoch minus x integrieren,

das hatten wir schon mal, minus e hoch minus x und dann steht da jetzt der Randterm, die beiden nicht abgeleiteten, 2x mal minus e hoch minus x von 0 bis unendlich, wieder so formal hingeschrieben, minus das Integral mit

vertauschten Rollen, 2 mal minus e hoch minus x. Hier kann ich wieder meine Minus loswerden. Die hier vorne wird wieder 0 werden, ähnlicher Grund wie eben. Es bleibt das Integral von e hoch minus x mal 2. Es

bleibt das Integral von e hoch minus x, 0 bis unendlich, mal 2. Lösen sie mit Stammfunktion, wenn sie nicht sowieso wissen, dass das Integral 1 ist. Die Fläche hier unter der abklingelnden Exponentialfunktion,

die wird 1 werden. 2 mal Stammfunktion, die billigste wäre minus e hoch minus x, die haben wir ja nun häufig genug gesehen, von 0 bis unendlich. Wenn sie unendlich einsetzen, e hoch minus unendlich im Grenzwert 0, der macht nichts, also 2 mal, klammerauf, hier oben kriege ich 0.

Jetzt wird es spannend. Minus, ich muss abziehen, was rauskommt, wenn ich 0 einsetze. Was kommt raus, wenn ich 0 einsetze? Minus e hoch minus 0, minus e hoch 0, minus 1 kommt raus, wenn ich 0 einsetze. Das muss ich abziehen. Minus minus 1 ist 2 mal plus 1, ist 2. Das müsste rauskommen. Wenn Sie hier

ein negatives Resultat haben, sollte Ihnen das sofort auffallen, dass da was faul ist, weil diese Funktion ist positiv. Sie integrieren eine positive Funktion von 0 bis unendlich, dann kann sie nichts negatives als Fläche rauskriegen. Es muss positiv werden.