Wir kennen eine Zahl, oder sogar zwei Zahlen, genauer gesagt, wir kennen zwei Zahlen, deren Quadrat gleich minus eins ist. Das ist die Zahl i, das ist die andere Zahl, deren Quadrat gleich minus eins ist. Ich gebe mal einen Tipp, ich gebe mal einen Tipp, es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat gleich vier ist.

Also zwei Zahlen, deren Quadrat gleich vier ist, x gleich zwei, oder, das können Sie jetzt ja schon, x gleich minus zwei, mit einem Äquivalent dazwischen. Und hier z ist gleich i, oder z ist gleich minus i, wir haben zwei Zahlen von der Sorte, nicht nur eine mit Quadrat minus eins, sondern gleich zwei, man kann nie genug davon haben.

Denn wenn Sie minus i quadrieren, muss ich das hinschreiben, er schreibt es jetzt hier, kann ja nicht schaden, minus i mal minus i, wir rechnen Sie minus i mal minus i, minus mal minus gibt plus, i mal i gibt i Quadrat, i Quadrat ist minus eins, minus i Quadrat muss auch minus eins sein. Das ist auch nicht so überraschend, quadratische Gleichungen haben ja gerne mal zwei Lösungen.

Das sehen wir dann später, mit komplexen Zahlen hat jede quadratische Gleichung zwei Lösungen, es kann zufällig passieren, dass es dieselbe ist, aber typischerweise hat jede quadratische Gleichung zwei Lösungen in komplexen Zahlen, hier sehen wir ein Beispiel dafür. Ok, es gibt zwei Zahlen, die das Quadrat minus eins haben, jetzt bestimmen Sie

mal alle Zahlen, die das Quadrat i haben, das ist ja noch lustiger. Auch aus der Zahl i kann ich nun die Wurzel ziehen, bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, deren Quadrat gleich i ist, wenn Sie jetzt ganz irritiert sind, ist das genau das, was ich haben will.

Das ist eine spannende Feststellung, mal gucken, wo die hinführt, wenn Sie beide Seiten quadrieren, muss ja wieder eine wahre Gleichung draus werden, also ich hoffe, ich finde so eine Zahl oder sogar mehrere, ich hoffe natürlich auf zwei Zahlen, deren Quadrat gleich i ist, wenn das möglich ist, müsste ja das Quadrat vom

Quadrat gleich i Quadrat sein, also minus eins, was ist das Quadrat vom Quadrat? Also ich hätte automatisch Zahlen gefunden, deren vierte Potenz gleich minus eins ist, i und minus i haben die Eigenschaft, dass deren Quadrat gleich minus eins ist,

diese Zahl hier z, die ich hier suche, die hat die Eigenschaft, dass die vierte Potenz gleich minus eins ist, z to 4 gleich minus eins ist auch nicht so prickelnd zu lösen, das würde ich mal einklammern, eine spannende Bemerkung, aber das hilft uns noch nicht wirklich weiter. Kann ich irgendeinen Ansatz machen, kann ich das hier in reelle Zahlen überführen?

Wir wissen auch in der Tat z ist nicht Null, denn wenn z Null wäre, wäre das Quadrat Null und das ist nicht i, ich muss Ihnen doch noch ein bisschen mehr Tipps geben, lerne ich, wie sehen komplexe Zahlen aus, das hier sind so prototypische komplexe Zahlen, was weiß ich über komplexe Zahlen, lass das hier mal stehen, was weiß

ich über komplexe Zahlen, was ich jetzt benutzen kann, sie können jede komplexe Zahl schreiben als eine reelle Zahl plus eine reelle Zahl mal i, das muss hinhauen, egal was diese Zahl da ist, egal was diese Zahl z ist, ich muss sie so hinschreiben

können, eine reelle Zahl plus eine andere reelle Zahl mal i, sonst wäre es keine komplexe Zahl, sie muss irgendwie die Form haben, was weiß ich, Wurzel 3 plus Pi mal i und was auch immer, eine reelle Zahl plus eine reelle Zahl mal i, das muss gehen, sonst wäre es keine komplexe Zahl, das ist mein Ansatz, Ansatz kriegen wir später nochmal ganz dick bei Differenzialgleichungen, ich habe eine Vorstellung, wie meine Lösung

im Prinzip aussehen muss und dann versuche ich diese Vorstellung, wie meine Lösung aussehen muss, ein bisschen fein zu tunen, dass es auch wirklich eine Lösung ist, die gesuchte Zahl muss von der Form sein a plus b mal i und jetzt versuchen sie das mal hinzukriegen, das Quadrat aus a plus b mal i soll i sein und jetzt weiß

ich, a ist eine reelle Zahl, b ist eine reelle Zahl, sollte ich dazu schreiben, ganz streng a b Element r, versuchen sie das mal in Gleichungen zu fassen und die Gleichungen zu lösen, was muss a sein, was muss b sein, diesen Ansatz setzen

sie hier oben ein, es muss also a plus b mal i in Klammern ins Quadrat gleich i sein, das folgt daraus, wenn das mein Ansatz ist da um einsetzen, das Quadrat daraus muss i sein, also in Langschrift 0 plus 1 mal i und jetzt überlegen sie sich, wo die 0 herkommt und wo kommt die 1 her, wenn

sie die linke Seite ausbuchstabieren, wo kommt die 0 her und wo kommt die 1 her, dann sind sie schon knapp am Ziel, der Gedanke ist sie wir ziehen das hier vorne aus, binomi a Quadrat plus 2 a b i, 2 mal das

Gemischte und jetzt minus b Quadrat, bei einigen fehlt das Quadrat bei dem b, e Quadrieren b Quadrieren, e Quadrieren gibt das minus b Quadrieren, so das steht auf der linke Seite und jetzt gucke ich, wo die 1 herkommt und wo die 0

herkommt, a Quadrat ist eine reelle Zahl, a war eine reelle Zahl, a Quadrat ist eine reelle Zahl, da steckt kein i drinnen, b Quadrat ist eine reelle Zahl, da steckt auch kein i drin, die einzige Chance ein i zu kriegen ist das hier in der Mitte, 2 mal eine reelle Zahl mal i, nur so kann das i zustande

kommen, also weiß ich was hier vor dem i steht, das ist diese 1 und nichts anderes, das wäre die Begründung, diese 2 a b vor dem i muss die 1 sein, es kann nirgends woanders herkommen, a Quadrat ist eine Gleichung, also habe ich eine Gleichung gefunden, 2 a b ist gleich 1, das muss

erfüllt sein, damit da die 1 steht, die 0 will ich auch noch haben, wo kommt die 0 raus, 2 a b ist eine reelle Zahl mal i, da ist beim besten Willen nichts Reales drinnen, a Quadrat minus b Quadrat, da kommt die 0 raus,

zweite Gleichung, a Quadrat minus b Quadrat, das ist meine zweite Gleichung, das war anscheinend noch sehr wie das Kaninchen aus dem Zylinder, ich muss noch mal erklären wieso ich das jetzt aufspitten kann, ich splitte das hier in den grünen Realteil und den roten

Imaginärteil, vielleicht ist am besten, wenn sich die komplexen Zahlen noch mal als Vektoren klar machen, wenn ich die komplexen Zahlen habe, 2 plus 3 mal i, kann ich die ja auch einzeichnen in der komplexen

Zahlenebene, Realteil, Imaginärteil, das wäre die als Pfeil, 2 plus 3 mal i, das wäre die als Pfeil und wenn zwei komplexe Zahlen gleich sein sollen,

dann müssen der Realteil und der Imaginärteil übereinstimmen, sonst haben sie nicht die selben Pfeile, wenn nur der Realteil übereinstimmt, so was, wenn nur der Realteil übereinstimmt, reicht mir das nicht, es muss der Realteil und der Imaginärteil, beide müssen übereinstimmen, das grüne und

das rote sozusagen, das ist Gleichheit zweier komplexer Zahlen, es müssen zwei Sachen auf einmal gleich sein, das wir hier oben ja auch die ganze Zeit ausgerechnet haben, mit dem Gleichheitszeichen, hier steht auf der linken Seite was, eine reelle Zahl plus eine reale Zahl mal i, das ist 22 plus 7i, also weiß ich, beide Zahlen, der Realteil und der Imaginärteil,

beide müssen übereinstimmen, der Realteil von dem Ding hier ist 22, der Imaginärteil von dem Ding ist 7, wie bei einem Vektor, wenn sie die gleiche zweier Vektoren haben, keine Ahnung, sowas wie x, y gleich u, v, zwei Vektoren gleich, wann sind zwei Vektoren gleich, genau dann wenn die x

Koordinaten gleich sind und wenn die y Koordinaten gleich sind, es muss alles übereinstimmen, nicht nur eine Komponente, das mache ich bei den komplexen Zahlen dann auch, wenn ich das in Zahlen so hinschreibe mit Real- und Imaginärteil, ich prüfe, dass die Realteile gleich sind und die Imaginärteile gleich sind, genau das steckt hier hinter, wenn das Quadrat

von dieser Zahl gleich i ist, weiß ich, dieses Quadrat muss den Realteil 0 haben und den Imaginärteil i haben, jetzt lesen sie hier ab, was Realteil und Imaginärteil sind, der Imaginärteil ist alles, was mit i steht, eine reelle Zahl mal i, hier habe ich eine reelle Zahl mal i, das ist

ohne i eine reelle Zahl und das ist ohne i eine reelle Zahl, das heißt, dieses 2ab ist mein Imaginärteil, das muss die 1 sein, sonst können die nicht gleich sein und hier die Zahlen ohne i, a Quadrat minus b Quadrat, das muss mein Realteil sein, also 0 sein, sonst können diese Zahlen und diese Zahlen nicht gleich sein, wenn sie also eine Gleichung in komplexen

Zahlen hinschreiben, haben sie eigentlich zwei Gleichungen auf einmal hingeschrieben, das hat man eigentlich schon bei den Vektoren so ähnlich gesehen, dass sich Vektor-Gleichungen in gleiche Systeme zerlegen kann, dasselbe passiert bei den komplexen Zahlen, wenn sie eine Gleichung für komplexe Zahlen haben, heißt das, Realteil stimmt und Imaginärteil stimmt, das sind zwei Gleichungen auf einen Schlag, jetzt habe ich viel erzählt,

warum sage ich, dass das 0 plus 1 i ist und das auszubuchstabieren, was dieses i ist, auch dieses i kann ich erst schreiben als reelle Zahl plus reelle Zahl mal i, dieses i schreibe ich als reelle Zahl plus reelle Zahl mal i, i selbst ist auch eine komplexe Zahl, i ist nicht nur ein Hilfsmittel um

komplexe Zahlen zu schreiben, i ist ja selbst auch eine komplexe Zahl und die schreibe ich dann, wenn ich sie unbedingt schreiben will in der Form als 0 plus i mal 1, sie können, das muss ich vielleicht nochmal ausführlich sagen, zum Beispiel die Zahl Pi, die reelle Zahl Pi ist auch eine komplexe Zahl, wenn sie die Zahl Pi ganz streng als komplexe Zahl

schreiben, wie schreiben sie die? Das sieht total bescheuert aus, aber das zeigt, dass die reellen Zahlen alle auch komplexe Zahlen sind, sie schreiben die als Pi plus 0 mal i, dann haben sie eine komplexe Zahl, eine reelle Zahl plus eine reelle Zahl mal i, so haben sie die reelle Zahl Pi als

komplexe Zahl geschrieben, jede reelle Zahl, bei Pi ein blödes Beispiel, nehmen wir 42, das ist ein picturesauses Beispiel, 42 schreiben sie als 42 plus 0 mal i, dann ist sie in der Form a plus b mal i, also definitiv eine komplexe Zahl, jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, netterweise ist auch die Zahl i eine komplexe Zahl, das würde ja sonst ein bisschen ärgerlich, i ist gleich 0

plus 1 mal i, jetzt sehen sie, dass die Zahl i also definitiv eine komplexe Zahl ist, lässt sich auch in der Form schreiben, reelle Zahl plus reelle Zahl mal i, das benutze ich hier aus, die Zahl i kann ich schreiben als 0 plus 1 mal i, und jetzt vergleiche ich Realteil und Imaginärteil, beide müssen

stimmen, die beim Vektor x und y stimmen müssen, und das ist ja lustigerweise x und y, wenn sie in die gaussische Zahlenebene, brauche ich sie, wenn sie in die gaussische Zahlenebene gehen, sind ja Realteil und Imaginärteil in der Tat x und y,

zwei Gleichungen, gewonnen aus einer Gleichung für komplexe Zahlen, das macht man nachher nicht, dass man diese Zahl i ausbuchstabiert, nachher ist klar, ich muss i rauskriegen, wo kann ich ein i herkriegen, da kann ich das i herkriegen aus dem rot eingekrängelten und aus dem grün eingekrängelten kann ich

kein i herkriegen, das muss 0 werden, das war jetzt vielleicht ein bisschen überkandidelt hingeschrieben, aber das ist offiziell dann die Schreibweise der Zahl i als komplexe Zahl, Realteil und Imaginärteil sind das, was sie in der gaussischen Zahlenebene auf den Achsen eintragen, hier trage ich die 2 ein, da trage ich die 3 ein, ohne dass ein i dabei steht,

wie x, y beim Vektor, ohne ein i, die Zahlen nenne ich dann nicht den Vektor 2 nach rechts 3 nach oben, sondern ich nenne die Zahl 2 plus 3 mal i, das i gehört nicht zum Imaginärteil, definitiv nicht, der Imaginärteil ist

nur die reelle Zahl vor dem i, wie viel i habe ich, wie weit gehe ich nach oben in der gaussischen Zahlenebene, so können sie es ja auch lesen, wenn sie das hier nehmen, gehe in der gaussischen Zahlenebene 2 nach rechts und 3 nach oben und dieses i sagt, okay nach oben, weil das noch so ein bisschen unter ist, würde ich sagen, erzähle ich gleich noch ein bisschen was zu Imaginärteil und

Realteil, ich würde jetzt aber gerne diese Aufgabe hier zu Ende bringen, soweit ist ja formal erst mal unertfechtbar, wenn ich fordere, dass der Realteil links und rechts gleich ist und der Imaginärteil links und rechts gleich ist, komme ich auf diese beiden Gleichungen, jetzt versuchen sie die

beiden Gleichungen mal zu lösen, das sind ja Gleichungen für reelle Zahlen, zwei Gleichungen für zwei reelle Zahlen, keine linearen Gleichungen, aber zwei Gleichungen für zwei reelle Zahlen, das sollte gehen, die Frage ist, was ist die reelle Zahl a, was ist die reelle Zahl b, beziehungsweise es gibt ja gleich zwei von der Sorte, das ist ja nicht leicht, aber wir lernen

einiges nebenbei über Gleichungen, insbesondere aus der zweiten Gleichung folgt nicht sofort, dass a gleich b ist, da sind einige versucht das sofort hinzuschreiben, nicht direkt, man muss ein bisschen mehr Gehirnschmalz reinstecken, das haut nicht hin, das ist nur der Betrag von a gleich den

Betrag von b, nur mit der zweiten Gleichung, nehmen sie folgendes Beispiel, minus 3 ins Quadrat, minus 3, a ist gleich minus 3, b ist gleich plus 3, 9 minus 9, wird auch 0, also was sie wissen mit der zweiten

Gleichung zunächst, mit der zweiten Gleichung ist nur, dass die Beträge von a und b dieselben sind, das Quadrat von a ist gleich dem Quadrat von b, das heißt nicht erst mal, dass a gleich b ist, sondern nur, dass die Beträge gleich sind, aber jetzt kommt noch die erste Gleichung dazu und jetzt kann ich tatsächlich sagen, wenn ich beide benutze, dass a gleich b ist, sehen sie

ein Argument, wie sie mit der ersten Gleichung sagen können, dass die beiden dasselbe Vorzeichen haben müssen, in der Tat ein Fall für Sherlock Holmes, das Produkt der beiden muss positiv sein, 2ab ist gleich 1, das Produkt der beiden ist positiv, wenn a negativ wäre und b positiv, wäre das Produkt

negativ, wenn a positiv und b negativ wäre, wäre das Produkt negativ, das Produkt ist nur dann positiv, wenn beide negativ sind oder beide positiv sind, also weiß ich aus der roten Gleichung, aha die beiden haben nicht nur denselben Betrag, sie haben auch dasselbe Vorzeichen, sie

sind wirklich gleich, was folgt aber nicht direkt aus der zweiten Gleichung, das folgt nur mit der oberen Gleichung zusammen, das ist schon raffiniert, das ist wahrscheinlich eine Geschichte, die so in der Schule nicht so als als Begründung dran kommt, jetzt aber noch mal hier unten, unten lesen sie ab, das Quadrat von a ist das Quadrat von b, das sagt ihnen

aber noch nicht, dass es dieselben Zahlen sind, sondern nur dass sie dieselbe Länge haben, denselben Betrag haben, jetzt wissen sie aber obendrein, dass das Produkt eine positive Zahl ist, das sind beide negativ, minus mal minus gibt plus oder beide sind positiv, auch das gibt plus, plus mal plus gibt plus, aber sie haben nicht gemischte Vorzeichen, sie haben also denselben Betrag und

dasselbe Vorzeichen, schön dann sind sie gleich, jetzt haben wir a gleich b und dann ist der Rest ziemlich einfach, a gleich b, setzen sie in die erste Gleichung wieder ein, meine Folgepfeile sind etwas wie, das bringen sie zusammen, a gleich b und 2ab gleich 1, dann wissen sie, dass

2a Quadrat gleich 1 ist, für a setzen sie b ein, 2 mal a mal a ist gleich 1 und wenn 2a Quadrat gleich 1 ist, weiß ich, a ist gleich 1 durch Wurzel 2, nicht ganz, was steht noch, genau an der Stelle in die Schlampe, plus

minus, sowas sorgt immer für Probleme im weiteren, gucken sie wirklich was alle Lösungen sind, plus minus 1 durch Wurzel 2, wenn sie plus 1 durch Wurzel 2 quadrieren, 1 Quadrat durch Wurzel 2 Quadrat, gibt ein halb mal 2 ist 1, wenn sie minus 1 durch Wurzel 2 quadrieren, 1 Quadrat durch

Wurzel 2 und so weiter und so weiter, klar, kommt beides mal 1 raus, das sind meine beiden Lösungen, die ich dann kriege, also weiß ich, z ist gleich, die Zahl z, die ich da suche, ist, wenn sie überhaupt irgendetwas ist, 1 durch Wurzel 2 plus, b

ist ja dasselbe, 1 durch Wurzel 2 mal i oder z ist gleich 1 durch Wurzel 2, minus 1 durch Wurzel 2, minus 1 durch Wurzel 2 mal i, meine Begründung ist jetzt eigentlich hier noch so ein bisschen löchrig, was habe ich jetzt

eigentlich nicht ganz sauber gemacht, das muss ich noch ein bisschen besser erklären, wo ich da geschlammt habe, ich habe folgendes gezeigt, wenn es eine komplexe Zahl gibt, deren Quadrat gleich i ist, wenn es eine komplexe Zahl gibt, deren Quadrat gleich i ist, dann muss diese Zahl so aussehen und

sie kann nicht anders aussehen, was ist daran eigentlich jetzt noch nicht wirklich fertig, was ich bisher weiß, korrekt, was ich bisher weiß, ist dass die Zahl, wenn es sie gibt, vorgemerkt, wenn es die Zahl gibt, ist es diese

oder diese, ich habe aber noch nicht gezeigt, dass diese Zahl es auch tut, also man muss eigentlich noch Probe rechnen, an dieser Stelle ist es eigentlich klar für den eingeweihten Beobachter, dass das hinhauen muss, aber streng müsste ich noch Probe rechnen, diese Zahl quadrieren und i rauskriegen und die

Zahl quadrieren, dass sie i rauskriege, können sie zu Fuß machen, zu Hause machen, haben sie eine kleine Übung, das haut tatsächlich hin, das müsste ich eigentlich noch tun, ich habe nur hergeleitet, wenn es eine Zahl gibt, deren Quadrat gleich i ist, dann ist diese Zahl eins durch Wurzel zwei und eins durch Wurzel zwei i oder sie ist

minus eins durch Wurzel zwei minus eins durch Wurzel zwei i, aber ich habe nicht streng bewiesen, dass diese Zahlen es auch wirklich tun, ich habe nur gezeigt, dass es nur so was sein kann, wenn es überhaupt irgendwas ist, das ist schon ein bisschen raffinierter, also eigentlich gehört sich hier noch eine Proberechnung.