Eine Nummer schwieriger. Wieder ein Bruch. Oben steht n hoch 3 minus Sinus von n plus 2 hoch n. Und unten steht die Wurzel aus n hoch 7 plus 5. Was macht das Ding für n gegen unendlich?

Also, das haben Sie jetzt gesehen, Ingenieur-mäßig gewinnt oben die 2 hoch n und unten die n hoch 7. Wenn ich das mal so schreibe, im Endeffekt steht hier was wie 2 hoch n durch die Wurzel aus n hoch 7.

Und dann ist klar, das geht gegen unendlich. 2 hoch n gewinnt über jede Potenz. Am Donnerstag sage ich noch ein bisschen mehr dazu. Die offizielle Begründung, warum die Exponentialfunktion gegen jede Potenz gewinnt. Wir haben es teilweise am Taschenrechner gesehen. Wenn Sie 2 hoch 1000 haben, 2 mal 2 mal 2 mal 2, 1000 Mal hintereinander geschrieben.

Und das verglichen zum Beispiel mit 1000 hoch 3, 1000 mal 1000 mal 1000. Ich hoffe, dass es auch ohne offizielle Begründung nicht ganz unlogisch ist, dass 2 hoch n extrem viel schneller wächst als n hoch 3.

Am Donnerstag nochmal die offizielle Begründung, warum das der Fall ist. Also der führende Termin im Zähler ist in der Tat 2 hoch n. Das jetzt nochmal offiziell begründet. Das ist hier ein bisschen schwierig, streng zu begründen mit dem Grenzwertsetzen.

Ich würde folgendes machen, das hatte ich jetzt an einer Stelle auch schon gesehen. Der Zähler besteht hier hübsch aus drei Summanden. Wir können einfach diesen Bruch mal auseinander nehmen. Wenn Sie so einen Bruch haben, 1 plus 2 durch 3, dann können Sie den auseinander nehmen.

Aber wenn Sie so einen Bruch haben, 1 durch 2 plus 3, dann können Sie den bitte nicht auseinander nehmen, bevor da irgendwelche Missverständnisse auftauchen. Ich habe im Zähler eine Summe, das kann ich auseinander nehmen. Dann steht da n hoch 3 durch die Wurzel n hoch 7 plus 5 minus den Sinus durch die Wurzel aus n hoch 7 plus 5 und zum Schluss die 2 hoch noch was.

2 hoch noch was durch die Wurzel n hoch 7 plus 5. Jetzt kann man sich ja mal jeden Term einzeln angucken.

Den Vorschlag fangen Sie mit dem inneren Term an. Was passiert mit Sinus durch Wurzel usw., das können Sie mit Grenzwertsetzen hinkriegen. Was mit dem passiert, dann gucken Sie sich den ersten Term an. Was mit dem passiert. Tipp, versuchen Sie mal diesen ersten Term so umzuformen, dass Zähler und Nenner nicht beide gegen endlich gehen.

Hier steht ja wieder im Prinzip unendlich durch unendlich, das ist nicht lustig. Probieren Sie da was hinzukriegen, dass da nicht unendlich durch unendlich steht, sondern z.B. eins durch irgendetwas. Dann kann man mit Grenzwertsetzen besser dran. Wäre eine Möglichkeit, den hier vorne ein bisschen umzuformen. Und den hier hinten gucken Sie sich als letztes an.

Vielleicht lässt sich das noch eine Nummer hübscher machen, dass Sie unten sagen können, was die wesentliche Potenz ist. Aber fangen Sie mit dem mittleren an. Sinus durch die Wurzel mit Grenzwertsetzen. Okay, der mittlere. Ich habe hier im Nenner etwas stehen, was gegen endlich geht.

N hoch 7 geht gegen unendlich, weil N gegen unendlich geht. N hoch 7 geht gegen unendlich. Jetzt hatte ich noch 5 dazu, dann habe ich weiterhin etwas, was gegen unendlich geht. Daraus die Wurzel. Die Wurzel aus etwas, was gegen unendlich geht, geht auch gegen unendlich. Hier unten, das geht gegen unendlich. Bestimmt divergent, wie es so schön heißt.

Es wächst über alle Grenzen und kommt nicht zurück. Und hier oben, der Sinus, ist eine beschränkte Folge. Der Sinus, nur hier an den ganzen N ausgewertet. Der Sinus bleibt immer zwischen minus 1 und plus 1. Eine beschränkte Folge. Dafür gibt es einen Grenzwertsatz.

Eine beschränkte Folge durch eine bestimmt divergente Folge wird ein Grenzwert haben. Konvergieren gegen Null nämlich. Was soll auch sonst passieren? Der erste ist ein bisschen schwieriger, wenn man den genau begründen will. Wenn man den streng begründen will. Eine Art, hier den ersten um zu formen, ist mit N hoch 3 zu kürzen.

Dann steht da, durch N hoch 3 kürzen. Oben steht 1 durch. Und im Nenner haben wir Wurzel N hoch 7 plus 5 durch N hoch 3. Und jetzt kann ich dieses N hoch 3 in die Wurzel reinbringen.

Wie bringen Sie das N hoch 3 in die Wurzel? Genau, das N hoch 3 kommt als N hoch 6 in die Wurzel rein. N hoch 7 durch N hoch 6 plus 5 durch N hoch 6. Das steht in der Wurzel. Jetzt kann man streng sehen, was in der Wurzel passiert.

Was ist mit 5 durch N hoch 6? Was passiert mit 5 durch N hoch 6, wenn N über alle Grenzen wächst? Genau, der wird gegen Null gehen. Eine feste Zahl durch eine Folge, die bestimmt divergent ist. Die über alle Grenzen wächst. Das wird gegen Null gehen.

Hier vorne, was wird der tun? N hoch 7 durch N hoch 6. N hoch 7 durch N hoch 6 gibt N. Wir wollen wissen, was passiert, wenn N gegen unendlich geht. Das geht gegen unendlich. Unter der Wurzel habe ich also etwas, das gegen unendlich geht.

Die Wurzel aus etwas, das haben wir gerade schon, die Wurzel aus etwas, was gegen unendlich geht, geht auch gegen unendlich. Jetzt habe ich dann insgesamt den Kehrwert von etwas, was gegen unendlich geht. Eine beschränkte Folge, wenn Sie so wollen. Das ist ja auch eine Folge. Eine beschränkte Folge durch eine bestimmt divergente Folge.

Grenzwertsatz, das wird gegen Null gehen. Das ist jetzt natürlich eine total langweilige Herleitung für etwas, was man sowieso schon wusste. Aber das wäre die strenge Art, wie man es begründen kann. Wird man in der Praxis nicht so tun, man wird sich dieses Ding hier angucken und sehen, oben N hoch 3, unten im Prinzip N hoch 7.

Daraus die Wurzel. Unten steht im Prinzip N hoch 7,5. N hoch 3,5. Der Nenner wird gewinnen. Das hier wäre die strenge Begründung mit Grenzwertsetzen. Also was haben wir bisher? Ich habe die ersten beiden hier im Zelt erledigt. Die führen zu Ausdrücken, die gegen Null gehen.

Der letzte hier ist etwas schwieriger. Beim letzten könnte ich mir sowas vorstellen, das ist vielleicht ein bisschen abgedreht. Dass man sagt, wir klammern unten mal die N hoch 7 aus.

Wenn Sie unten aus der Wurzel die N hoch 7 rausnehmen, dann haben Sie außerhalb der Wurzel N hoch 7,5 mal 1 plus 5 durch N hoch 7. So, jetzt habe ich hier in der Wurzel 5 durch N hoch 7 geht gegen Null. 1 plus 5 durch N hoch 7 geht gegen 1. Die Wurzel aus 1 plus etwas, was gegen Null geht,

diese Wurzel hier, wird gegen 1 gehen. Und jetzt sehe ich, was die wichtigen Ausdrücke sind. 2 hoch N durch N hoch 7,5. Das ist der wichtige Ausdruck, wussten wir eben schon. Es ist asymptotisch etwas wie 2 hoch N durch N hoch 3,5.

Und davon weiß man, Exponentialfunktion durch Potenzfunktion Exponentialfunktion gewinnt. Das mache ich am Donnerstag nochmal ordentlich, dass Sie es mir auch wirklich glauben, aber schon anschaulich ist klar, wie 2 hoch N wird gewinnen. Also da vertröste ich Sie. Das wird unendlich werden, was wir schon wussten.

So könnte dann die offizielle Begründung ablaufen, die wie gesagt viel zu kompliziert ist, als dass man sie in der Praxis so machen würde. Wenn so etwas aufgabentechnisch drankäme in einer Klausur, wäre mir lieb, wenn Sie sagen, im Zähler ist offensichtlich 2 hoch N der führende Term und im Männer N hoch 7 der führende Term.

Daraus die Wurzel. Und im Unendlichen wird die 2 hoch N dafür sorgen, dass das ganze bestimmt divergent gegen plusunendlich ist. Wenn Sie Teile dieser Herleitung in Anführungszeichen haben, wäre mir das lieber, aber mir würde es so etwas händewedend reichen, weil diese Herleitung macht keiner im wahren Leben.

Die kann helfen, wenn Sie nicht wissen, was denn wirklich passiert. Deshalb machen wir es heute mal.