Das war ein bisschen gewagt. Das war früher mal eine Aufgabe in Bremen. Da hatten wir ein bisschen mehr Mathematik bis dahin schon. Das war ein bisschen gewagt. Aber trotzdem vielleicht hilfreich, um sich noch mal den Euler klar zu machen. Den Sinus von sieben Phi, vom siebenfachen eines beliebigen Winkels,

den hätte ich gerne ausgedrückt mit e hoch i Phi und e hoch minus i Phi. Eine Formel, in der e hoch i Phi vorkommt, e hoch minus i Phi, sonst nichts, was von Phi abhängt. Und was rauskommen soll ist Sinus von sieben Phi für alle Winkel. Dass Sie noch mal in Aktion sehen, dass man die üblichen Winkelfunktionen tatsächlich alle hübsch durch dieses e hoch i Phi ersetzen kann.

Es geht natürlich los mit Euler. e hoch i Phi ist gleich Cosinus Phi plus i Sinus Phi. Ich brauche auch e hoch minus i Phi. Wenn das für alle Winkel Phi gilt, geht es natürlich auch für minus Phi.

Sie setzen überall minus Phi ein. Cosinus von minus Phi plus i Sinus von minus Phi. Und das habe ich eben gelernt. Das vielleicht noch mal klar machen. Der Cosinus ist eine gerade Funktion. Wenn Sie den Cosinus von minus 40 Grad haben wollen,

können Sie stattdessen den Cosinus von plus 40 Grad ausrechnen. Das gibt dasselbe. Cosinus von minus einem Winkel ist gleich Cosinus von plus einem Winkel. Das wende ich hier an. Das Minus vor dem Winkel können Sie vergessen beim Cosinus. Eine gerade Funktion. Beim Sinus ist es gerade umgekehrt. Der Sinus ist eine ungerade Funktion.

Der Sinus von minus 40 Grad ist minus der Sinus von plus 40 Grad. Wenn ich da ein Minus im Sinus habe, kann ich das Minus rausholen aus dem Sinus. Der Sinus vom negativen Winkel ist minus der Sinus vom positiven Winkel. Eine ungerade Funktion.

Gibt mir also hier Cosinus von Phi minus i Sinus von Phi. Da habe ich jetzt plötzlich Klammern stehen. Da oben hatte ich keine. Vielleicht brauche ich da auch Klammern hin. So, das sind meine Zutaten. Ich möchte aber den Sinus haben. Und jetzt sehen Sie, dass Sie hier den Sinus raus distillieren können.

Wenn Sie die beiden voneinander abziehen. E hoch i Phi minus E hoch minus i Phi. Die beiden voneinander abziehen, dann fliegt der Cosinus raus. Und Sie haben i mal den Sinus. Minus. Minus. i mal den Sinus ist 2i mal der Sinus. Und damit kriege ich den Sinus aus buchstabiert. Der Sinus ist also für jeden Winkel die Differenz.

E hoch i Phi minus E hoch minus i Phi durch 2i. Soweit das. Jetzt wollte ich aber den Sinus vom siebenfachen Winkel haben. Den Sinus vom siebenfachen Winkel.

Na ja, wenn das hier für jeden Winkel gilt, dann gilt es auch für siebenfache von jedem Winkel. Also Sie setzen 7 Phi ein. Es ist also der Sinus von 7 Phi. Gleich. E hoch i mal 7 Phi minus E hoch minus i mal 7 Phi durch 2i für alle Winkel Phi.

Letzter Schritt. Hier steht die Potenz einer Potenz. So was hätten wir 2 hoch 3 mal 4. Das ist 2 hoch 3 hoch 4. Die Potenz einer Potenz gibt ein Produkt der Exponenten. 3 Faktoren 4 mal hintereinander geschrieben sind 12 Faktoren.

Das ist die Regel hier. Ich kann die 7 noch rausziehen. Es macht also durch 2 i Blätter stehen. E hoch i mal Phi hoch 7 minus E hoch minus i Phi hoch 7.

Und das ist was ich haben wollte. E hoch i Phi. E hoch minus i Phi in einer Formel, aus der der Sinus 7 mal Phi rauskommt für alle Winkel. Sie könnten es sogar noch weiter vereinfachen. Sie könnten diese Formel sogar nur mit E hoch i Phi schreiben.

Wie kriegen Sie das hin? So eine Formel, aber nur mit E hoch i Phi. Kein E hoch minus i Phi mehr. Minus 7 klammern Sie da aus. Genau. Sie sehen hier oben ging ja auch die minus siebte Potenz. Das wäre ganz raffiniert. E hoch i Phi hoch 7 minus E hoch i Phi hoch minus 7.

Der Kehrwert der siebten Potenz. Oder die siebte Potenz vom Kehrwert. Dann käme sogar nur E hoch i Phi vor. War ein bisschen Bastelai einfach mal mit der Eulerischen Identität.