eine Funktion, eine rationale Funktion nach Steckbrief. Ich suche eine rationale Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften. Sie hat eine Polstelle bei x gleich 3. Sie hat eine Nullstelle

bei x gleich 2. Und sie hat für x gegen plus minus, wie schreibe ich das mal, eine Asymptote für x gegen plus minus unendlich

von von von y ist gleich x halbe minus 4. Suchen Sie mal irgend so eine Funktion, irgendeine von der Sorte. Um die einfachste Funktion von der Art zu finden, ich schreibe mal zum Beispiel,

würde ich so was machen, f von x ist gleich, ich schreibe einfach die Asymptote hin, x halbe minus 4. Und dann brauche ich ja irgendwas, was im unendlichen gegen null geht, damit diese Asymptote erhalten bleibt. Aber das soll gleichzeitig hier noch eine Polstelle produzieren. Hier vorne, das produziert ja keine Polstelle, deshalb probiere ich sowas, wie plus irgendwas durch x minus 3.

Sowas. So habe ich eine Polstelle produziert, an der richtigen Stelle. Ich habe die Asymptote produziert, wenn, wenn dieses Ding hier im unendlichen gegen null geht, weil dann nur noch dieser Term übrig bleibt, mit der Nullstelle, das haut auch noch nicht hin.

So, jetzt muss man sich überlegen, dieses hier soll im unendlichen gegen null gehen. Was wissen Sie über den Zähler, wenn das im unendlichen gegen null gehen soll? Also hier oben darf nur noch eine Konstante stehen.

Wenn hier oben ein x stünde eine Million durch eine Million minus 3 oder eine Million mal 42 durch eine Million misstreift, würde das nicht gegen null gehen, wenn hier ein x² stünde, schon mal gar nicht. Die einzige Chance ist, dass da eine Konstante steht, eine Konstante durch x minus 3. So, was habe ich jetzt erreicht?

Ich habe die richtige Asymptote, weil die hintere Auße gegen null geht, wenn x gegen plus minus endlich geht, die richtige Asymptote. Ich habe die richtige Polstelle hier eingebaut mit x minus 3, wenn die Konstante nicht null ist, natürlich. Wenn die Konstante nicht null ist, habe ich ja die Polstelle eingebaut. Jetzt sorgen Sie noch dafür, dass die Nullstelle klappt, dann haut das hin.

Und falls Sie das schon haben, denken Sie sich eine zweite Funktion aus, die auch die alle drei erfüllt. Der Schritt war überraschend einfach, wenn ich zwei einsetze, soll null rauskommen. Ich möchte, dass null ist gleich, die Funktion an der Stelle zwei ist also zwei durch

zwei eins minus vier plus die unbekannte Konstante durch zwei minus drei, also durch minus eins. Minus drei minus meine Konstante muss null sein. Das heißt, die Konstante ist minus drei. Da setzen Sie minus drei ein.

Ich trage hier mal das Ergebnis ein, minus drei. Es gibt unendlich viele weitere Funktionen, die das können. Aber was nicht geht, das war gerade ein Vorschlag, was nicht geht, ist, dass Sie das potenzieren. Wenn Sie das potenzieren, haben Sie ja unendlich ein anderes Verhalten. Das haut nicht hin. Die Asymptote wird baden gehen.

Also potenzieren geht leider nicht, aber es gibt viele andere Möglichkeiten, noch weitere Funktionen anzugeben, die dasselbe Verhalten haben, was diese drei Angaben angeht. Eine einfache weitere Möglichkeit ist eine doppelte Polstelle, eine Polstelle zweiter Ordnung. Ich versuche sowas.

Die Asymptote stimmt und ich schreibe hier einfach mal x minus drei Quadrat in den Nenner. Dann stimmt immer noch die Polstelle, wenn hier ich oben nicht zufällig x minus drei sonst wieder weghebe. Aber typischerweise wird jetzt die Polstelle immer noch stimmen. Es ist jetzt eine Polstelle zweiter Ordnung.

Aber immer noch eine Polstelle. Und da müsste ich jetzt hier oben wieder was hindichten, was die richtige Nullstelle erzeugt. Was dürfte hier oben jetzt stehen im Zähler von dem letzten?

Wir einigen uns auf plus drei. Einmal nachrechnen. Ich setze zwei ein. Zwei soll die Nullstelle werden. Zwei durch zwei ist eins minus vier plus. Und hier haben wir drei durch. Unten steht zwei minus drei. Minus eins Quadrat ist eins.

Minus drei plus drei macht null. Ja, das würde es auch bringen. Also eine weitere Funktion mit dieser Polstelle, dieser Nullstelle und derselben Asymptote. Was hätte ich hier oben alles noch im Zähler ausprobieren können, außer der drei?

Richtig. Oben könnte noch x vorkommen. Also wenn ich oben kein x habe, dann muss da eine drei stehen. Aber oben könnte ja noch x vorkommen. A mal x plus B. Ich teile unten durch x Quadrat. Es wird ja immer noch gegen null gehen. Also ich könnte was haben wie A mal x plus B. Dieses B wird dann natürlich im Zweifelsfall nicht mehr drei sein.

Das hängt von dem A. Ich könnte mit A und B so rumspielen, dass ich wieder eine Nullstelle kriege. Aber wir lassen uns mal bei der drei. So, und noch eine Möglichkeit. Zu meinem ersten Fund könnte ich was addieren, was mir nicht die Asymptote, nicht die Polstelle, nicht die Nullstelle kaputt macht.

Was könnte ich hier noch addieren? Also hier kann ich eine beliebige Funktion addieren, die eine Nullstelle bei zwei hat.

Dann geht diese Nullstelle nicht kaputt. Diese Funktion muss eine Asymptote y gleich null haben, um diese Asymptote nicht kaputt zu machen. Also die muss dann irgendwie so aussehen. Bei zwei hat sie eine Nullstelle und sie muss als Asymptote y gleich null haben. Man müsste ein bisschen vorsichtig sein bei Polstellen. Die Polstellen sollten sich nicht gegenseitig wegheben.

Insofern Vorsicht. Am besten hier mal eine Funktion ohne Polstelle mit einer Nullstelle bei zwei und Asymptote gleich der x-Achse. Da könnte man sowas angeben. Keine Polstelle, eine Nullstelle bei zwei und die Asymptote nach links und rechts ist die x-Achse.

Ich schreibe die Bedingungen nochmal hin. Also ich hätte gerne eine Funktion ohne Polstelle, eine rationale Funktion ohne Polstelle, eine Nullstelle bei x gleich zwei.

Und als Asymptote für x gegen plus minus unendlich hätte ich gerne y gleich null, die x-Achse. Eine Funktion mit diesen Eigenschaften, die darf ich da hinten drauf addieren und ich mache nichts kaputt.

Geben Sie mal irgend so eine Funktion an. Und nicht einfach null. Was besseres als null. Natürlich eine Nullstelle bei zwei, gut aufgepasst. Eine Nullstelle bei zwei, damit ich das nicht kaputt mache. Ich möchte eine rationale Funktion und wenn die eine Nullstelle bei x gleich zwei haben

soll, dann wäre ja das einfachste, dass ich sowas schreibe wie x minus zwei durch. Und unten darf dann nicht mehr zwei als Nullstelle auftauchen, sonst komme ich ja in Probleme rein. Dieses Ding soll jetzt eine Asymptote haben bei y gleich null. Das heißt

der Nenner muss sozusagen den Zähler erschlagen, damit als Asymptote y gleich null rauskommt. Das heißt ich brauche unten irgendetwas mit x², damit für sehr große x das zu null wird und für sehr negative x das zu null wird. Jetzt habe ich die Asymptote erledigt, ich habe die Nullstelle erledigt, Polstelle. Dieses

Ding hier soll keine Polstelle haben. Machen Sie einen Vorschlag für den Nenner. Ja, so x² plus 42, natürlich. Jetzt habe ich hier hinten eine rationale Funktion, die keine Polstelle hat. Ich teile ihn irgendwann durch null. Die hat garantiert keine Polstelle.

Manchmal kann es ja passieren, dass man noch etwas kürzen kann. Null gegen Null. Gleichzeitige Nullstellen von Zähler und Nenner. Hier wird der Nenner sowieso schon mal nicht null, also garantiert keine Polstelle. Ich habe garantiert eine Nullstelle bei zwei.

Und ich sehe die Asymptote ins Unendliche x, x², der geht auf die x -Achse zu. Also hier habe ich eine weitere Funktion mit diesen drei Eigenschaften von eben. Auch diese Funktion hat diese Polstelle, diese Nullstelle, diese Asymptote, diese gesamte Funktion. Auch die würde es tun.