mal eine Ungleichung. Nämlich, Betrag von x soll kleiner gleich x plus 1 quadrat sein. x eine reelle Zahl. Ich habe eben gelernt, ich muss noch was sagen, was das heißt, eine Ungleichung zu lösen.

Mein Ziel ist, dieses etwas bunnübersichtliche Ding zu vereinfachen. Ich hätte gerne hier etwas, was nachher aussieht, wie x ist von mir aus, das wird es nicht werden, x ist größer als 42 oder x ist kleiner als 13. Sowas hätte ich gerne, dass ich direkt sagen kann

für jedes x, ob es nun diese Ungleichung erfüllt oder nicht. Das wäre eine Ungleichung lösen. Was man auch gerne hat, zumindest schuhmäßig, ist eine Lösungsmenge anzugeben. Lösungsmenge heißt die Menge aller x, die Menge aller x, die diese Ungleichung erfüllt. Das kann dann zum Beispiel nachher irgendein Intervall sein, von mir aus von 13 bis 42

und dann auch irgendein anderes Intervall dazu. Sowas kann dann nachher rauskommen. Das wäre auch eine Art, diese Ungleichung zu lösen. Die Lösungsmenge angeben, alle x, die es können und sonst keine. Ich möchte Ihnen auf zwei Weisen zeigen, wie man das angeben kann. Die erste Art sieht total umständlich aus

und die zweite Art geht dann in fünf Minuten. Wie man das tatsächlich machen wird. Ich will die Ungleichung mal als Vehikel nehmen, um noch mal Logik mit Ihnen zu wiederholen und sonst noch mal Parabeln angucken, Mengen noch mal angucken, alles mögliche. Wie man das so ganz streng machen können würde, nicht wie man es dann echt in der Praxis macht.

Und zwar möchte ich das direkt als schöne Folge von logischen Äquivalenzen, dass man das mal ganz ganz sauber hat, ultra sauber. Diese Ungleichung, zu der etwas finden, was dasselbe bedeutet wie diese Ungleichung, das heißt logisch äquivalent.

Was ich hier reinschreibe, soll so sein, dass es gleichzeitig wahr ist mit dem und dass es gleichzeitig falsch ist mit dem, das heißt logisch äquivalent. Genau dann, wenn, genau dann, wenn der hier oben wahr ist, soll der hier wahr sein und genau dann natürlich umgekehrt, das heißt da genau dann, wenn der hier unten

wahr ist, ist der oben wahr, wenn der oben falsch ist, ist der unten falsch, wenn der unten falsch ist, ist der oben falsch. Die sollen logisch, dasselbe bedeuten, logisch äquivalent. Das hätte ich gerne so eine Kette von Äquivalenz Umformungen, aber für Ungleichungen. Das allererste, was man sich angucken muss,

ist der Betrag. Der Betrag nervt, weil der so unschön zu behandeln ist. Was mache ich, um den Betrag wegzukriegen? Das ist der erste Schritt. Correct. Für den Betrag brauche ich eine Fallunterscheidung, weil der Betrag mit Fallunterscheidung definiert ist. Das ist eine Art, Sie können auch sagen, der Betrag ist die Wurzel aus dem Quadrat, aber

erstmal ist das einfacher, den Betrag mit Fallunterscheidung zu definieren. x größer gleich Null, dann ist der Betrag gleich der Zahl x selbst, x kleiner Null, dann ist der Betrag gleich Minus der Zahl. Das würde ich hier gerne einbauen, als Fallunterscheidung, aber gleichzeitig diese Äquivalenz da behalten wollen.

Das war bei Ihren Kolleginnen und Kollegen eben auch noch nicht so ganz klar, wie ich mir das vorstelle. Das ist auch eine spezielle Lösung, aber eben streng dann im Sinne dieser Äquivalenz. Ich möchte gerne zwei Fälle unterscheiden, einmal x größer gleich Null und einmal x kleiner Null.

So sieht das dann nachher aus. Das sind meine beiden Fälle, die decken alles ab. Und treten nie gleichzeitig ein. x größer gleich Null ist das Gegenteil von x kleiner Null. Und da hänge ich jetzt jeweils meine Ungleichung hinter, was auf Ani ein bisschen blödsinnig aussieht, aber was eine korrekte

Äquivalensumformung ist für meine Ungleichung. Genau dann, wenn das hier, dieses Monster an logischen Ausdrücken und Ungleichungen, genau dann, wenn dieses Monster auf der unteren Seite

hier, wenn das wahr ist, genau dann ist das da oben wahr. Und umgekehrt, das war eben noch nicht ganz klar, das muss ich noch mal erzählen. Ihr seht, das hier ist ein Ding und sein Gegenteil. Es gibt keine dritte Möglichkeit und das passiert auch nicht beides gleichzeitig. Das heißt, wenn das hier oben wahr ist,

entweder ist das wahr oder ist das wahr und das hier ist wahr. Also dieses ist wahr und das ist sowieso wahr. Oder das ist wahr und das ist auch sowieso wahr, dann ist das hier unten wahr. Wenn das hier oben falsch ist, dann steht hier irgendwas untfalsch und hier steht irgendwas untfalsch. Dann muss es unten falsch sein. Genau dann, wenn das hier oben wahr ist,

ist das unten wahr. Und wenn das oben falsch ist, ist das unten falsch. Es ist tatsächlich äquivalent. Das ist eine sehr schräge Art, vielleicht Fallunterschreitungen hinzuschreiben, aber das ist die Art, wie man Fallunterschreitungen jetzt in dieser logischen Schreibweise machen muss, wenn ich das wirklich alles als einen Ausdruck haben will.

Erster Fall, x ist größer gleich Null und meine Ungleichung gilt. Oder zweiter Fall, x ist kleiner als Null und meine Ungleichung gilt. Das ist der Gedanke dahinter. So habe ich jetzt diese Fallunterscheidung in meine Ungleichung eingebaut und das ist weiterhin logisch äquivalent.

Ich muss das eben noch mal aufmalen. Ich malte auch noch mal auf, wie das an Mengen von Fällen aussähe. Stellen Sie sich vor, das ist das Universum aller möglichen Möglichkeiten.

x größer gleich Null ist irgendwie eine bestimmte Anzahl von Fällen hier drin oder eine Menge von Fällen, in denen x größer gleich Null ist. Wo finde ich x kleiner als Null, die daneben, also das Kompliment wäre dann ja die offizielle Bezeichnung.

Das wären alle die x, die dann kleiner sind als Null. Es passiert eins von beiden. Entweder ist es größer gleich Null oder es ist kleiner als Null. Die ergänzen sich komplementär. Das eine ist das Gegenteil vom anderen. Und hier hinten meine Ungleichung,

die passiert irgendwie unabhängig. Es geht oder es geht nicht. Das ist meine Ungleichung. Jetzt kann ich mir angucken, was passiert. Ich bin interessiert an den x, für die die Ungleichung gilt. Der rote Bereich. Nur die und keine anderen. Wie kriege ich die? Dann kann ich sagen, okay, ich nehme die im roten Bereich und im blauen Bereich,

hier in der Schnittmenge, und dazu Vereinigungsmenge oder macht ihr eine Vereinigungsmenge, dazu nehme ich die, die im grünen Bereich und gleichzeitig im roten Bereich sind, die hier. Dann habe ich wieder den roten Bereich. Das muss dasselbe gewesen sein. Wo ich das hier so aufmale, ich hätte die x, weil es ja eindimensional ist, ich hätte das vielleicht eher als

Zahlenstrahl malen sollen, aber dann kann man es nicht mehr so gut erkennen. So habe ich also eine Äquivalenzunformung auf etwas schräger Art hingeschrieben. Das hier zerlegt mit Hilfe meiner Fälle. So, und jetzt machen sie weiter

im ersten Fall. Wie können sie das hier im ersten Fall vereinfachen? Und wie können sie den zweiten Fall vereinfachen? Und hübsch wäre, als Übung mal tatsächlich immer Äquivalenzunformungen zu machen. Weiterhin logische Ausdrücke zu finden, die ein bisschen monströs werden, aber trotzdem äquivalent zu gehen, da oben sind. Also nicht

auseinanderfallen zu lassen. Also hier weiter zu machen, ist logisch äquivalent zu bla bla bla. Probieren sie das mal hinzukriegen. Hier nochmal gucken. Das obere und, damit das wahr wird, das obere und muss der linke wahr werden und der rechte wahr werden.

Das heißt, hier oben in dem und muss ich mir rechts nur noch angucken, was passiert, wenn x größer gleich Null ist. Sonst kann es ja nicht wahr werden. x größer gleich Null und irgendwas. Na gut, wenn x größer gleich Null ist, dann weiß ich, dass diese Betragsstriche überflüssig sind. Der Betrag einer Zahl ab Null aufwärts ist die Zahl selbst. Hier oben kann ich die Betragsstriche weglassen.

Schon ist das einfacher geworden. Dann steht hier eine quadratische Ungleichung. Die können sie mit PQ-Formeln lösen. Analog gehen sie unten vor. Auch da kriegen sie eine quadratische Ungleichung. Kann man beides lösen und dann stehen oben und unten zum Schluss irgendwelche Bedingungen. x ist größer als dieses und kleiner

gleich jenes oder irgendwas von der Art und dann kann man die nicht zusammenfassen. Also das allererstes benutzen sie jetzt hier größer gleich Null, kleiner Null, um die Betragsstriche loszuwerten. Das war ja der Sinn des Ganzen. Deshalb überhaupt die Übung mit größer gleich Null, kleiner Null. Der Betrag hat diese Stückweise Definition. Wenn x größer gleich Null ist und der ist minus x, wenn x kleiner Null ist.

Und deshalb mache ich ja das. Und jetzt benutze ich das, um den Betrag wegzumachen. Wie gesagt, das ist viel aufwändiger, als man das im wahren Leben machen würde, aber ich würde es einmal wirklich streng logisch durchexzertieren. Warum diese Fallunterscheidung? Die Fallunterscheidung, um den Betrag loszuwerden.

Vor dem Oder-Zeichen weiß ich, x muss größer gleich Null sein, sonst wird hier sowieso nichts draus. Wenn x größer gleich Null ist, ist der Betrag aber schlicht und ergreifend x. Ich kann die Betragstriche weglassen. Und habe hier schöne quadratische Ungleichung. Hier unten

sowieso und sowieso. Es muss hier hinten x kleiner Null sein, sonst kann das nicht wahr werden. Wenn x kleiner ist als Null, ist der Betrag aber minus x. Und schon wieder habe ich da unten eine schöne quadratische Ungleichung. Das können wir vielleicht noch mal hinschreiben. Das ist etwas eng. Ich nehme hier mal den kringere Gramm weg.

Was haben wir? x ist größer gleich Null und x ist kleiner gleich. Das muss ich auch noch sagen, weil ich das eben an einigen Stellen gesehen habe. Ich ändere ja nur den Betrag.

Ich mache nichts anderes, als zu benutzen, dass ich den Betrag ausrechnen kann, wenn ich weiß, dass x größer gleich Null ist, beziehungsweise wenn ich weiß, dass x kleiner Null ist. Ich schaue mir nur den Betrag an. Es passieren keine Schweinereien hier auf der rechten Seite. Da wird nicht plötzlich x zu minus x. Das bleibt stehen. Nur der Betrag ändert sich. Oben wird er zu x.

Deshalb können wir ausbuchstabieren. x plus 1 Quadrat ist ganz schlicht mit Minomi x Quadrat plus 2 x plus 1. Da geht ja nichts schief, wenn Sie das hier ausrechnen. Oder untere Zeile. x ist kleiner als Null. Und dann steht da minus x ist kleiner gleich. Selbst ausmultiplizieren.

x Quadrat plus 2 x plus 1. Das x kann ich rüberbringen. Von beiden Seiten x subtrahieren. Wenn Sie von der Ungleichung auf beiden Seiten was subtrahieren, das war eben auch nicht so ganz klar,

dann ändert sich nichts an der Ungleichung. Wenn Sie haben 5 ist kleiner gleich 7 und Sie subtrahieren von beiden Seiten von mir aus 2, dann haben Sie 3 ist kleiner gleich 5. Toll, was soll dabei passieren? Die eine Seite geht runter, die andere Seite geht runter. Dann haben Sie immer noch, dass die rechte Seite größer als die linken Seite ist.

Also addieren und subtrahieren bei Ungleichungen macht nichts kaputt. Multiplizieren ist gefährlich. Demnächst nochmal. Aber hier subtrahiere ich erstmal x von beiden Seiten. Dann steht links x minus x einfach eine Null. Und rechts steht ein x weniger. So sieht das aus. Dasselbe mache ich bei der Ungleichung hier.

Nicht dasselbe. Ich addiere x natürlich. Ich möchte das Minus x weg haben. Addiere x auf beiden Seiten. Dann steht hier Null und hier stehen 3x. Und jetzt habe ich zwei quadratische Ungleichungen hier. Ich vergleiche x Quadrat plus x plus 1 mit Null. Ist das größer gleich Null? Und hier unten x Quadrat plus 3x plus 1. Ist das größer gleich Null?

Jetzt gucken wir uns mal als Nebenrechnung an. x Quadrat plus x plus 1 ist größer gleich Null. Wann ist das der Fall?

Was wir leicht lösen können ist, wann es gleich Null ist. Das ist PQ Formel. Die PQ Formel löst nicht größer gleich Null, aber die PQ Formel löst gleich Null. Und das gibt PQ Formel. Jetzt logisch äquivalent nur für diese quadratische Gleichung. x ist gleich, p ist 1. Also hier minus

ein halb plus minus, das hier vorne quadrieren, macht ein viertel minus Q ein viertel minus 1. Und da haben schon viele gemerkt, okay, ein viertel minus 1 ist nicht so richtig prickelnd. Hatten wir zwar schon mit komplexen Zahlen, aber hier ist von reellen Zahlen die Rede. Das heißt, geht nicht. Das geht nicht. Es gibt kein solches x.

Es gibt kein x, sodass dieser Ausdruck hier gleich Null wird. Und jetzt muss man ein bisschen über nachdenken, was das denn für die Ungleichung heißt. Ich weiß, dass die rechte Seite niemals Null wird, aber das ist ja nicht die Frage.

Die Frage ist, ob die rechte Seite größer gleich Null ist. Was ist das Argument an der Stelle dann? Ja, man guckt sich diesen Ausdruck an. Eine nach oben geöffnete Parabel, x quadrat plus so und so viel x plus irgendwas ist eine nach oben geöffnete Parabel. Eine nach oben geöffnete Parabel, die keine Nullstellen hat.

Irgendwo die x-Achse, eine nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen. So kann sie aussehen. Sie kann nicht so aussehen. Dann hätte sie eine Nullstelle. Sie kann nicht so aussehen. Dann hätte sie zwei Nullstellen. Sie hat keine einzige Nullstelle. Sie muss so aussehen. Und nun war die Frage, ist das, was da auf der rechten Seite steht, größer gleich Null?

Offensichtlich. Die Parabel kann immer nur positive Werte haben. Das lerne ich daraus. Das ist so ein bisschen hinterrücks. Aber das muss ich gleich nochmal erzählen, wie das zustande kommt. Also ich lerne, das hier muss immer der Fall sein. Egal welches x ich einsetze, dieses hier, Egal welches x ich einsetze, das ist immer wahr.

Sollte ich noch ein immer davor schreiben? Das hier ist immer wahr. Egal welches x ich einsetze. Den hier habe ich gar nicht angeguckt mit x größer gleich Null. Das gucken wir uns auch noch an. Hinten weiß ich sofort, egal. Was hier steht, x² plus x plus eins wird immer größer gleich Null sein.

Denn x² plus x plus eins ist eine nach oben geöffnete Parabel, x² mit einem Plus, eine nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen. Ohne Nullstellen heißt, sie geht nicht in den negativen Bereich.

Also ist das die ganze Zeit größer gleich Null. Und Nullstellen berührt sie nicht mal die x-Achse, aber das ist mir an dieser Stelle hier relativ egal, weil ich einen größer gleich habe. Das wäre das Argument für diesen Ausdruck hier. Also habe ich jetzt einen Ausdruck in meinem ganzen

Logikgewusel hier. Habe ich einen Ausdruck, von dem ich weiß, er ist ganz sicher wahr. Das war der schnelle Teil. Jetzt überlegen Sie sich hier den unteren Teil mit dem 3x. Wie steht es da? Die Nebenrechnung für den blauen Ausdruck wird etwas komplizierter, nicht viel. Ich nehme den hier mal weg.

Da steht eben 3x, nicht das nackte x, sondern plus 3x. Wieder PQ-Formel. Für welche x wird das exakt gleich Null. Nicht kleiner, nicht größer, sondern exakt gleich Null. Das sagt mir ja die PQ-Formel. x ist gleich

minus 3 halbe, also minus 3 halbe plus minus, den hier quadrieren, neun viertel unter der Wurzel, neun viertel, den abziehen, minus eins. Das geht auf. Neun viertel minus vier viertel sind Wurzel fünf viertel.

Minus drei halbe plus minus Wurzel fünf viertel. Wurzel fünf viertel können wir noch vereinfachen. Ja, Wurzel fünf halbe. Da muss man aber die richtigen Pausen setzen beim Sprechen. Wurzel fünf halbe. Nicht Wurzel fünf halbe, sondern Wurzel fünf halbe. Hier steht ja

Wurzel fünf durch vier und das ist Wurzel fünf durch Wurzel vier. Beim Bruch dürfen Sie Erzähler und Nenner getrennt. Wurzeln. Und dann haben Sie Wurzel fünf halbe. Das ist dahinten hübscher, Wurzel fünf. Halbe. Ist der Ausdruck nicht ganz so hässlich.

So, Wurzel fünf halbe. Das heißt, ich habe jetzt tatsächlich zwei Nullstellen, auch zwei verschiedene Nullstellen. Hier steht nicht nur Null unter der Wurzel. Dann hätte ich am Endeffekt nur eine Nullstelle. Ich habe zwei Nullstellen. Das heißt, dieser Ausdruck hier, x² plus 3x plus eins, der wird

so aussehen. Wenn das hier die x-Achse ist, ich male jetzt nicht die y-Achse ein. Ich weiß nicht wo die y-Achse ist, ist mir jetzt gerade egal. So muss das durch die x-Achse gehen. Es gibt eine Nullstelle auf der linken Seite, die mit minus Wurzel fünf halbe und eine auf der rechten Seite, die mit plus Wurzel fünf halbe.

Und die Frage war, x² plus 3x plus eins, wo ist das größer gleich null? Wo ist das, was hier rauskommt, größer gleich null? Was da rauskommt aus diesem quadratischen Ausdruck soll größer gleich null sein. Das hatten die meisten jetzt auch gerade sowieso gemacht. Da ist es größer gleich null. Also dieser Bereich ist interessant,

einschließlich des x, wo die beiden sich treffen. Und dieser Bereich ist interessant, einschließlich des x, wo die beiden sich treffen. Das sind die x-Achse, die erlaubt sind. Die x-Achse bis einschließlich minus 3 halbe minus Wurzel fünf halbe, auf der Seite und auf der rechten Seite die x-Achse ab minus 3 halbe plus

Wurzel fünf halbe bis ins Unendliche. Das sind die x-Achse, die gehen. Die dazwischen gehen nicht, denn dann kommt hier was Negatives raus. Ich möchte aber, dass es größer gleich null ist. Das ist jetzt ein bisschen aufwendiger hinzuschreiben. Das heißt, was hier rauskommt ist, alle x auf diesem x-Wert oder links davon, also x kleiner gleich und der x-Wert war das mit dem

minus, minus 3 halbe minus Wurzel fünf halbe. Minus 3 halbe minus Wurzel fünf halbe. Das sind die, oder analog zur Vereinigungsmenge, die auf der rechten Seite x größer gleich

minus 3 halbe plus Wurzel fünf halbe. So und jetzt hat man nur noch ganz gewöhnliche Vergleiche hier stehen. x ist kleiner, größer, kleiner gleich, größer gleich irgendwas. Garniert mit irgendwelchen uns oder's.

Dann kann man das zusammenfassen. Mit dem Schätzen mache ich vielleicht etwas vor, was schief gehen kann. Wenn sie hier jetzt anfangen, schon Sachen wegzuschmeißen, könnte es sein, dass nachher irgendwas sich so ungünstig überschneidet, dass man plötzlich ganz andere Lösungen rauskriegt. Mit dem Schätzen und so weiter würde ich erst dann anfangen, wenn da zum Schluss wirklich

handfeste, endgültige Ausdrucke stehen, nicht zwischendurch. Hier kann jetzt im Laufe der Rechnung noch alles Mögliche passieren. Also möglichst erst dann schätzen, wenn da ein kompletter Ausdruck steht, der fertig ist. Hier bin ich ja noch nicht fertig. Hier habe ich noch die ganzen und und's oder's irgendwie zu verarzten. Probieren Sie das jetzt mal. Jetzt stehen da ja schöne handfeste Ungleichungen. Wie kann ich die miteinander verrühren?

Zur Frage, ob ich in Klausuren auch so krumme Zahlen nehme, das sind ja noch keine krummen Zahlen. Das war eine Klausuraufgabe. In der Größenordnung sollte das noch gehen. Ich fasse das hier oben noch mal zusammen, um einen

Fehler vorzuführen, den ich eben gesehen habe. x größer gleich 0 und war, schreibe ich jetzt einfach mal so hin, oder x kleiner 0 und was ich jetzt hier schreibe, ist falsch. Wir müssen gleich mal diskutieren, warum das falsch ist.

Oder x größer gleich minus dreieinhalb plus Uhrzug fünf halbe. So, was ist hieran falsch? Das scheint doch in Ordnung zu sein. Ja, hier müssen Klammern drum. Das ist total gefährlich. Das und wird ja zuerst ausgerechnet. Wenn Sie keine Klammern setzen, würde ich erst

das und von den beiden bilden. Der und der. Und dann klappert das oder zum Schluss hinten dran. Ungehe den Klammern setzen. Das ist so was ähnlich jetzt als, nicht so was ähnlich, das ist genau dasselbe, als wenn Sie haben drei plus vier mal a. Rechnen mit Zahlen. Und Sie überlegen sich, oh, a kann ich irgendwie ausdrücken von mir aus durch, was weiß ich, b quadrat plus sieben.

Wenn Sie das machen, schreiben Sie auch nicht drei plus vier mal b quadrat plus sieben. Das geht ja genauso schief. Drei plus vier mal b quadrat plus sieben in der Klammer. Dieses plus muss ja erst ausgerechnet werden und dann kommt das mal, wenn ich einsetze.

Deshalb die Klammern, damit auch wirklich das plus erst ausgerechnet wird und dann das mal. Genauso hier. Ich setze diesen blauen Ausdruck ein. Davor steht aber ein und. Da muss ich vorsichtig sein. Das ist wie das mal vor dem a. Das und in der Logik ist wie das mal bei Zahlen.

Das oder in der Logik ist wie das plus bei Zahlen. Was ist das? Was entspricht dem Minus bei den Zahlen? Was ist das in der Logik? Genau das Minus bei Zahlen, zumindest das Vorzeichen Minus, ist das nicht in der Logik. Das Gleich bei den Zahlen, das Gleich bei den Zahlen, das sehen Sie hier in Aktion, ist das Äquivalentzeichen in der Logik.

Diese Ausdrücke sind sozusagen in Einführungszeichen gleich. Nur schreibt man dann typischerweise nicht gleich hin, sondern logisch äquivalent hin. Also da gibt es ganz viele Parallelen und insbesondere auch viele Fehler, die man parallel bei beiden machen kann. So, mal setzen. Also hier müssen Klammern drum.

Vielleicht können wir den gerade noch, den machen wir gerade noch mal zusammen. Und war. Was machen Sie hier aus dem oberen? x größer gleich Null und war. In der Tat, das x größer gleich Null würde reichen. Sowieso, sowieso und außerdem war.

Blödsinnig. Wenn das vorne war ist, war und war, dann ist das gesamte war. Wenn das vorne falsch ist, falsch und war, ist das gesamte falsch. Also reicht der vordere. Wenn der vordere war, ist das gesamte war. Wenn das vordere falsch ist, ist das gesamte falsch. Das heißt, dieses und war kann nicht einfach weglassen. Und, eine Aussage, die war ist, fliegt einfach raus.

Frage am Rande. Wenn da stünde x größer gleich Null und falsch, was können Sie dann machen? Sie können es nicht einfach weglassen, weil dieses Ding muss ja entweder war oder falsch sein. Nichts ist nicht war oder falsch. So wie, wenn Sie nichts hinschreiben, dass auch nicht die Zahl Null ist. Die Zahl Null ist was anderes als nichts hinzuschreiben.

Hier muss irgendwas stehen, was war oder falsch ist. Und lustigerweise ist das dann irgendwas unfalsch, einfach falsch. Wenn hier stünde war und falsch, ist das falsch. Wenn das stünde falsch und falsch, wäre es falsch. Also es ist immer falsch, egal was man macht.

Auch das hätte man vereinfachen können. Aber das haben wir nicht. Da steht und war und und war kann man einfach weglassen. Das ist so wie Mal eins, wenn Sie so wollen. Eine Zahl mal eins. Das Mal eins können Sie weglassen. So, jetzt wird es doch übersichtlich.

Um das noch übersichtlicher zu machen, folgender Vorschlag, malen Sie das mal auf den Zahlenstrahl, auf einen geraden Zahlenstrahl. So, malen Sie das mal auf einen geraden Zahlenstrahl. Von wo bis wo sind die verschiedenen Mengen, die da vorkommen? Es sind ja vier Mengen.

Habe ich genug Farben, fangen wir mal da mal an. Die x größer gleich 0, dann haben wir die x kleiner 0, dann haben wir diese x und wir haben irgendwann noch eine vernünftige Farbe, da so ein tiefes Blau. Wir haben diese x. Wo liegen diese vier Mengen auf dem Zahlenstrahl? Und dann kann man sich überlegen, was dann jetzt mit dem und, mit dem und und dem oder und da dem oder passiert.

Ich habe drei markante x-Werte. Einmal x gleich 0. Und dann die Krummen hier. Minus drei halbe, minus Wurzel fünf halbe ist auf jeden Fall negativ.

Negative Zahl, nochmal negative Zahl. Der ist auf jeden Fall negativ. Minus drei halbe, minus Wurzel fünf halbe. Dieser hier, minus drei halbe plus Wurzel fünf halbe, liegt rechts von dem Blau, minus Wurzel fünf halbe, weil ich ja was addiere. Hier habe ich was abgezogen, da habe ich was

addiert. Also der Blau hier muss rechts von dem liegen. Wenn man genauer hinguckt, Wurzel fünf ist kleiner als drei. Wurzel neun wäre drei. Wurzel fünf ist kleiner als drei. Das heißt, der ist noch negativ. Minus drei halbe plus etwas, was kleiner ist als drei halbe.

Der ist negativ. Er liegt also rechts von der Null. Links von dem, rechts von der Null. Irgendwo dazwischen liegt er. Die genaue Lage ist mir relativ schnurz. Ich möchte ja nur gucken, was ich jetzt, was jetzt passiert, wenn ich das und und oder bilde. Also das ist jetzt nicht maßstabsgerecht. Nehmen Sie das nicht wörtlich. Hauptsache, ich weiß, wie die zueinander liegen. Wer liegt links, wer

liegt rechts, wenn dicht in der Mitte? Plus Wurzel fünf halbe. So liegen die. Jetzt fangen wir an. X größer gleich Null. Das heißt, die Null ist dabei, weil wir einen dicken Klecks sehen, bis ins Unendliche. Unendlich ist in der Mathematik keine reelle Zahl.

Die Ingenieure und die Physiker und die Informatiker rechnen gerne auch noch mit unendlichen großen Zahlen. Die Mathematiker sind da erst vorsichtig. Später kann man das auch in der Mathematik dann tun, aber erst mal ist man in der Mathematik vorsichtig mit solchen Geschichten.

X kleiner Null. Die Null ist nicht dabei, deshalb habe ich jetzt mal einen Hohlkringel. Bis ins Minus Unendliche. Sie können auch hier das offene Kästchen machen oder was auch immer. Irgendwas, was man verstehen kann. So, jetzt haben wir hier den Pur-Purfarbenen.

Minus drei halbe, minus fünf halbe. Ich möchte kleiner gleich sein dieser Zahl. Also so. Mache ich mal jemand hier drüber, da ist ja noch Platz. So, die Zahl selbst ist erlaubt, kleiner gleich.

Und alle da drunter. So, bis Minus Unendlich, ohne Minus Unendlich selbst. Und der hier größer gleich dem, da habe ich doch keinen Platz dafür. Müssen wir den dahin machen, größer gleich dem, einschließlich dem, beliebig groß.

Ohne Limit nach oben. Ja gut, geben wir noch den Gesamte hin. Schreiben wir mal die Lösung hin. Das Gesamte jetzt zusammengenommen. Die Grünen oder die Orangen und gleichzeitig Violett oder Blau.

Die Grünen oder die Orangen und die Violetten oder die Blauen. Die Grünen sind also alle drin. Die hier sind alle drin, weil dann Oder steht. Die hier sind alle dabei, beliebig groß.

Jetzt kommen die Orangen. Die hier, aber davon nicht alle. Von denen nur die, die im Violett liegen oder im Blau liegen. Von den Orangen nur die im Violett liegen oder im Blau liegen. Das sind also jetzt noch die und die.

So sieht das insgesamt aus. Vielleicht sollte ich das auf eine Höhe bringen, dann sieht es auch ein bisschen netter aus, falsch. Ich jetzt habe nochmal. Grün ist drin, x größer gleich 0, weil das Oder steht.

Alles von den Grünen ist drin oder irgendwas. Die sind alle dabei, das ist der obere Teil hier. Und von den Orangen, denen hier, habe ich die im Blauen. Das ist dieser Teil, der Fitzel da noch. Und von den Orangen habe ich die im Violetten. Das ist dieser Teil, bis ins Minus und Endliche.

Das wird meine Lösungsmenge werden. Das könnte man jetzt auch alles streng zu Fuß, ein bisschen strikter machen. Aber das sieht man dann doch ein bisschen zu pingelig. Also wäre das die Bedingung hier für meine x. So müssen meine x liegen. x muss kleiner gleich sein, eine Möglichkeit.

x kleiner gleich minus 3 halbe minus Wurzel 5 halbe. Oder, andere Seite, x ist größer gleich minus 3 halbe plus Wurzel 5 halbe. So könnte man das als Bedingung aufschreiben. Jetzt habe ich das dann wirklich äquivalent umgeformt.

Ich starte hier. Genau dann, wenn das hier oben wahr ist, diese Ungleichung, genau dann ist das hier unten wahr. Oder umgekehrt, wenn ich direkt sagen will von irgendeinem x, ob das stimmt oder nicht, prüfe ich einfach, ob das x kleiner gleich dem ist oder das x größer gleich dem ist. Das ist also eine wesentlich einfache Art, diese Ungleichung auszudrücken.

Schulmäßig, wie gesagt, würde man eine Lösungsmenge angeben. Die Menge aller x aus den reellen Zahlen, die das erfüllen, das kriegen wir auch noch hin, die Lösungsmenge ist also, alle x, die das erfüllen, das könnte man sogar hinschreiben,

die Menge aller x aus den reellen Zahlen, mit dem, das könnte man sogar so hinschreiben, alle x aus den reellen Zahlen, die das hier erfüllen, x kleiner gleich sowieso oder x größer gleich sowieso, das wäre eher ungewöhnlich. Sehen Sie eine andere Chance, wie man das als Menge hinschreiben kann?

Genau, als Vereinigungsmenge zweier Intervalle. Das hier sind die x aus einem Intervall, nämlich, minus und endlich, ohne das minus und endlich, bis minus dreihalbe minus Wurzel fünfeinhalb, da sind diese x, einschließlich der Kante,

vereinigt, auch wieder einschließlich, dem Intervall von minus dreihalbe bis plus Wurzel fünfeinhalb, ohne das plus und endlich, so könnte man die Lösungsmenge hinschreiben.

Wenn Sie ganz hart drauf sind, schreiben Sie das Intervall zwischen den beiden Knubbeln und bilden davon das Kompliment, aber das ist dann schon wieder schwer zu verstehen. Ich denke, das wäre eine erträgliche Schreibweise. Die Aufgabe ist echt blöd, weil man sie so niemals rechnen würde.

Das war jetzt, um noch mal durchzuexerzieren, wie man sowas ein bisschen strenger machen könnte, sogar nicht mal perfekt streng. Hier habe ich ja auch schon ein bisschen geschlunst und hier bei den Parabeln, das ist ja auch alles nicht streng ausgerechnet, sondern mit vielen Gedanken im Hinterkopf. Wenn man das streng umformulieren würde,

dann hätte man etwas zu tun. Das macht kein Mensch so. Das habe ich mit Ihnen jetzt mal gemacht, dass wir noch mal das sehen mit der Fallunterscheidung. Was mache ich mit Parabeln und oder, vorsichtig sein beim Einsetzen, wie wende ich mal den Zahlstrahl an, um irgendwelche Zahlenintervalle miteinander zu verknoten. Deswegen habe ich das vorgeführt.

Jetzt zeigen wir, geht auch in fünf Minuten, jetzt geht es mal, wie man das im wahren Leben macht. Diese Ungleichung, Betrag x kleiner gleich x plus 1 in Klammern ist Quadrat. Betrag x kleiner gleich x plus 1 Quadrat für reelle Zahlen x.

Die Frage ist, welche reellen Zahlen erfüllen das? Plotten Sie einfach die Funktionen auf beiden Seiten, abhängig von x. Grob, es reicht grob, dass man die wesentlichen Punkte sieht, dann kann man das relativ einfach machen. Wie sieht der Betrag aus?

Wie sieht x plus 1 Quadrat aus? Wenn man die beiden Kurven plottet, dann muss man auch die beiden Kurven miteinander vergleichen, und ist fertig. Ich meine folgendes, Sie nehmen sich zum Beispiel die linke Seite und plotten die Kurve, y ist gleich Betrag x.

Ich hoffe ja, dass das alle inzwischen können. So, naja, könnte schöner geworden sein. Und dasselbe machen Sie mit der hier auf der rechten Seite. Das überlasse ich Ihnen gerade nochmal. y ist gleich x plus 1 Quadrat. Wie sieht die prinzipiell aus?

Nicht super genau prinzipiell, dass man eine Idee hat, wo man gucken muss. Das sehen wir später nochmal. x plus 1 Quadrat. x plus 1 heißt, die Parabel, die Normalparabel, nach links zu verschieben, 1 nach links zu verschieben. Das sehen Sie, wenn Sie minus 1 einsetzen,

plus 1 macht 0 Quadrat, dann kommt 0 raus. Eine Normalparabel mit Scheitel bei x gleich minus 1. Sowas vielleicht. Und mich interessiert jetzt, wo die grüne Kurve auf oder oberhalb der blauen ist, größer gleich. Das heißt, mich interessiert dieser Bereich

auf der x-Achse, ab dem Schnittpunkt aufwärts, einschließlich die x, ab dem Schnittpunkt aufwärts, und dieser Bereich, die x ab dem linken Schnittpunkt abwärts. Das sind nämlich die Skizze. Ich lese jetzt nicht die Werte ab.

Dazu ist die Skizze gerade nicht da. Die Skizze ist nur dazu da, dass ich eine Idee habe, was da passiert. Im mittleren Bereich ist die grüne Kurve nicht größer gleich, der blauen Kurve. Die liegt da unterhalb. Also interessiert mich der Bereich hier außerhalb.

Ich kann also direkt einzeichnen, wo meine Lösungsmenge liegt. Jetzt muss man nur noch Gleichungen lösen. Das schaffe ich mir ein bisschen spät geworden. Jetzt muss man nur noch Gleichungen lösen. Ich bestimme diese beiden Schnittpunkte. Denn das hier ist die gerade y gleich minus x. Ich schneide die gerade y gleich minus x mit meiner Parabe.

Zwei Schnittpunkte. Damit weiß ich die x-Koordinaten und kann sofort meine Lösungsmenge hinschreiben. Das geht in zwei Minuten, die wir jetzt gerade nicht mehr haben. Gucken Sie sich vielleicht zu Hause an.