Eine Gleichung habe ich noch. Eine kubische Gleichung x hoch 3 minus 14 x² plus 63 x minus 90 ist gleich 0. Als solches eine kubische Gleichung ist eine ickige Geschichte. Es gibt eine Lösungsformel dafür, aber die ist heftig.

Netterweise, wenn ich jetzt obendrein ansage, dieses Ding hat drei Lösungen, nicht zwei, nicht eine, sondern drei Lösungen, sage ich schon mal an,

und ich sage obendrein an, diese Lösungen sind allesamt natürliche Zahlen ab eins aufwärts, dann wird das deutlich einfacher. Dann können Sie das tatsächlich binnen fünf Minuten lösen. Irgendwelche Vorschläge, mal in die Runde gefragt.

Wie kann ich diese Lösungen bestimmen, wenn ich weiß, das sind alles natürliche Zahlen? Ich nenne diese Lösungen mal irgendwie abc. Drei natürliche Zahlen abc. Wie können Sie dann diese linke Seite der Gleichung schreiben?

Wenn Sie abc wüssten, was wüssten Sie über die linke Seite der Gleichung? Wie können Sie die schreiben? Eine kubische Gleichung, drei Lösungen. Sie müssten die linke Seite komplett zerlegen können.

x minus a mal x minus b mal x minus c. Es zerfällt dann komplett in Linearfaktoren, wie das so schön heißt. Wenn ich wüsste, eine der Lösungen ist 7, dann wüsste ich, ich kann dieses Polynom links durch x minus 7 teilen. Und habe nur noch ein quadratisches Polynom. Und das kann ich dann vielleicht wieder teilen und so weiter.

Zum Schluss habe ich so etwas da stehen. Komplett zerlegt. Im Prinzip könnte ich hier noch so etwas stehen wie 13 mal oder 42 mal oder Pi mal. Warum steht da nicht so etwas wie 13 mal? Warum steht hier nackt einfach nur das Produkt x minus a, x minus b, x minus c? Warum steht da kein Faktor davor? Wenn Sie das ausmultiplizieren, hätten Sie ja x mal x mal x, 13 x hoch 3 und nicht x hoch 3.

Das würde nicht hinhauen. x mal x mal x mal 13. Es dürften aber nur x hoch 3 sein. Hier vorne muss als Faktor 1 stehen. Nichts anderes darf da stehen. Da darf nur als Faktor 1 stehen. Das weiß ich.

Wie entsteht diese minus 90? Wenn Sie hier ausmultiplizieren, woher stammt die minus 90? Genau. Die minus 90 kann nur entstehen, indem Sie hier unten etwas zusammenbasteln, was kein x enthält. Was haben Sie bei der 63 oder bei der 14 oder hier vorne? Wie können Sie hier ausmultiplizieren und irgendwas ohne x haben? Die einzige Chance ist minus a mal minus b mal minus c.

Das ist die einzige Chance, um etwas zu kriegen, was kein x enthält. Und das muss die minus 90 sein. Also weiß ich, minus a mal minus b mal minus c ist gleich minus 90, ohne wenn und aber. Ich kenne nicht a, b, c, aber ich weiß, das Produkt ist lustigerweise 90.

Wir können auch noch mit der 14 etwas machen. Wie muss die minus 14 entstehen? Genau. Entweder a, b oder c. Sie nehmen x mal x mal minus c. Dann haben Sie etwas mit x².

Sie nehmen x mal minus b mal x. Dann haben Sie etwas mit x². Und Sie nehmen minus a mal x mal x. Dann haben Sie etwas mit x². Anders geht es nicht. Was habe ich dann in x²? x mal x mal minus c, x mal minus b mal x und minus a mal x mal x. Das ist alles, was ich kriege mit x². So müssen meine minus 14 x² zustande kommen sein.

Also weiß ich, die Summe von den Dreien ist 14. Stichwort wie eta kam am Rande in den alten Videos vor. Der gute Mann hat das irgendwann erfunden. Man kann sich auch noch überlegen, wie die 63 zustande kommt, aber das wird fürchterlich werden.

Das hilft, glaube ich, nicht allzu viel. Ich weiß auf jeden Fall, das Produkt von den Dreien muss 90 sein. Minus mal minus mal minus gibt Minus. Das Produkt von den Dreien ist 90. Und ich weiß, die Summe von den Dreien ist 40. Sehen Sie eine Chance, wie man jetzt weiter vorgehen kann.

Der Trick wird sein, die 90 in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn Sie sich das angucken, 90 ist 2 mal 45. In 45 steckt Faktor 3 drinnen. 3 mal 15 und 15 ist 3 mal 5.

Das ist die Primfaktorzerlegung für die 90. 2 mal 9 mal 5. 2 mal 5 ist 10 mal 9 sind 90. Primfaktorzerlegung für die 90. Jetzt nochmal nachdenken. Das Produkt von A, B, C muss 90 sein.

Was kann passieren? Diese 2 muss irgendwo drinnen stecken. Die 2 muss in dem A oder in dem B oder in dem C stecken. Sie kann nicht gleichzeitig in dem A und in dem B stecken. Sie muss in irgendeinem der stecken. Wenn ich A und B und C in Primfaktoren zerlege, muss irgendeiner diese 2 haben.

Es kann nur einer sein, der die 2 hat. Irgendwo muss die 3 in einem der 3 stecken. Es muss eine zweite 3 geben in einem der 3. Die 5 muss irgendwo stecken. Insgesamt kann die nicht aufgesplittet sein. Ich kann nicht nur zu 5 in einem, nur zu 5 in anderen haben. Das sollen natürliche Zahlen sein. Was man jetzt macht, das wird ein bisschen knapp heute.

Ausaufgabe, was man jetzt macht, ist, man probiert ein paar Möglichkeiten durch. Kann es sein, 2 mal 9 mal 5? Gucken Sie unten nach. 2, 9, 5. Nein, das wird nicht 14. Kann es sein, 6, 3, 5? Also hier 2 mal 3. 3, 5, hier unten nach, ich nehme das 14.

Kann es sein, 10, 3, 3 und so weiter. Man probiert mal die verschiedenen Möglichkeiten durch. 1 gibt natürlich auch noch, darf man nicht vergessen. Einer könnte auch 1 sein. 1 mal, was auch immer, mal 2 mal 30 könnte auch sein. So ein paar Möglichkeiten durchprobieren. Man guckt, ob die Summe 14 ist. Und wenn was beides erfüllt ist, prüft man noch, ob es insgesamt hinhaut.

Weil die 63 hatten wir noch nicht. Und wenn ja, Glück gehabt. Also man probiert nur ein paar Fälle durch. Man braucht keine kubische Lösungsformel. Die Fälle durchprobieren schaffen wir jetzt nicht. Können Sie sich zu Hause nochmal angucken.