Ein Grenzwert, folgender Grenzwert, ich schreibe wirklich mal Liemes aus Hausweise, statt einfach nur des Fals. x gegen Null von 8 durch x. Was ist das für ein Grenzwert? 8 durch x, x geht gegen Null.

Genau, das ist also eigentlich gar kein Grenzwert, sondern es divergiert bestimmt. Wenn hier 42 rauskäme, könnte es ein Grenzwert sein, aber es ist so ein ähnliches, divergiert bestimmt. Der Grenzwert von x gegen Null von 5 durch x, sehr schön, auch unendlich.

Es gibt den Joke im Internet, das findet man im Internet. Aus Sicht des Mathematikers muss ich allerdings sagen, es könnte nicht nur diese Lösung sein, ich wüsste noch eine zweite Lösung.

Also streng müsste man sagen, es ist leider nicht eindeutig, sondern es ist diese 5 oder ... Halt, wie male ich die denn jetzt? Das ist schwierig, eine 5 umzudrehen. So, oder diese 5. Warum ich das erzähle? Nicht wegen des Grenzwerts, sondern weil mir das nochmal klar gemacht hat,

wie das mit solchen Rezepten in der Mathematik ist, die man sich selbst zusammenbraut. Sie werden diesen Fehler hier nicht machen, klar, aber vielleicht andere, die nicht ganz so offensichtlich sind. Man ist oft dazu geneigt, anscheinend irgendwelche ominösen Gesetzmäßigkeiten aus Aufgaben abzuleiten, die es aber so gar nicht gibt.

In der Mathematik geht es schon darum, irgendwelche Muster, irgendwelche Regeln zu finden und anzuwenden, aber offensichtlich nicht auf diesem Niveau, es muss ein Nummer tiefer sein. Es wird nicht die 8 gedreht und deshalb jetzt die 5 gedreht. Eine andere Geschichte, die ich dieses Wochenende gelernt habe, ist folgender.

Es gibt ein Video von Noam Chomsky, wo er ein bisschen was zur Bildung allgemein erzählt, aber er erzählte auch was zu Mengenlehre in der Schule. Was Sie schon wissen, die Lehremenge ist Teilmenge jeder anderen Menge, zum Beispiel Teilmenge von der Menge mit den Zahlen 1, 2, 3 drin.

Was wäre die offizielle Begründung dafür? Warum ist die Lehremenge Teilmenge dieser Menge? Also die offizielle Begründung war, eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Elemente der einen Menge in der anderen vorkommen. Jetzt müsste man noch von wegen echte und unechte Teilmenge vielleicht unterscheiden, aber das ist die wesentliche Geschichte.

Kommen die Elemente links, alle auch rechts vor? In dem besagten Video berichtete Herr Chomsky, dass seine Tochter eine ganz interessante Begründung gefunden hätte. Man sieht ja hier diese kleine Lücke. Sie sehen, die kommt da vor und die kommt da vor.

Das war die Begründung seiner Tochter, warum die Lehremenge überall enthalten ist. Also auch eine Erklärung auf diesem Niveau, hier was passiert mit dem Limes von 8 durch x, dreh ich um 90 Grad, da muss 5 durch x auch durch 90 Grad gedreht sein. Das war auch eine Begründung auf dem Niveau.

Vorsicht mit solchen Begründungen, mit irgendwelchen Rezepten, irgendwelchen Regeln. Es geht in der Mathematik um Regeln, aber man muss dafür sorgen, dass es auch auf dem richtigen Niveau ist. Anscheinend ist das hier zu oberflächlich, dieses Niveau. Zwei Nummern tiefer. Bei Teilmenge geht es darum, was enthalten ist. Sind alle auf der linken Seite auch rechts enthalten?

Hier ist nichts in der leeren Menge drinnen, also ist alles, nämlich nichts, also ist alles automatisch rechts enthalten. Und jetzt können wir, das können Sie, genau, jetzt kommen wir mal zu echt mathematischem Humor.

Noch mal zurück zu den rationalen, irrationalen Zahlen, den Wurzeln. Ein Satz, es gibt, der ist sogar, jetzt wird es echt mathematisch wie gesagt, das ist jetzt ernst gemeint. Es gibt zwei irrationale Zahlen, x und y. Irrationale Zahlen, also reelle Zahlen, die keine Brüche sind und nicht Null.

Es gibt zwei irrationale Zahlen, x, y, mit der Eigenschaft, dass x hoch y rational ist, ein Bruch. Ein ernst gemeinter Satz aus der Mathematik, was vielleicht auch ein überraschendes Resultat ist.

Irrationale Zahlen, Wurzeln, die meisten Wurzeln, nicht gerade die Wurzel 4, auch nicht die Wurzel 9, aber die Wurzel 5 und die Wurzel 2, sind irrationale Zahlen, pi und e sind irrationale Zahlen.

Und erstaunliches Resultat, es gibt irrationale Zahlen, sodass wenn man deren Potenzen bildet, was fieses, hochweisfieses sozusagen, dann kommt ein Bruch raus. Das ist möglich. Behauptet dieser Satz. Der Witz an dem Ganzen, auch ein Fundstück aus dem Internet, ist, wie man den Beweis aufschreiben kann.

Den muss ich einmal auf Englisch aufschreiben. Das geht nur auf Englisch, auf Deutsch wird es etwas länger. Wenn Sie es googeln wollen, ich weiß nicht, wie man den Namen ausspricht. H-U-N-G-Q-N-G-O.

Und der hatte das irgendwo gepostet. Der Beweis ist folgender. Wenn A equals square root of two to the power of the square root of two is not rational,

dann A to the power of the square root of two is. Das war der Beweis. Das ist jetzt ein echter mathematischer Witz. Diese Sachen vorher hier, naja, die sind irgendwie ganz lustig, und dies ist jetzt ein echter mathematischer Witz. Es ist ein echter mathematischer Satz, ein echter mathematischer Beweis.

Er ist allerdings viel zu kurz aufgeschrieben. Wenn diese Zahl A, Wurzel zwei hoch Wurzel zwei, wenn die nicht rational ist, dann ist A hoch Wurzel zwei rational, auf jeden Fall.

Versuchen Sie den Beweis mal zu verstehen. Was passiert da eigentlich? Was ist A hoch Wurzel zwei? Das ist wahrscheinlich das Erste, was man sich überlegen sollte. Wenn das hier die Zahl A ist, Wurzel zwei hoch Wurzel zwei, wir sehen irrational hoch irrational, was ist dann diese Zahl hoch Wurzel zwei? Überlegen Sie sich das mal als allererstes,

und vielleicht schaffen Sie es dann, diesen Beweis hier zu dekodieren. Das hat mich auch eine halbe Minute gekostet. Und als Mathematikerin, als Mathematiker findet man das dann tatsächlich lustig, dass man in der Lage ist, etwas so kurz hinzuschreiben. Wir buchstabieren das gleich mal aus, warum das wirklich ein Beweis ist. Aber erstmal bestimmen Sie A hoch Wurzel zwei,

noch mal als kleine Übung zu Wurzeln und Potenzen. Größtenteils haut es ja schon hin. Also Wurzel zwei hoch Wurzel zwei, das soll diese Zahl A sein. Die möchte ich hoch Wurzel zwei nehmen. Vorsicht mit den Klammern. Wenn Sie hier die Klammern nicht setzen,

nehmen Sie diese Wurzel zwei hoch die Wurzel zwei und dann das Ganze, was da oben rauskommt, als Exponent von der Wurzel zwei. Hier muss man Klammern setzen. Hier steht die Potenz einer Potenz. Auch wenn das jetzt ziemlich kranke Potenz ist, die Potenz einer Potenz. Das heißt, ich multipliziere die Exponenten Wurzel zwei hoch Wurzel zwei mal Wurzel zwei.

Und Wurzel zwei mal Wurzel zwei ist das Quadrat von Wurzel zwei. Hier steht das Quadrat von Wurzel zwei, aber das ist zwei. Also steht da insgesamt die Wurzel zwei hoch zwei und die Wurzel zwei hoch zwei ist zwei. Es kommt also schlicht den Graphen zwei raus. Das hier ist die Zahl zwei.

Hat jetzt irgendjemand den Beweis verstanden? Also der Beweis ist etwas abgedreht. Hier steht der irrational hoch irrational. Wurzel zwei ist irrational. Irrational hoch irrational. Wenn dieses hier irrational irrational rational wäre,

wenn die Zahl A rational wäre, ich weiß es nicht, Wurzel zwei hoch Wurzel zwei, wenn das rational wäre, dann hätte ich zwei solche Zahlen gefunden. Die Überhauptung war, es gibt zwei irrationale Zahlen, sodass diese Potenz rational ist. Wenn A rational wäre, hätte ich zwei solche Zahlen gefunden, nämlich Wurzel zwei und Wurzel zwei.

Wenn A aber nicht rational ist, if A is not rational, sehen Sie den Trick. Wenn A nicht rational ist, was ist jetzt der Trick? Wenn A nicht rational ist, dann steht hier eine irrationale Zahl hoch eine irrationale Zahl.

Wir wissen, das Ergebnis ist zwei, das ist rational. Also habe ich dann zwei Zahlen gefunden. Es ist eine total kurze Art, das aufzuschreiben. Ich gucke mir diese Zahl A an, Wurzel zwei hoch Wurzel zwei. Wenn diese Zahl A rational ist, ist der Beweis erledigt.

Ist diese Zahl rational, Wurzel zwei hoch Wurzel zwei, was weiß ich. Wenn sie rational ist, ist auf jeden Fall der Beweis erledigt. Wenn diese Zahl nicht rational ist, das ist jetzt der Kniff. Wenn diese Zahl nicht rational ist, dann nehme ich eben diese Zahl hoch Wurzel zwei. Und ich weiß, ich habe ganz sicher was Rationales, zwei.

Also wenn es im ersten Schritt nicht funktioniert hat, wird es im zweiten funktionieren. Dann steht hier irrational hoch irrational und das ist garantiert rational. Das ist eine viel zu kurze Art, einen mathematischen Beweis aufzuschreiben. Das wäre ein echter mathematischer Witz, nur dass Sie mal einen echten mathematischen Witz gesehen haben.

Und nebenbei sich nochmal überlegt haben, was Wurzel zwei hoch Wurzel zwei hoch Wurzel zwei ist. Also es geht hier genau um diese konkreten Zahlen. Ich habe jetzt keine allgemeine Aussage. Irrational hoch irrational ist das immer rational, ist das immer irrational. Hier geht es nur darum, es ist zwei Zahlen, so und so viel hoch so und so viel gibt, die irrational sind.

Und das Ergebnis ist lustigerweise rational. Für diese beiden Zahlen, die Frage ist, welche beiden Zahlen, und die sind ja hier so ein bisschen zusammen gelogen. Wenn Sie Wurzel drei nehmen, Wurzel drei hoch Wurzel drei, dann habe ich ja den Ärger, dass hier dann Wurzel drei hoch drei steht.

Wurzel drei hoch drei ist Wurzel drei, das muss ich gleich mal aufmalen. Wurzel drei hoch drei ist drei mal Wurzel drei und das ist garantiert irrational. Also wenn Sie das mit Wurzel drei machen, kommt fast Irrationales raus, nicht was Rationales. Das ist jetzt ein Zufall, dass es mit zwei geht, weil dann gerade da Wurzel zwei mal Wurzel zwei steht.

Ein echter mathematischer Satz und ein viel zu kurzer Beweis.