Eine Aufgabe noch zu stetigen Zufallsgrößen. Folgende Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Zufallsgröße hat immer nur Werte zwischen 3 und 5 im Mittel 4 und soll so einen dreiecksförmigen Verlauf haben in der Dichte.

So einen Verlauf. Hübsch symmetrisch. Und außerhalb von 3 und 5 soll die Dichte 0 sein. Ich schreib weiter mal dran. Klein p. Diese rote Funktion hier soll die Wahrscheinlichkeitsdichte sein. Klein p. Ich wüsste gerne von Ihnen, wo die Quartile liegen.

Bei welchen X-Werten liegen die Quartile? Q1, Q2, Q3. Also die Stellen, bei denen die Wahrscheinlichkeit geviertelt wird.

Die Stelle unter der ein Viertel der Wahrscheinlichkeit ist. Die Stelle, bei der die Hälfte der Wahrscheinlichkeit ist. Q2, der Median. Und die Stelle unter der drei Viertel, über der ein Viertel der Wahrscheinlichkeit ist. Das sind die drei Quartile. Q1, Q2, Q3.

Und der Mittlere ist natürlich gleichzeitig der Median. Und Sie sehen, toll, der ist 4. Das ist keine Frage. Bestimmen Sie mal Q1 und Q2. Unter welchem Wert liegen 25% der Ereignisse und drüber 75% der Ereignisse?

Was ist Q1 und was ist dann analog Q3? Soweit. Also, ich sehe, Sie haben erkannt. Die Höhe muss 1 sein, was das Ganze doch sehr einfach macht. Die Höhe muss 1 sein, damit die Fläche 1 ist. Zwei breit, eins hoch.

Welchen Formel fürs Dreieck? So ist die Fläche 1. Oder Sie nehmen den rechten Teil vom Dreieck, klappen den da rum. Dann haben Sie ein Einheitsquadrat. So geht es auch. Die Höhe muss 1 sein. Jetzt könnte man geometrisch dran gehen, weil das so eine einfache Figur ist.

Und sagen, diese Fläche hier, die Fläche von diesem kleinen Dreieck, Grundseite mal Höhe durch 2. Diese Fläche muss ein Viertel sein. So könnte man dran gehen. Oder allgemeiner, das füge ich jetzt auch mal vor.

Sicherheitshalber allgemeiner, weil so eine einfache Wahrscheinlichkeitsdichte wird man normalerweise nicht haben. Allgemeiner wäre, mit dem Integral dran zu gehen. Die Wahrscheinlichkeit, hier diese violette Fläche zu treffen, muss ein Viertel sein. Ein Viertel ist gleich. Wahrscheinlichkeit, jetzt also von 3 bis Q1.

Und ich integriere die Wahrscheinlichkeitsdichte P von x dx. Nicht x davor, kein Erwartungswerk. Hier steht nicht was von ein Viertel Metern oder ein Viertel Kilogramm. Da steht eine Wahrscheinlichkeit. Hier steht eine nackte Zahl, ein Viertel als Wahrscheinlichkeit.

Kein Erwartungswert. Sie summieren auf Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeitsdichte mal dx. Sowas muss das werden. Und diese Wahrscheinlichkeitsdichte, die könnte man sich jetzt mit Mühe stricken. Sie sehen hier sowas wie Minusbetrag, Minusbetrag um 1 nach oben verschoben

und um 4 nach rechts verschoben. Das wird ja eklig. Das brauchen wir ja gar nicht. Ich integriere von 3 bis Q1. Da ist diese Funktion P total billig. Eine Gerade mit der Steigung 1 durch x gleich 3. Das kann ich ja direkt hinschreiben.

Da muss ich mir nicht zwei Beine ausreißen. Eine Gerade mit der Steigung 1 durch x gleich 3. Oder bei x gleich 3 durch die x-Achse durch. Dieser Teil der Funktion und dieser und dieser interessiere mich ja gar nicht. Ich möchte die Fläche wissen unter diesem Teil der Funktion. Also brauche ich auch nur für diesen Teil der Funktion eine Gleichung.

Und vorgemerkt x-3. Nicht nur x. Ich will bei x gleich 3 durch die Achse. Also x-3. Na ja, mit Stammfunktion x²½ wäre die billigste Stammfunktion. Minus 3x wäre da die billigste Stammfunktion. Von 3 bis Q1.

Und dann haben wir das ist Q1²½-3xQ1. Und jetzt 3 einsetzen und abziehen. 9½ also abziehen und minus 9 abziehen. Will sagen plus 9.

Das wird nicht so übersichtlich. Minus 9½ plus 9. Die Hälfte von 9 abziehen. 9 ganze drauf. Dann habe ich hier hinten 9½ drauf addiert. Gibt eine quadratische Gleichung. Das soll ein Viertel ergeben.

Also Q1²½-3Q1. Plus 9½ minus ein Viertel ist gleich 0. Das macht mich viel Spaß. Das auf Viertel bringen sind also 18. Minus 1 sind 17 Viertel.

Für die quadratische Gleichung. Die PQ Formel. Alles mal 2. Q1²-6Q1 plus 17½ ist gleich 0. Und die PQ Formel. Also Q1 ist gleich. Den hier halbieren mit Minuszeichen 3. Das sieht schon mal gut aus.

3 plus Minus irgendwas. 3 plus Minuswurzel. Den quadrieren. Minus 17½. Das Minuszeichen ist offensichtlicher Blödsinn. Das Minuszeichen kommt daher,

dass ich im Integral ganz dreist mit der Funktion rechne. Das ist aber nicht die Richtige. Unterhalb von 3 muss ich anders rechnen. Das Minuszeichen stimmt nicht. In der Wurzel. Alles auf. Oh je.

Dann bringen wir es erst mal auf halbe. 18 minus 17. Na Glück gehabt. 18 minus 17. Also tatsächlich ein Halb in der Wurzel. Will sagen 3 plus 1 durch Wurzel 2. 1 durch Wurzel 2 war 0,7 irgendwas.

3,7 irgendwas. 3,5 wäre in der Mitte. Wäre definitiv zu wenig. 3,7. 4,0. Das sieht plausibel aus. Irgendwas bei 3,7. Ja, und das haben Sie gemerkt. Das ist definitiv der aufwendigste Weg von allen. Das Integral könnte man einfacher bauen,

indem man im Ursprung startet und sich die ganzen Dreien da wegdenkt. Oder Sie machen es, das hatte ich schon gesagt, mit Grundlinie mal Höhe für dieses violette Dreieck. Und netterweise ist die Höhe ja gleich der Grundlinie. Hier habe ich eine Gerade der Steigung 1.

Die Höhe ist gleich der Grundlinie. Ginge noch viel einfacher. Sie sehen einen Job für diese Quartieren. Q2 ist der Median. Das wirkt im Wesentlichen wie der Erwartungswert. Q2 ist quasi ein Ersatz für den Erwartungswert. Q1, Q3 sagt Ihnen etwas über die Breite der Verteilung.

Also Q1 und Q3 haben eine Art Rolle wie die Standardabweichung.