24B.5 Integration durch Substitution; weitere Fingerübung
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10143 (DOI) | |
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Content Metadata
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Film editingRational functionSubstitute goodSquareAbsolute valueNumberDerived set (mathematics)FactorizationFunction (mathematics)Variable (mathematics)AntiderivativePhysicistPhysicistMathematicsDifferential (mechanical device)PhysikNatürlicher LogarithmusLogarithmPole (complex analysis)Chain ruleComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Noch eine Aufgabe zur Substitution, und zwar integriert von 2 bis 3 folgendes Ding x durch 1 plus x² Da könnte man auch was anderes versuchen wollen. Was könnte man da auch versuchen wollen statt Substitution?
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Ja, man könnte auch Parzahlbrüche versuchen wollen, eine rationale Funktion. Aber Sie sehen, das ist eine rationale Funktion von der fiesen Art. Die hat im Reellen keine Polstellen. Lustigerweise geht in dieser Situation auch Substitution. Hier der Nenner, der schreit danach, meine neue Variable zu werden, z.
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Und ich brauche ja bei der Substitutionsregel eine Funktion, einer anderen Funktion, mal die Ableitung von dieser inneren Funktion. So was brauche ich bei der Substitutionsregel. Hier dieses z, das scheint 1 plus x² oder g von x zu werden.
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Die Funktion, die außen steht, scheint der Kehrwert zu sein. Der Kehrwert von meinem z, f ist der Kehrwert, g von x ist 1 plus x². Und g' von x muss da noch stehen, sonst kann ich die Substitutionsregel nicht anwenden, sonst kriege ich es nicht zusammengefasst.
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Also sicher zahlbar, dieses g wird bei uns sein, 1 plus x², dieses f wird bei uns der Kehrwert sein, 1 durch was auch immer drinnen steht. Dieses g' müssen wir irgendwo noch finden, das ist relativ leicht zu finden und dann geht das mit der Substitutionsregel.
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So, wir haben also den Kehrwert, f macht den Kehrwert von 1 plus x², das meinte ich eben in der Schreibweise, 1 durch dicker Klecks. Ich will hier nicht schreiben 1 durch x, denn die Funktion f rechnet ja nicht 1 durch x aus, die Funktion f rechnet aus 1 durch was drinnen steht, 1 durch g von x, 1 durch 1 plus x².
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Das kommt aus dem f von g von x raus, also 1 durch 1 plus x², das ist g', wenn g' 1 plus x² ist, dann ist g', den hier ableiten, 2x. Ich brauche aber nicht 2x durch 1 plus x², ich brauche 1x durch 1 plus x².
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Also wenn hier stünde das Integral von 3 bis 2, 1 durch 1 plus x² mal 2x, dann könnte ich das mit der Substitutionsregel machen.
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Der Kehrwert von 1 plus x² und von dem 1 plus x² steht hier die Ableitung 2x, das könnte ich mit Substitutionsregel machen, hier steht aber nicht 2x, da steht nur x, da muss ja noch ein Faktor 1 halb dazu dichten, so geht das. Jetzt habe ich hier eine Funktion, Kehrwert einer anderen Funktion, mal die Ableitung dieser anderen Funktion.
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f von g von x, f der Kehrwert, g von x steht hier unten, mal die Ableitung von g, g', das geht mit der Substitutionsregel und gibt ein halb. Jetzt kann ich eben die innere Funktion integrieren, 1 durch u du, aber in den neuen Grenzen.
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Die äußere Funktion war der Kehrwert, 1 durch, und die innere Funktion wird meine neue Variable, u du. Und in den Grenzen jetzt für u, u läuft von 1 plus 2² macht 5 bis 1 plus
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3² macht 10, von 5 bis 10, ich nehme das hier unten mal weg, das ist ein bisschen voll. Das war die strenge Anwendung der Substitutionsregel, die den Physikerinnen und Physiker und den Ingenieurinnen und Ingenieuren nicht so am Herzen liegt.
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Die Anwendung in der Praxis, die meisten von Ihnen haben es auch so gerechnet, sieht so aus. Ich schreibe z ist gleich was da unten steht, oder u, was auch immer man es nennen will. Überlege mir was dz nach dx ist, das nach x ableiten ist, 2x, sehr schön.
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Also ist rein formal, und mit ein paar mehr Semestermathematik nicht nur formal, sondern auch wirklich, wenn man diesen Symbolen dz und dx einen vernünftigen Sinn gibt,
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ist dann offensichtlich, dx gleich dz durch 2x, oder besser anders rum geschrieben, 2x dx gleich dz. Also wenn Sie sich das hier angucken, rein formal, was ist dz, 2x dx, und so macht man das dann Ingenieur-mäßig.
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Ich arbeite hier weiter und sage, aha, das ist also das Integral von 2 bis 3, 1 durch z, und jetzt steht da x dx, aber was ist x dx, x dx ist dz halbe.
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Und Sie haben dasselbe, was ich dahingeschrieben habe jetzt mit u, warum ist eigentlich u geworden, egal. Das ist u oder z, das ist die andere Art. Noch einprägsamer ist vielleicht, wenn man das mit Kürzen hinschreibt, ich probiere das mal mit Kürzen.
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Formales Kürzen von diesen Differenzialen, ich schreibe das hier nochmal hin, 2 bis 3x durch 1 plus x², 2 bis 3x durch 1 plus x². dx, den hier nenne ich zu u oder z, wie auch immer, bleiben wir bei z, und ich möchte gerne von dx nach dz, was ist dz nach dx, dz nach dx ist 2x.
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Ich gucke sich das an, was steht hier, hier steht das Integral von 2 bis 3, 1 durch z, was ist x jetzt noch, x ist über, ich schreibe es euch
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mal hin, x dx, so, x ist noch über, und dann das ist das, das Integral von 2 bis 3, 1 durch z, x ist ein halb dz nach dx, dx,
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und dieses x hier ist ein halb dz nach dx, und dann ist man in der Physik und in Ingenieurwissenschaften gnadenlos und sagt, auch dann kürzen wir hier, dx und dx kürzen.
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Was gefährlich ist, weil sie müssen auch die Grenzen dann anpassen, das Integral ist jetzt über z, sie dürfen nicht vergessen, die Grenzen anzupassen, aus der 2 wird 1 plus 2², oder 5, und aus der 3 wird 1 plus 3², eine 10, 1000 Wege nach Rom, ich arbeite mal hier mit dem letzten weiter, die anderen sahen ja genauso aus,
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es gibt also das Integral von 5 bis 10, ein halb 1 durch z dz, das ist eine 2 und das ist ein z, Stammfunktion zu 1 durch z, eine Stammfunktion zu 1 durch z bei der Logarithmus vom Betrag,
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ein halb mal den Logarithmus vom Betrag von z in den Grenzen von 5 bis 10, der Betrag ist hier egal, weil die Zahlen nur positiv sind, macht also ein halb mal den Logarithmus von 10 minus den Logarithmus von 5,
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ich meine natürlich die ganze Zeit den natürlichen Logarithmus. Ich glaube, das Praktischste ist folgendes, man weiß, hat einmal gesehen, dass die Substitutionsregel von der Kettenregel herkommt,
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eine Funktion, hier der Kehrwert einer inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion, und dann kriege ich ein Integral von der äußeren Funktion mit angepassten Grenzen, das hat man einmal gesehen und verstanden, und dann ist man im wahren Leben faul und sagt, eigentlich, eigentlich, eigentlich geht es doch auch so,
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ich bilde hier die Ableitung meiner neuen Variablen nach der alten Variablen, setze das ein und kürze hier rein formal und vergesse nicht, denke dran, während ich hier kürze, dass ich auch die Grenzen anpassen muss, die Substitutionsregel sagt, dass ich hier formal kürzen kann.