Jetzt gibt es mal voll, die Integrale auszurechnen, das Integral von 2 bis 3 über Wurzel 4x plus 5, dann das Integral von 2 bis 3 an x mal die Wurzel x plus 1

und dann das Integral von 2 bis 3 x mal e hoch minus x²,

die anderen schreibe ich mal hier hin, das Integral von 1 bis 4 x² plus 1 durch x² minus 3x

und das Integral von 1 bis 2 von demselben, x² plus 1 x² minus 3x dx.

Da sollte mit diesen Regeln alles funktionieren. Letztes Mal habe ich schon lang und breit erzählt, dass sich Integrale einfach wieder mit üblichen Funktionen lösen lassen, ist eher Zufall. Die ganzen Aufgaben in der Schule und im ersten Semester sind so gemacht,

dass man Integrale dann tatsächlich mit den üblichen Funktionen lösen kann, dass man eine Stammfunktion finden kann. In der wahren Welt ist das beim besten Willen nicht so. In der wahren Welt ist das Zufall, wenn Sie es schaffen, solche Integrale tatsächlich mit Stammfunktionen, die Stammfunktion wieder mit üblichen Funktionen hinzuschreiben.

In der wahren Welt muss man sehr häufig numerisch integrieren und hat keine analytischen Lösungen. Aber wir gucken uns das jetzt erstmal so an. Mit diesen drei Regeln sollte das funktionieren. Fangen Sie vorne an. 1, 2, 3, 4, 5. Also das erste Schreit nach Substitution.

Eine andere Funktion soll integriert werden. Also von 2 bis 3 hätte ich gerne 4x plus 5 dx. Das sieht auch so aus wie von 2 bis 3.

Innen drin steht u von x und die Wurzel ist mein f. Eine Funktion einer anderen Funktion. Das ungeschickte ist jetzt aber, dass die Substitutionsregel mit diesem f von u noch nicht glücklich ist. Die Substitutionsregel will auch die Ableitung drin stehen haben.

Zurück zur Substitution. Die Substitutionsregel will nicht nur f von u haben, die Substitutionsregel will die Ableitung haben. Aber das ist keine große Kunst. Das können wir uns dichten. Die Ableitung ist nämlich einfach 4.

Wenn Sie 4x plus 5 nach x ableiten, ist die Ableitung einfach 4. Ich dichte mir das. So, das wäre die Form, die ich haben will. Hier steht jetzt noch die innere Ableitung. Das natürlich nicht gleich. Aber das kann ich gleich machen, indem ich noch ein Viertel davor schreibe. Das ist ein Viertel mal 4. Das macht nichts kaputt.

Aber jetzt steht hier tatsächlich meine Funktion von u von x mal die Ableitung von u. u' von x. Das steht hier jetzt im Integral. Die Wurzel ist f, u ist 4x plus 5 und hier steht u'.

Und jetzt geht Substitutionsregel. Das ist also ein Viertel. Und nun kann ich substituieren. Es steht dann nur noch f von u, also die Wurzel von u, du. f ist die Wurzel. Unter der Wurzel ist mein u von x du in den Grenzen.

Jetzt vorsichtig, nicht von 2 bis 3, sondern von u von 2 bis u von 3. Also immer an Zweitgönchensalz denken. Ich brauche die Ableitung und ich muss die Grenzen ändern. Das ist ein Viertel. Dieses u, hier können wir ausrechnen.

u von 2. 4 mal 2, 8 plus 5 sind also 13. Und hier u von 3, 12 plus 5 sind 17. Über die Wurzel, das ist ja netterweise u hoch eineinhalb du. Dafür können wir eine Stammfunktion für u hoch eineinhalb.

Das hat eben funktioniert. Also hier dann u hoch dreieinhalb. Wenn sie ableiten, kommen dreieinhalb nach vorne. Ich will aber kein dreieinhalb nach vorne, also schreibe ich hier noch zwei Drittel. In den Grenzen von 13 bis 17. Sicherzahler nochmal Probe ableiten. Den hier nach u, u ist die Integrationsvariate, nach u ableiten.

Die dreieinhalb kommen als Faktor nach vorne. Zwei Drittel mal dreieinhalb macht eins. Und die dreieinhalb werden um eins vermindert. Einhalb. Macht also insgesamt ein Viertel nicht verbaseln. Ein Viertel mal das hier. Ein Viertel mal zwei Drittel mal 17 hoch dreieinhalb minus 13 hoch.

Dreieinhalb, das kehren wir dann also raus. Das wäre jetzt die Substitutionsregel total streng angewendet. Man wird das im ingenieurmäßigen Alltag ein bisschen laxer handhaben.

Das habe ich ja eben schon angesagt. Im Alltag macht man einfach diesen Trick mit dem Kürzen. Man überlegt sich hinter Mathematik, das funktioniert, schön. Und da muss ich mir gar nicht den ganzen Aufwand machen. Dann kürze ich eben einfach, wenn ich kürzen darf.

So würde das dann aussehen. Nochmal dasselbe Integral, jetzt ingenieurmäßig. Wurzel 4x plus 5. Ingenieurmäßig. Oder physikermäßig. Die Physiker sind da noch eine Nummer genadenloser, glaube ich, als Ingenieure.

Wurzel 4x plus 5. Von zwei bis drei. Substitution heißt, das hier wird U werden. Das ist die Substitution. Jetzt nehmen wir wirklich eine Substitution hier.

Substitution. Und dann sagen sich die Physiker und Physiker sagen sich dann, da Dx ist jetzt ungeschickt, da steht ein U. Jetzt steht hier ein Dx, das nervt mich. Aber ich möchte hier auch ein Du haben. Wie hängen Dx und Du zusammen?

Das können wir uns schnell überlegen. Du nach Dx steht ja einfach dann. Das heißt also 4 mal x plus 5. Ableiten nach Dx ist 4. Und das darf man dann, zumindest in der Physik und im Ingenieurwesen,

darf man das dann ganz schräg lesen, dass man sagt, oh es ist also Du. Lassen Sie das auf. Ist Du also gleich 4 mal Dx. Oder Dx ist gleich ein Viertel Du.

Wenn Sie das auflösen, Du nach Dx ist gleich 4. Die Mathematiker kriegen graue Haare an der Stelle. Aber wenn Sie sich das ganz formal angucken, Du nach Dx ist gleich 4. Und das auflösen, wenn Sie das auflösen, die 4 nach links rüberbringen, ein Viertel Du.

Das Dx auf die andere Seite rüberbringen, haben Sie, Dx ist gleich ein Viertel Du. Das wäre die Ingenieurmäßige Rechnung. Ich bestimme die Ableitung und löse dann auf. Du ist so und so viel mal Dx. Oder Dx ist so und so viel mal Du. Das kriege ich raus. Und das setze ich hier oben ein.

Für mein Dx. Und jetzt habe ich eine Integralwurzel U. Und das Dx wird werden ein Viertel Du. Mein Dx ist notiert zu einem Viertel Du. Und jetzt muss ich natürlich die Grenzen einsetzen. Das darf man auch hier nicht vergessen. U für x gleich 2 und U für x gleich 3.

Und die Rechnung dieselbe, die wir vorher hatten, die ein Viertel. Dann nehme ich das Viertel aus. Dieses ein Viertel hatten wir eben auch. Auf etwas andere Weise. Da war das ein Viertel. Das Ergebnis wird dasselbe sein.

Das wäre das etwas laxere Vorgehen. Wenn man dann mal weiß, dass Substitutionsregel funktioniert und dass sie im Endeffekt nichts anderes bedeutet, als dass man diese Differenziale kürzen kann, dann kann man auch so vorgehen, dass man sagt, hier steht eine Funktion U unter der Wurzel. Ich baue mir eine neue Funktion U, das unter der Wurzel.

Jetzt ist es aber blöde, dass x meine Integrationsvariable ist. Ich würde gerne U, meine neue Funktion zu einer Variablen machen. Also bestimme ich den Zusammenhang zwischen U und x durch die Ableitung und ersetze hier dann. Dx ist gleich in diesem Fall ein Viertel Du. Und bin bei dem hier.

Genau dasselbe, was wir eben auch hatten. Selbes Resultat. Die Rechnung ist aus Sicht der Mathematik fragwürdig, führt aber zum richtigen Resultat, weil wir in der strengen Mathematikrechnung ja dasselbe rauskriegen. Ich glaube, der wesentliche Trick an dieser Stelle ist dieses hier,

dass man sagt, dieses Dx möchte ich gerne in meinen neuen Variablen U ausdrücken. Und das mit der Ableitung macht. Du nach Dx kann ich ausrechnen. Und dann kriege ich Dx ausgedrückt mit Du. Den hier. Und dann schreibe ich da hinten hin.

In diesem Fall ein Viertel Du. So werden Sie das typischerweise sehen. Sie sehen, hier wird dann sogar nicht mal ausdrücklich mehr gekürzt. Das habe ich dann auf andere Weise eingebaut.

Außerhalb der Mathematik, wenn es um Ingenieurkunst geht und um Physik geht, sehen Sie die Substitutionsregel genauso und nicht anders. Und das geht natürlich dann auch in der Klausur. Weil das Ergebnis ja stimmt netterweise. Die Begründung ist nicht ganz, das soll ich sagen, nicht ganz unzweifelhaft. Wenn man sagt, Du nach Dx ist 4, dann ist also Dx gleich ein Viertel Du.

Diese Begründung ist eher zweifelhaft. Man kann die mit Leben füllen. Nach zwei weiteren Semestern Mathematik kann man sowas tatsächlich dann hinschreiben. Aber erst mal ist die Begründung zweifelhaft. Aber das Ergebnis ist richtig. Und netterweise rechnet einfach jeder so, dürfen Sie auch in der Klausur so rechnen. Das hier eben ist nur der strenge Weg gewesen,

um zu zeigen, wie man offiziell in der Mathematik auf das Resultat kommt. Im wahren Leben rechnet man dann einfach mit diesen Differentialen so, als ob nichts gewesen wäre. Dx ist gleich so und so viel mal Du.

x mal Wurzel, x plus 1. Von 2 bis 3. x mal die Wurzel, x plus 1. Hier steht ein Produkt, x mal Wurzel. Das könnte nach verschiedenen Sachen schreien. Einmal könnte das nach Substitutionsregeln schreien.

Wenn hier z.B. x² unter der Wurzel stünde, dann hätte ich hier etwas, was für die Ableitung aussieht, von dem x². Dann würde ich Substitutionsregeln probieren. Das hier würde ich aber eher, die Originalaufgaben würde ich eher mit partieller Integration versuchen.

Der Gedanke ist, wenn ich x ableite, dann wird es einfacher. Dann muss ich eine Stammfunktion für die Wurzel angeben. Das kriegt man noch hin. Wogemerkt x ableiten, damit es einfacher wird. Jetzt habe ich bei einigen gesehen, dass sie die Wurzel abgeleitet haben. Das wird ja eher schlimm. 1 durch 2 mal die Wurzel und dann eine Stammfunktion für x angeben müssen.

x² halbe. Das macht das ganze schlimmer. Also überlegen Sie sich bei der partiellen Integration, welche abgeleitet werden soll, damit es einfacher wird. Hier sollte der erste abgeleitet werden. Und den zweiten, von dem kriege ich eine Stammfunktion.

Notfalls mit Substitution, aber eigentlich auch zu Fuß. Wenn Sie sich überlegen, welche Funktion leite ich ab, dass Wurzel x plus 1 rauskommt. Wenn Sie erst einmal nur den nehmen, welche Funktion leite ich ab, dass die Wurzel rauskommt. Das hatten wir gerade schon. 2 drittel mal x hoch 3 halbe. Dann habe ich nur die Wurzel.

Und für das plus 1, probieren wir doch einfach mal den hier. Wenn Sie den probeweise ableiten, die 3 halbe kommen nach vorne, kürzen die 2 drittel. Und dann kommt noch eine innere Ableitung dazu. Natürlich ist es einfach 1, die 3 halbe werden. Und 1 verringert, haut hin.

Dieses plus 1 verschiebt ja einfach meine Funktion. Entlang der x-Achse. Das heißt, das macht nichts Schlimmes mit Ableitungen oder mit Integralen. So möchte ich das anwenden. Das heißt, in meiner Regel, die ich eben hatte, wo ist sie? In meiner Regel, die ich eben hatte, da ist sie nicht, da ganz oben.

Ich starte mit f' mal g. In dieser Regel. F' wird integriert. Das heißt, dieses hier muss f' sein, und dieses hier muss g sein, um sie zu irritieren. Von g bilde ich ja die Ableitung. g' von x. Von f' brauche ich eine Stammfunktion.

f von x. So muss das sein. Den hier integrieren, das ist also f', und den hier ableiten, das ist also g. So, was kriege ich dann? Jetzt kriege ich f mal g. Die beiden nicht abgeleiteten Funktionen in diesen Grenzen, 2 bis 3,

nicht abgeleitet. Also x für das g, und für das f, die 2 drittel x plus 1 hoch 3 halbe. 2 drittel x plus 1 hoch 3 halbe. Das wäre dieser Rannentherm. Eine Stammfunktion zu f'

und das x, wie es da gestanden hat. Beide nicht abgeleiteten Funktionen, so merke ich mir das. Hier die nicht abgeleitete Funktion minus das ganze Ding mit vertauschten Rollen. Statt g, g' den ersten ableiten,

und von f' eine Stammfunktion. f, 2 drittel x plus 1 hoch 3 halbe. dx, hier steht jetzt also g' von x, und hier steht f von x. Vertauschte Rollen, einen ableiten,

von dem anderen die Stammfunktion. Wie sieht das bis dahin aus? Ich privat notee das immer hier so mit den Pfeilen. Ich weiß nicht, wenn es Ihnen hilft, ich schreibe es vielleicht auch mit solchen Pfeilen, den möchte ich ableiten,

und von dem suche ich eine Stammfunktion. Bei dem Rannentherm nehme ich dann die beiden nicht abgeleiteten Funktionen, die tauchen hier auf, und bei dem Integral, was übrig bleibt, mit dem Minus, nehme ich die beiden anderen Kandidaten, also einen abgeleitet und vom anderen die Stammfunktion,

die tauchen da hinten auf. So schreibe ich mir das auf. So, und das ist jetzt schon fast lösbar, was hier übrig ist. Machen wir hier weiter. Das ist also, hier die 3 einsetzen, 2 drittel mal, also 4, einfach nur, 3 plus 1,

4 hoch 3 halbe mal 3, und die 2 einsetzen, Minus, 2 drittel mal 2 plus 1 hoch 3 halbe mal 2, 2 drittel mal 2 plus 1, also 3, hoch 3 halbe mal 2,

das ist der erste Term, Minus, jetzt kann ich hier die 1 sowieso vergessen, 2 drittel aus dem Integral ziehen, 2 drittel, das Integral von 2 bis 3, x plus 1 hoch 3 halbe, dx, die nächste Seite,

also hier die 2 drittel aus dem Integral gezogen, die 1 sowieso vergessen. Wie gehen Sie an dieses Integral? Genau, nach dem selben Schema wie eben. Ich suche eine Funktion, deren Ableitung x plus 1 hoch 3 halbe ist,

dann probieren wir doch einfach mal ganz x plus 1 hoch 5 halbe, denn beim Ableiten werden aus den 5 halben, minus 1, 3 halbe, wunderschön, es kommt aber ein Faktor 5 halbe davor, den kann ich aber rückgängig machen, mit 2 fünftel, und jetzt ist die Welt in Ordnung, wenn Sie das ableiten nach x,

kommt 5 halbe als Faktor dafür, kürzig, 5 halbe wird zu 3 halbe, mal die innere Ableitung, x plus 1, die innere Ableitung ist aber 1. Das wäre eine Stammfunktion, die nehme ich jetzt in den passenden Grenzen von 2 bis 3, und dann wird das Ganze, ohje, monströs, das Ganze, was hier vorne steht, das schreibe ich jetzt nicht hin,

das Ganze, was da vorne steht, minus 2 drittel, mal 2 fünftel, mal, und was haben wir jetzt hier, 4 hoch 5 halbe, 4 hoch 5 halbe, minus 3 hoch 5 halbe, wird irgendwas wirkliches werden. Aber an der Stelle ist ohne

Taschenrechner ziemlich feierabend. Das kostet ein bisschen Aufwand. 4 hoch 5 halbe, nein, das würden wir irgendwie noch hinkriegen. Das ist mir gar nicht aufgefallen. Nebenbei, 4 hoch 5 halbe, das würden Sie sogar noch ohne Taschenrechner hinkriegen. Ich würde jetzt nicht verlangen, dass das jemand ohne Taschenrechner hinschreibt,

aber ich sehe es gerade nur. Was ist 4 hoch 5 halbe ohne Taschenrechner? Genau, also 32. Ihr Weg war jetzt 4 hoch 5 halbe ist 4 hoch 2 plus 1 halbe. 5 halbe, 2 1 halbe, 2 plus 1 halbe, ist also 4 hoch 2 mal

4 hoch 1 halbe, 4 hoch 2 ist 16, 4 hoch 1 halbe, Wurzel aus 4 ist 2, ist 32. Ich wäre anders dran gegangen, ich hätte 4 hoch 1 halbe gerechnet, ist 2 hoch 5, 32. Viele Wege führen nach oben. Also einige von diesen Zahlen kann man tatsächlich noch ausrechnen,

aber im Endeffekt lohnt sich das nicht. Wenn das da steht, sollen wir das erreichen. Wesentliche Geschichte ist, den leite ich ab, damit es einfacher wird, und was für Terme treten dann auf bei der partiellen Integration?

Das sind gerne Sachen, bei denen man sich höllisch verrechnen kann, tue ich auch regelmäßig, man muss dann eben massiv Proberechnen an der Stelle, beziehungsweise, ehrlich gesagt, im wahren Leben, würde ich das dann doch einfach in Wolfram Alpha eintippen, mir geht es darum, dass Sie eine Idee haben, was denn hinter diesen ganzen

Integrationsoperationen steckt. Im wahren Leben macht man heute sehr wenig von diesen Integrationen wirklich zu Fuß, weil man die Software dahinter hat. Das war mal so vor 20, 30 Jahren ein wesentlicher Bestandteil des Studiums noch, dass man alle möglichen schrägen Integrale irgendwie noch gerade so ausrechnen kann. Ein völliger Wahnsinn aus heutiger Sicht,

weil das kann der Computer viel besser, selbst wenn Funktionen gefragt sind. Das macht er zum Beispiel von Wolfram Alpha. Dann geht es, wenn es hier nicht noch Fragen gibt, also die Frage, warum lösen wir das hier nicht mit Substitution?

Ich würde ganz einfach sagen, weil ich VW, würde ich das nicht mit Substitution lösen. Das könnte man. Andererseits kann man auch direkt eine Stammfunktion hinschreiben. Wenn Sie es einmal gesehen haben, ist das einfach klar, das ist eine Stammfunktion. Man könnte es mit Substitution machen, die Innenableitung ist eins. Das hilft ja nicht so viel mit Substitution.

In der Tat. Also wenn Sie das hier einmal gesehen haben, wie das funktioniert, dann habe ich auch keine Probleme, wenn Sie einfach ein Viertel davor schreiben. Diese Funktion hier wird viermal so schnell durchlaufen wie die Originalfunktion. Wenn Sie sich das vorstellen, die Wurzel ist natürlich eine andere Funktion, irgendeine Funktion mit 4x drinnen wird viermal so schnell durchlaufen.

Wenn Sie die Fläche bestimmen unter der Funktion, die viermal so schnell durchlaufen wird, ist das sinnvollerweise ein Viertel von der Fläche davor, die drunter war. Das kriegt man natürlich auch anders hin als mit Substitution. Das hier ist wirklich die billigste Substitution, die man sich überhaupt vorstellen kann. Wenn hier jetzt x² stünde oder viermal der Sinus, dann wird das Ganze fieser,

weil dann hier nicht eine Konstante steht. Insofern war das hier wirklich eine sehr einfache Fingerübung für Substitution. Da würde ich auch sagen, irgendwann ist man dann in der Lage und klammert einfach das ein Viertel aus und ist gut. Und man schreibt gar nicht die Einzelteile hin.

Der nächste x mal e hoch minus x² integrieren. Auch wieder von 2 bis 3. x mal e hoch minus x² dx. Und hier ist von der Reihenfolge gemeint, erst quadrieren und dann e hoch.

So liest man das. So, das ist eine fiese Aufgabe, weil, wenn man das so auf anhebt, sieht, möchte man meinen, auch wenn ich hier vorne ableite, dann ist die Welt doch in Ordnung, aus dem x wird eine 1, und dann brauche ich von dem hier hinten eine Stammfunktion.

Das wäre doch nicht schlecht für partielle Integration. Der Ärger ist, von dem kann man in normalen Funktionen keine Stammfunktionen angeben. Wenn Sie das mit Wolframm-Alpha versuchen, kriegen Sie irgendwas mit Error, Function und so und so viel von ein paar Faktoren da drin und davor. Es gibt für dieses hier keine Stammfunktionen,

die man mit üblichen Funktionen hinschrauben kann. Das ist ärgerlich. Insofern kommen wir hier mit partieller Integration nicht weiter, aber mit Integration durch Substitution. Wenn Sie sich dieses x angucken, dieses x hat was mit der Ableitung der inneren Funktion zu tun. Leere Ableitung hier ist minus 2x. Das passt wunderbar mit dem x

zusammen. Das ist ja die Situation der Substitutionsregel, dass die innere Ableitung als Faktor noch dabei steht. Vielleicht sollte das mal jetzt hier in der Ingenieurs- mäßigen Form bauen. Substitution wäre also

u ist gleich minus x², meine innere Funktion. Ich muss wissen, wie du und dx zusammenhängen. du nach dx ist, wenn Sie einfach ableiten, minus 2x, wenn wir das auflösen.

Ich möchte dx wissen. dx bringe ich nach rechts und das heißt, ich muss durch minus 2x teilen. Dann steht da, das ist du u durch minus 2x ist also minus 1 durch 2x mal du. Das setzt man da ein

und hat nun das Integral. x mal e hoch u minus x² ist u. dx steht hier, dx ist minus 1 durch 2x mal minus 1 durch 2x du. dx ist minus 1 durch 2x du, das ist diese Ingenieur-

mäßige Ersetzung. Und jetzt freut man sich, dass man kürzen kann. Dieses x und das x und dann kriegt minus ein halb, das kann ich jetzt aus dem Integral rausholen, minus ein halb, oh, die Grenzen habe ich noch vergessen.

e hoch u du die Grenzen. Jetzt muss ich natürlich die Grenzen für u haben, nicht mehr die Grenzen für x. Also hier steht minus 2² und da steht minus 3². Was setze ich für u ein? Der Anfangswert für u ist minus 2²

und der Endwert für u ist minus 3². Also hier geht das von minus 4 bis minus 9. Eine Stammfunktion zu e hoch u, die gibt es geschenkt, e hoch u nämlich, minus ein halb, jetzt mal eine Stammfunktion hier, e hoch u, von minus 4 bis minus 9.

Sie sehen, was hier aber witziges passiert, die obere Grenze ist links von der unteren Grenze. Die minus 9 liegt auf der linken Seite, ich integriere nicht wie üblich, von links nach rechts, ich integriere falschrum, von minus 4 nach minus 9,

ich integriere falschrum. Aber Sie sehen, das geht ohne großen Schaden durch. Das ist minus ein halb und jetzt setze ich oben ein, e hoch minus 9, ich setze unten ein, e hoch minus 4. Das Integral falschrum heißt

nämlich einfach nur das Vorzeichen zu ändern. Ich ziehe von dem Ende den Anfangswert ab und wenn die beiden vertauscht sind, kriege ich einfach ein negatives Vorzeichen. Das macht also insgesamt, wenn ich dieses ein halbe, vielleicht noch so nett drunter schreibe,

minus minus e hoch minus 4, minus e hoch minus 9, so sieht das aus. Und jetzt ist auch eine positive Zahl. e hoch minus 9 ist kleiner als e hoch minus 4, hier oben steht eine positive Zahl durch 2, ist tatsächlich eine positive Zahl. Das käme da raus.

Also man darf sich nicht ins Box jagen lassen. Einige Integrale sehen aus wie Produktregel, aber gehen leider gar nicht mit Produktregel, sondern in diesem Fall mit Substitution. Und wie schon gesagt, kann man nicht oft genug sagen, wenn Sie irgendein echtes Integral haben

aus dem wahren Leben, geht wahrscheinlich sowieso keine von den ganzen Regeln. Und das Ding lässt sich nur numerisch lösen. Dieses Integral hier, gucken wir uns gerade mal zusammen an, Fällt Ihnen an dem Integral was auf?

An dem hier? Irgendwelche Probleme? Wenn ich mir die Polstellen dieser Funktion hier angucke, wenn ich 0 in den Nenner einsetze, 0² minus 3 mal 0, da kommt 0 raus. Und wenn ich 3 einsetze, 3² minus 3 mal 3 kommt 0 raus.

Beide sind wirklich Polstellen, denn wenn ich oben 0 einsetze, 0² plus 1, ist das nicht 0. Und wenn ich 3 einsetze, 3² plus 1, ist auch nicht 0. Also ich habe 2 Polstellen, eine bei 0 und eine bei 3. Und was sagt mir das? Und das heißt, das kann nicht funktionieren. Von 1 bis 4 kann ich dieses Ding

nicht integrieren. Das fliegt mir um die Ohren. Weil ich an der Stelle 3 eine Polstelle habe, die ist im Integrationsbereich. Ich kann von 1 bis 2 integrieren. An der Stelle 0 habe ich einen Pol, an der Stelle 3 habe ich einen Pol. Von 1 bis 2 kann ich integrieren, aber ich kann nicht von 1 bis 4 über die Polstelle integrieren.

Also der kann schon nicht funktionieren. Gucken wir uns den letzten an. 1 bis 2, x² plus 1 durch x² minus 3x dx.

Der wird funktionieren, weil ich keine Polstelle in diesem Bereich habe, im Integrationsbereich habe. Und die Regel dafür ist natürlich selbstverständlich Partialbruchzerlegung. Hier steht eine rationale Funktion. Und das werde ich dann sinnvollerweise mit Partialbruchzerlegung machen. Der erste Schritt dabei

ist festzustellen, ob ich denn Polinomdivision machen muss oder nicht. Wie steht es damit? Muss ich Polinomdivision machen oder nicht? Hier muss ich gerade noch Polinomdivision machen. Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, ist gerade noch Polinomdivision möglich. Sie kriegen eine Konstante heraus.

x² plus 1 durch x² minus 3x. Polinomdivision. Sie sehen x² durch x² macht 1. Da kommt tatsächlich noch etwas raus. Bei der Polinomdivision ist nicht gerade überragend, was da rauskommt, aber es kommt nicht 0 als Ergebnis. 1 kommt hier als Ergebnis. x² durch x² macht 1.

Wenn hier oben nur x gestanden hätte, nicht x², wenn hier oben nur x gestanden hätte, dann hätte ich keine Polinomdivision machen müssen. Oder wenn unten x hoch 3 gestanden hätte. So, 1 und wie geht es jetzt weiter? Zurückmultiplizieren ist x² minus 3x. Den muss ich abziehen. x² minus x² hebt sich weg.

Dann bleiben hier 3x minus 3x plus 1. Das ist natürlich mein Rest hier unten. 3x kriege ich nicht mehr durch x² geteilt. Das heißt, hier rechne ich das Integral von 1 bis 2 von 1 plus und jetzt hier den Rest.

3x plus 1 durch x² minus 3x dx und so weiter.

Das Integral über die 1 kriege ich geschenkt. Und dann bleibt das Integral da hinten stehen. Dann schreibe ich das jetzt mal hin. Also hier geht das jetzt weiter. Was ist das Integral über die 1? Also ich kriege das Integral von 1 bis 2 über die 1. Und ich kriege das Integral von 1 bis 2

über diesen Bruch, den ich gerade schon wieder vergessen habe. 3x plus 1 durch x² minus 3x. 3x plus 1 durch x² minus 3x dx. Dieses Integral hier vorne von 1 bis 2. Die Funktion integrieren, die 1 hoch ist. Da schreibe ich keine Stammfunktion hin,

sondern das lese ich einfach direkt ab. Das muss 1 sein. Diese Fläche hier ist 1. Ist 1 breit und ist 1 hoch. Bleibt das hier hinten? Das geht jetzt mit Partialbruchzerlegung. Für den Teil.

Ich möchte gerne das 3x plus 1 zerlegen. Dazu interessieren mich die Polstellen. Die hatten wir gerade schon. Den Nenner kann ich zerlegen in x mal x minus 3. Und wir wissen schon, dass tatsächlich x gleich 0 und x gleich 3 Polstellen sind. Das ist schon gekürzt.

Es gibt nicht Polstellen, die wegfallen oder eine niedrige Ordnung haben. Hier ist es schon so weit gekürzt, wie es geht. Das heißt, was ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung? Polstelle 1. Ordnung bei x gleich 0. A durch x schreibe ich hin. Polstelle 1. Ordnung bei x gleich 3.

B durch x minus 3 schreibe ich hin. Das wäre der Ansatz. Wenn ich Polstellen höherer Ordnung, mehrfache Polstellen habe, dann müsste ich hier noch weitere Terme haben. Aber an dieser Stelle ist das schon klar. Dieses A und B könnte man schuhmäßig bestimmen oder einfach ablesen. Sie sehen, wenn Sie 0 einsetzen, was passiert. Wenn x 0 wird,

steht oben 1 und hier steht minus 3. Das heißt, dieses A ist schlicht und ergreifend. Wenn wir gerade gucken, oben steht wenn ich 0 einsetze, steht oben 1, unten steht minus 3. A ist also minus ein Drittel.

Und B, wenn ich 3 einsetze, dann steht oben 9 plus 1 sind 10 durch 3. B ist 10 Drittel. Kann man auch, indem man es auf einen Bruchstrich bringt und so weiter, lohnt sich nicht. Und jetzt sind wir beim Integral insgesamt. Das Integral ist also

1 plus das Integral von 1 bis 2. 1 plus das Integral von 1 bis 2. Und jetzt habe ich diesen Bruch ja anders geschrieben. Minus 1 durch 3 mal x, der erste, plus 10 Drittel mal 1 durch x minus 3.

Das ist der Effekt der Partialbruchzerlegung. Hier vorne habe ich ein sehr einfaches Polynom abgespalten. Und den zerlege ich jetzt in Partialbrüche. Das heißt, dieses hintere Integral wird jetzt dieses hier. Und das kann ich mit üblichen Funktionen lösen.

Hier brauche ich jetzt eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion zu minus 1 durch 3x. Was halten Sie davon? 1 durch x, dazu eine Stammfunktion, wird logarithmisch. Besser noch logarithmisch Betrag.

Ln von Betrag. Das gäbe 1 durch x. Aber ich will ja minus 1 Drittel, also minus 1 Drittel vom Logarithmus. Und hier das muss ja sein, der Logarithmus verschoben. 10 Drittel als Faktor bleibt. Und hier muss sich der Logarithmus einfach verschieben um 3. Also steht hier der Logarithmus vom Betrag x minus 3.

Und das jetzt in den Grenzen von 1 bis 2. Rechne ich das noch aus? Muss sein. Ist also 1 plus So, jetzt setzen wir 2 ein. Na toll, braucht das Plus nicht. 2 setzen wir ein. Minus 1 Drittel den Logarithmus von 2. Plus 10 Drittel mal den Logarithmus.

Ich sage immer Logarithmus in natürlichem Logarithmus. Betrag von 2 minus 3. 2 minus 3 ist minus 1. Betrag, also Logarithmus, 1. Minus Jetzt die 1 einsetzen und abziehen. Minus 1 Drittel mal den Logarithmus. Betrag 1 ist 1.

Plus 10 Drittel Mal den Logarithmus 1 minus 3 ist minus 2. Also hier den Logarithmus. Betrag 2. Hier kann man das noch vereinfachen. Womit potentiere ich die Zahl E damit 1 rauskommt mit 0?

Der Logarithmus aus 1 ist 0. Und der hier ist auch 0. Und dann haben wir insgesamt, das ist Ich schaff's da drunter. Haben wir insgesamt, da wird das was. 1 Minus ein Drittel Logarithmus 2. Minus 10 Drittel Logarithmus 2. Alles richtig.

Minus ein Drittel Logarithmus 2. Minus 10 Drittel Logarithmus 2. Also 1 minus 11 Drittel Logarithmus. Aus 2. Das wird das werden. Ein einfaches Beispiel für Partialbedürfungszerlegung zur Integration.