Dumme-Finger-Übung zu integralen. Ein Integral von 3 bis 5, von x², natürlicher Logarithmus von x, dx. Rechnen Sie das mal aus mit partieller Integration. Über große Strecken haut es ja hin.

Sicherheitshalber nochmal, wie es zustande kommt. Die Regel für die partielle Integration. Ich will integrieren die Ableitung einer Funktion mal eine andere Funktion. Ich schreibe es jetzt mal ganz schematisch so hin. Stammfunktion von f' mal g. Und was ich kriege ist f' mal g, die beiden nicht abgeleiteten Funktionen, minus das Integralanlass herum.

f' mal g'. Das stammte von der Produktregel. Wenn Sie sich die Produktregel angucken, wie leite ich ein Produkt ab? Ich schreibe es mal ganz schematisch so. f' mal g. Davon die Ableitung. Wie leite ich ein Produkt ab?

Den ersten Ableiten mal den zweiten. Plus den ersten Mal den zweiten abgeleitet. Wenn Sie die Produktregel verstanden haben, ist partielle Integration ein Witz. Sie bilden auf beiden Seiten das Integral. Integral einer Summe ist die Summe der Integrale. Integral der Ableitung ist das, was drin steht. Und da steht die partielle Integration.

Wenn ich integriere f' mal g, kriege ich f' mal g minus das Integral andersherum. Da kommt das Minus her. Bei der Produktregel stehen die auf derselben Seite. Die Ableitungen verschieden verteilt.

Da stehen die auf derselben Seite mit einem Plus. Bei der partiellen Integration stehen die verschiedenen Ableitungen hier auf der anderen Seite jeweils. Deshalb das Minus. Und dieses f' g ist einfach das Integral von der Ableitung. So kam die partielle Integration zustande.

Hier habe ich es mit Stammfunktionen hingeschrieben. Wenn Sie bestimmt Integrale haben, also hier was von a bis b, dann ist das natürlich hier in eckigen Klammern von a bis b und hier von a bis b. So sieht es dann aus. Mit bestimmten Integralen.

Das hier schreit nach partieller Integration, weil es ein Produkt im Integranten hier ist. x² mal natürlicher Logarithmus. Dann ist partielle Integration das erste, was ich ausprobiere. Die Frage ist, wen davon nehme ich jetzt als f' und wen nehme ich als g?

Wir sehen f' muss sich integrieren. Vorsichtig sein, Funktionen integrieren macht ja nicht so viel Spaß. g leite ich ab. Das ist einfach. Das geht nach Schema f. Also versuche ich was abzuleiten, als g zu nehmen, was abzuleiten, was durch das Ableiten besser wird. x² wird durch das Ableiten etwas besser, aber der Logarithmus, der wird durch das Ableiten richtig gut.

Ich versuche den Logarithmus abzuleiten. Was für meine Privatnotation hier. Den Logarithmus versuche ich abzuleiten. Der hat also die Rolle von g. x² versuche ich als f' zu nehmen. Ich brauche also eine Funktion f, die abgeleitet das x² wird.

1 drittel x hoch 3. Das ist jetzt meine Interpretation von der partiellen Integration. Einen ableiten und von dem anderen eine Stammfunktion finden. Und was kriege ich? Den Randterm, die beiden nicht abgeleiteten. f mal g. f und g, die beiden nicht abgeleiteten.

Also hier der Logarithmus. In den Grenzen von 3 bis 5. Minus, und jetzt das Integral mit vertauschten Rollen. Wo der eine abgeleitet war, jetzt der nicht abgeleitete und der andere abgeleitet. Also ein drittel x hoch 3. 1 durch x. 1 drittel x hoch 3. 1 durch x.

Die x wird sich da auch noch hinter. Die selben Grenzen. Da gab es Konfusionen. Die selben Grenzen von 3 bis 5. Ich schreibe ja einfach vor die Produktregel, das Integral davor. Da passiert nichts Schräges mit den Grenzen.

Jetzt wird der Platz eng. Toll. Gut, wir setzen 5 ein. 1 drittel mal 5 hoch 3. Das ist nicht lustig. 25 mal 5, 125. 125 drittel mal den natürlichen Logarithmus von 5. Minus 3 einsetzen. 3 hoch 3 durch 3 sind nur noch 3 Quadrat.

Also 9 mal den natürlichen Logarithmus von 3. Und hier hinten jetzt minus Stammfunktion. Ich kann mir noch ein bisschen verschönern. x hoch 3 durch x sind nur x Quadrat. Also kriege ich hier als Stammfunktion. Was muss ich rauskriegen? 1 drittel x Quadrat muss ich rauskriegen.

Hier also x hoch 3. Neuntel würde ich mal sagen. In den Grenzen von 3 bis 5. Wenn ich nun ableite. Test. Ableiten. x hoch 3. Neuntel ableiten. Macht 3x Quadrat durch 9. 3x Quadrat durch 9. Gibt x Quadrat.

Drittel wieder sein muss. Müssen wir das noch ausrechnen. Ich schreibe es mir. Ich schmier es jetzt hier einfach mal daneben. Was hier jetzt also rauskommt, wäre dann nochmal 125. Neuntel minus 3 hoch 3 durch 9. 3 hoch 3 durch 3 Quadrat. Minus 3.

Also insgesamt 125. Drittel. Logarithmus 5 minus 9 mal Logarithmus 3. Minus 125. Neuntel plus 3. Zu einer Sache, die ich eben gesehen habe, sollte ich noch etwas sagen. Das Produkt zweier Funktionen integrieren.

Das wäre schön, wenn das so einfach wäre. Das Produkt integrieren ist nicht im Allgemeinen. Ist nicht dasselbe wie den einen integrieren mal den anderen integrieren. Das können Sie schon an den Einheiten sehen. Stellen Sie sich vor, das ist ein Integral über die Zeit. Und das hier sind Meter. Dann haben Sie zum Schluss hier Sekunde mal Meter mal Meter.

Quadrat Meter mal Sekunde. Hier haben Sie Meter mal Sekunde mal Meter mal Sekunde. Quadrat Meter mal Quadrat Sekunden. Das sieht nicht gut aus. Das kann schon von den Einheiten typischerweise nicht stimmen. Und wenn Sie es dann immer noch nicht glauben, setzen Sie ein Beispiel ein. Nehmen Sie f gleich x und g gleich x.

Rechnen Sie es aus, es kann nicht sein. Typischerweise wird es nicht hinkommen. Im Spezialfällen kommt es hin, dass das Produkt zweier Funktionen integriert. Das Produkt der Integrale ist. Wenn man ohne Einheiten rechnet, kann man es hinkriegen. Aber ansonsten haut es nicht hin. Vorsichtig damit. Das ist wieder so einer wie die Wurzel 1 plus 2.

Ist nicht die Wurzel 1 plus die Wurzel 2. Eine von der Sorte. Erfinden Sie keine neuen Regeln an der Stelle. Es gibt wenige Regeln. Bauen Sie keine neuen dazu. Die Wurzel aus 2 mal 3. Ja, das ist das Produkt aus Wurzel 2 und Wurzel 3. Und beim Integral, das Integral einer Summe.

So ist das Integral gebaut. Es ist auf jeden Fall die Summe der Integrale. Die Flächen addieren sich, auch wenn ich Flächen mit Vorzeichen nehme. Aber nicht beim Produkt im Allgemeinen.