So jetzt hatten wir eine beliebige Potenz durch e hoch x wird im unendlichen Null werden, gegen Null gehen. Jetzt kann man daraus zum Beispiel Folgendes herleiten, dass der natürliche Logarithmus von x durch die 42 zur Wurze von x auch gegen Null gehen wird, für x gegen unendlich.

Leiten Sie das mal daraus her, durch geschicktes Substituieren. Ich will sagen, der Logarithmus wächst langsamer, natürlich nicht nur als die 42. Wurzel, der Logarithmus wächst langsamer als jede Wurzel.

Insbesondere wächst der Logarithmus langsamer als die erste Wurzel. Auch das wird gegen Null gehen. Der Logarithmus durch x wird auch gegen Null gehen, aber das ist ja ein langweiliges Resultat im Verhältnis dazu, dass der Logarithmus durch jede Wurzel gegen Null gehen wird. Versuchen Sie mal zu substituieren, um darauf zu kommen.

Machen Sie mal folgende Substitutionen. Setze x ist gleich e hoch y. Was mache ich dann mit y? x soll gegen unendlich laufen. Gegen was muss y laufen?

Das wäre der Trick, e hoch y mit y gegen unendlich. So können wir uns da aus der Affäre ziehen. Ob ich mir das mit x angucke? x läuft gegen unendlich. Dann kann ich es mir auch mit e hoch y angucken und y läuft gegen unendlich. Hier gehe ich eben viel schneller gegen unendlich als da oben, aber die Geschwindigkeit, Hauptsache überall x mit derselben Geschwindigkeit, macht ja keinen Unterschied.

Sie ersetzen oben überall x durch e hoch y und lassen y gegen unendlich gehen und haben den selben Effekt. Dann geht auch x gegen unendlich. Dann guckt man nach, was dann passieren wird. Sie nehmen den hier, den natürlichen Logarithmus von x durch die 42. Wurzel aus x.

Jetzt diese Substitution. Das ergibt den natürlichen Logarithmus aus e hoch y durch die 42. Wurzel aus e hoch y. Ein, zwei Leute, da habe ich gerade gesehen. Vorsicht, Logarithmus von e.

Nicht vergessen, Umkehrfunktion. Der Logarithmus hebt e auf. Der Logarithmus, der natürlich Logarithmus sagt, womit ich e potenzieren muss, um in diesem Fall e hoch y rauszukriegen, natürlich mit y. Da steht er ja gerade. Und unten die 42. Wurzel. Und das ist jetzt vielleicht ein fieser Trick, das gestehe ich. Der fiese Trick ist jetzt die 42. Wurzel davor zu ziehen, vor den ganzen Bruch.

Dann steht unten e hoch y. Was steht im Zähler? Und im Zähler muss dann natürlich stehen y hoch 42. Die 42. Wurzel aus y hoch 42 gibt es wieder y. So. Fertig.

Weil jetzt habe ich genau diese Situation. Die 42. Potenz durch die Exponentialfunktion von einer Zahl, die gegen unendlich geht. Das wird gegen null gehen. Das haben wir eben schon gesehen, dass das gegen null geht. Ich weiß, dieses hier geht gegen null. y geht gegen unendlich. Dieses geht gegen null.

Und die 42. Wurzel ist eine stetige Funktion. Sie sieht zwar aus der Ferne betrachtet ziemlich eckig aus. Die 42. Wurzel wird irgendwie so laufen. Ziemlich eckig, aber sie ist unter dem Mikroskop eine stetige Funktion. Das heißt, die Wurzel von dieser Zahl, die gegen null geht, wird auch gegen null gehen.

Was zu zeigen war. Also von mir aus auch auf folgende Weise, dass ich sage, das ist y durch e hoch y durch 42.

Eine Exponentialfunktion. Sie sehen, die ist arg gebremst, aber eine Exponentialfunktion. Ich teile y durch eine Exponentialfunktion. Da könnte man es sehen. Oder um das noch ein bisschen deutlicher zu machen. Das ist 42 mal y durch 42 durch e hoch y durch 42. Dann habe ich hier eine Zahl, die gegen unendlich geht.

Erste Potenz durch Exponentialfunktion. Dann geht das gegen null. Mal 42 geht weiterhin gegen null. Könnte man auch machen. 1000 Wege nach oben. Zum Schluss ist das Interessante, was man fürs Leben mitnimmt. Der Logarithmus wächst langsamer als jede Wurzel. Die Wurzeln wachsen ja schon ziemlich langsam.

Und der Logarithmus ist langsamer als jede davon. Wenn Sie sich die Wurzeln vorstellen. Hier müssen wir durch. Die Quadratwurzel, kubische Wurzel, vierte Wurzel, die hundertste Wurzel, die tausendste Wurzel. Die Wurzeln wachsen ja extrem langsam.

Und der natürliche Logarithmus, sieht man, wächst noch langsamer. Er wächst langsamer als die milliardste Wurzel. Und langsamer als die billiardste Wurzel. Das haben wir jetzt gerade gesehen.