KB.24 dritte Potenz einer komplexen Zahl ist 8
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Number of Parts | 187 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10198 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language | ||
| Producer |
Content Metadata
| Subject Area | |
| Genre |
00:00
ZahlAngleLengthSineSineLösung <Mathematik>Complex numberEquationCubic functionExponentiationNumberCubeComplex numberGradientComputer animationDiagram
Transcript: German(auto-generated)
00:01
Gesucht sind alle komplexen Zahlen, deren dritte Potenz gleich 8 ist, alle z-Element z mit z hoch 3 ist gleich 8. Wir können es ja vorsichtig aufmalen in der gauschen Zahlenebene.
00:20
Realteil, Imaginärteil, irgendwo ist die 1. Hier liegt die Zahl i, Imaginärteil 1. Wenn ich jetzt irgendeine komplexe Zahl habe und bilde deren dritte Potenz, verdreifache ich den Winkel und nehme den Abstand zum Ursprung, die Länge dieser Zahl hoch 3.
00:40
Die Zahl 8 hat die Länge 8 und den Winkel 0 oder 360° oder 720°. Aber auf jeden Fall hat die Zahl 8 die Länge 8. Das heißt, die Länge von dieser Zahl muss auch 2 sein. Ich muss nur noch den passenden Winkel finden. Ein ganz dummer Winkel wäre der Winkel 0. Sie nehmen diese komplexe Zahl.
01:04
Bei Realteil gleich 2, Imaginärteil gleich 0. Die Länge ist 2 hoch 3, macht die Länge 8. Den Winkel mal 3 gibt weiterhin den Winkel 0. Es kommt 8 raus. Das hätten wir auch so gewusst. Aber es gibt noch zwei weitere. Das hier ist eine kubische Gleichung. Das wäre überraschend, wenn die kubische Gleichung nicht alle drei Lösungen hätte.
01:24
Dann wäre da irgendwas gewürfelt. Da käme gerade zufällig was hin, dass es so passt. Normalerweise muss diese Gleichung drei Lösungen haben. Diese hat drei Lösungen. Die anderen Lösungen müssen auch alle die Länge 2 haben. Die Länge hoch 3 muss 8 sein.
01:41
Alle anderen müssen die Länge 2 haben. Ich brauche einen Winkel, dessen Dreifaches effektiv 0° ist. 0° nehmen Sie mal 3, kommt 0° raus. 120° nehmen Sie als Nächsten. 120° mal 3 ist 360°, ist effektiv 0°. Der funktioniert auch. Wenn Sie diese Zahl hoch 3 nehmen, landen Sie beim Winkel 360°.
02:06
Wenn Sie 240° oder minus 120° nehmen, geht das genauso. Diese Zahl, von der den Winkel mal 3, landen Sie auch wieder auf der positiven reellen Achse.
02:21
Wir können die Zahlen sogar angeben. Das hier mit Euler. Länge ist zweimal. Jetzt können Sie einfach hier hinschreiben. Das ist also der Cosinus von minus 120° plus i mal den Sinus von minus 120°. Hier oben ist zweimal der Cosinus von 120° plus i mal den Sinus von 120°.
02:51
Jetzt könnten Sie eigentlich noch Cosinus und Sinus als Wurzeln oder einfache Sachen angeben. Das ist ein sehr runder Winkel.
03:00
Das will ich jetzt nicht vorführen. Wie können Sie Cosinus und Sinus 120° und Minus einfacher angeben? Das wird mir erst mal reichen, wenn Sie das schaffen. Ich möchte gerne drei Lösungen hingeschrieben. Realteil, imaginärteil.