Ich hatte ja schon was zur Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer von radioaktiven Atomen gesagt. Was ist, wenn ich 10 hoch 24 Atome habe, alle radioaktiv, mit der Halbwertzeit 100 Jahre? Siehe 1,5 bis 100 Jahre.

Wie viele von denen zerfallen im Mittel pro Sekunde? Natürlich am Anfang, nach 100 Jahren ist ja nur die Hälfte da am Anfang. Wie viele zerfallen im Mittel in der ersten Sekunde?

Hier haben wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer von so einem Atom. Siehe, das war ja E hoch.

Irgendwie muss das jetzt funktionieren, dass jetzt 1 durch 2 hoch die Anzahl der Halbwertzeiten steht. Also E hoch. Und dann überliegen minus den natürlichen Rhythmus von 2 die Zeit durch die Halbwertzeit.

Und dann brauchten wir vorne noch ein Faktor, um das wieder auf die Fläche 1 zu bringen. Natürlichen Rhythmus von 2 durch die Halbwertzeit. Das war die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer. Was haben Sie damit, diese Aufgabe hier hinzukriegen? 10 hoch 24 Atome, 100 Jahre Halbwertzeit.

Wie viele zerfallen in der ersten Sekunde? Das macht ja den Braten nicht fett. Wir sagen mal ein Jahr sind 365 Tage. Die Verteilung der Lebensdauer für ein Atom. Wenn ich das weiß, was mit einem Atom passiert, dann kann ich es ja umrechnen auf 10 hoch 24.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in der ersten, ein gegebenes Atom in der ersten Sekunde zerfällt? Das heißt, seine Lebensdauer ist zwischen 0 und 1 Sekunde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Atom, ein einzelnes gegebenes Atom,

dass die Lebensdauer zwischen 0 und 1 Sekunde ist? Das ist diese Fläche. So funktioniert ja gerade diese Wahrscheinlichkeitsdichte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer zwischen 1 Jahr und 2 Jahren ist? Das ist diese Fläche, das Integral von 1 Jahr bis 2 Jahre.

Und jetzt interessiert mich eben, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer zwischen 0 und 1 Sekunde ist? Das heißt ja, dass das Atom in der ersten Sekunde zerfällt. Die Lebensdauer ist zwischen 0 und 1 Sekunde. Davon die Fläche interessiert mich. Das ist die Wahrscheinlichkeit für ein Atom in der ersten Sekunde zu zerfallen.

Wenn Sie sich diese Funktion hier angucken, da stehen 100 Jahre. Wie kann ich dieses Integral auf die Schnelle ausrechnen? In guter Näherung, in sehr guter Näherung ausrechnen. Nicht exakt ausrechnen, aber schnell und in sehr guter Näherung ausrechnen.

Der Gedanke ist, dass ich hier doch eigentlich eine Rechtecke habe. Wenn ich mir das angucke, eine Sekunde im Verhältnis zu 100 Jahren Halbwertszeit. Meine Kurve sieht ja so aus. Hier sind meine 100 Jahre Halbwertszeit. Da bin ich bei der Hälfte.

Und ich möchte hier jetzt quasi unter der Lupe einen ganz dünnen Streifen abschneiden. Von der Breite eine Sekunde. Dann ist mir ziemlich egal, dass die Kurve da fällt. Unter der Lupe sieht das hier so aus, dass ich praktisch hier oben die Kurve horizontal habe.

Auf der einen Sekunde merke ich nichts davon, dass hier etwas abfällt. Also ich rechne einfach mit einem Rechteck. Das wird bei diesem Verhältnis eine Sekunde zu 100 Jahren wunderbar hinhauen. Rechnen Sie damit mal weiter. Also Sie sagen einfach, wir vergessen das Integral, wir rechnen hier einfach mit dem Rechteck.

Damit kriegen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom, ein gegebenes Atom in der ersten Sekunde zerfällt. Was ist mit 10 hoch 24? Wie viele werden in der ersten Sekunde zerfallen? Ich sehe gerade, ich soll natürlich nicht Jahre schreiben. Wir machen das professionell.

100 A. Wobei, ist immer schwierig. Ist A jetzt eigentlich eine Variable? Ich lasse mal Jahre stehen, damit klar ist, dass ich Jahre meine. Diese Wahrscheinlichkeit, ich könnte jetzt das Integral hinschreiben. Aber das will ich ja gerade nicht, weil ich ein voller Mensch bin.

Also ich könnte so etwas hinschreiben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein gegebenes Atom, ich schreibe es mal wirklich aus, ein gegebenes Atom zerfällt binnen einer Sekunde.

Die Wahrscheinlichkeit wäre diese Fläche. Wir können es mit dem Integral hinschreiben. Aber das wäre über Kandidel. Diese Fläche rechne ich einfach als Rechteck aus. Es ist eine Sekunde breit. Wie hoch ist das Rechteck?

Genau, es ist nicht eins hoch. Vorsicht, hier gibt es noch ein Faktor davor. Wenn Sie T gleich Null einsetzen, steht da dieser Faktor mal E hoch Null. Dieser Faktor bleibt da. Eine Sekunde mal den natürlichen logarithmus von zwei durch die Halbwertszeit. 100 Jahre.

Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein gegebenes Atom in der ersten Sekunde hier zerfällt. Jetzt will ich den Erwartungswert haben. Ich habe 10 hoch 24 Atome. Wie viele zerfallen davon im Schnitt in der ersten Sekunde?

Genau, die Wahrscheinlichkeit mal die 10 hoch 24 Atome. Mit dieser Wahrscheinlichkeit habe ich ein zerfallendes Atom von einem gegebenen Atom. Ich habe aber 10 hoch 24, die das unabhängig voneinander machen, 10 hoch 24 mal diesen Wert hier. 10 hoch 24 mal eine Sekunde mal logarithmus zwei durch 100 Jahre.

In erster Sekunde zerfallen im Mittel im Schnitt. 10 hoch 24 mal was hatten wir?

Eine Sekunde mal logarithmus zwei durch 100 Jahre. Atome. Eine Sekunde mal natürlich logarithmus von zwei durch 100 Jahre. Atome. 100 Jahre. Eine Sekunde. Das ist ein bisschen eklig.

Die 100 Jahre, was haben wir? Das sind 100 mal nach meiner Rechnung 365 Tage im Jahr. 24 Stunden am Tag. 60 Minuten pro Stunde und 60 Sekunden pro Minute. Da könnte man jetzt massiv kürzen. Also ein bisschen können wir kürzen.

Eins, zwei, drei, vier. Und dann können wir hier schon mal eine 20 draus machen. Das ist ja schon mal etwas. Wenn es nur um die Größenordnung geht. Sie haben recht. Wenn ich jetzt noch anfange, noch heftiger jetzt hier zu runden,

dann könnte ich eigentlich auch schon fast im Dreisatz hier springen und sagen, in den ersten 100 Jahren zerfällt die Hälfte von den 10 hoch 24. Wie viel zerfallen dann pro Sekunde? Das wäre nicht so richtig koscher, aber wenn ich hier unten so weit runde, wäre es auch nicht viel. Schlechter.

Also noch einmal ganz streng. Wie viele zerfallen streng, wenn Sie es ausrechnen pro Sekunde? Okay, also Ihr Taschenrechner sagt 2,2 mal 10 hoch 14. Ich will sagen, ups, das ist ja doch heftig auf dem Geigerzähler.

Atomo sollte ich davon einhalten hier noch. Pro Sekunde zerfallen. Sie sehen die Sekunden. Und hier war ich auch ein bisschen luschig. Sekunde, Sekunde, Sekunde. Die kürzen sich. Es werden ja zum Schluss Atome werden. Das ist schon eine heftige Zahl. 2,2 mal 10 hoch 14 Atome.

Wenn Sie dagegen Dreisatz rechnen, was hier nicht richtig ist eigentlich. Wenn Sie dagegen Dreisatz rechnen, kriegen Sie hoffentlich von der Größenordnung auch was Plausibles, aber eigentlich nicht das strengkrichtige Resultat mit Dreisatz.

In den ersten 100 Jahren zerfällt die Hälfte, also sehr grob mit Dreisatz. In 100 Jahren zerfällt die Hälfte von den 10 hoch 24 Atomen im Mittel in einer Sekunde.

Na, was rechnen wir? So viel auf 100 Jahre. 1,5 mal 10 hoch 24 Atome pro 100 Jahre. Wie viel sind die 100 Jahre jetzt in Sekunden?

1,5 mal 10 hoch 24 Atome. Und hier wieder unsere 100 Jahre ausbuchstabiert. 100 mal 365 mal 24 Stunden am Tag mal 60 Minuten pro Stunde mal 60 Sekunden pro Minute.

1,6 sagen Sie. Mal 10 hoch 14 Atome pro Sekunde. Sie sehen, das ist eine andere Zahl. Die Größenordnung stimmt, aber es ist eine andere Zahl. Vorsicht mit Dreisatz. Also offiziell geht das hier nicht mit Dreisatz, weil erst mal ganz viele zerfallen und dann weniger zerfallen.

So leicht ist das nicht. Ich sehe gerade, dass ich mit den Einheiten hier sehr schlampig bin. Hier habe ich eben in der ersten Sekunde zerfallen im Schnitt so und so viele Atome. So würde ich mir das auch erhoffen. In einer Sekunde zerfallen so und so viele Atome.

Mit der Dreisatzrechnung kriege ich direkt Atome pro Sekunde. Das ist die Rate dann. Ich sollte hier nicht schreiben in einer Sekunde, sondern also mit der Rate so und so viele Atome pro Sekunde.