Wir bauen mal selbst eine Wahrscheinlichkeitsdichte, und zwar die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer eines Atoms eines radioaktiven Stoffes.

Also Sie lassen sich ein Plutoniumatom liefern und legen das unter das Super-Super-Mikroskop und gucken wann dieses eine Atom zerfällt. Was ist, und stellen Sie sich mit der Stoppuhr daneben, brauchen Sie ein bisschen Zeit, nehmen Sie sich für die nächsten Jahrzehnte nichts vor.

In Anführungszeichen simple physikalische Messgröße. Gegeben ein Atom, Sie wissen ja wie ein Atom aussieht, gegeben ein Atom, wie lange dauert das, bis dieses Atom

zerfällt? Das muss auch mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte gehen. Ich habe zu Beginn mein eines Atom und ich gucke jetzt wie lange wird es denn nach welcher Zeit wird es zerfallen? Wenn ich das Experiment millionenmal mache, quantillionenmal, quintillionenmal, ich habe typischerweise ein ganzes Stückchen von so einem Material.

Wissen Sie schon, das muss wohl irgend so eine abklingende Exponentialfunktion werden. Hier ist die Zeit. Es muss von der Form sein, die Wahrscheinlichkeitsdichte, ich schreibe jetzt ausdrücklich mal t, nicht x, Wahrscheinlichkeitsdichte von der Zeit ist irgendeine Konstante, die ich noch nicht kenne, mal

Exponentialfunktion, irgendwas mit e, hoch, abklingend, minus b, mal die Zeit. So sollte die im Prinzip aussehen. Und wenn ich das habe, kann ich danach ausrechnen, okay, wie wahrscheinlich ist es, dass mein Atom eine Lebensdauer zwischen

keine Ahnung, 40 Jahren und 41 Jahren hat, dann bräuchte ich dieses Integral. Das wäre dann die Wahrscheinlichkeit dafür. Ich sollte noch eine Sache ansagen, die Halbwertzeit t einhalb, die Halbwertzeit. Wo würden Sie die einmalen?

Bei dieser Kurve hier. Wo gehört die hin? Ich glaube das lustigste ist, wenn ich sie erst mal überlegen lasse. Also wir behalten im Hinterkopf Halbwertzeit t einhalb. Das ist die Zeit, nach der im Schnitt

die Hälfte der Atome zerfallen ist. Wenn ich ganz viele habe oder wenn ich dieses Experiment eine Million mal mache, das ist die Zeit nach der 500.000 mal die Atome zerfallen sind und 500 andere noch nicht zerfallen sind. Das gucken wir uns vielleicht gleich noch mal an. Die fangen glaube ich erst mal am besten an zu rechnen. Was weiß ich jetzt eigentlich über a und b?

Kann ich irgendwas herausfinden über a und b? Wenn das hier eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein soll, p von t. Sicherheitshalber, es soll ein Atom immer derselben radioaktiven Stoff sein, immer mit derselben Halbwertzeit.

Also die meisten haben die erste Gleichung schon gefunden. Es muss natürlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein. 1 soll das Gesamtintegral sein von 0 bis unendlich a mal e hoch minus bt dt. Die Gesamtfläche unter der Kurve muss 1 sein. Ich werde nicht nachträglich noch einen Zerfall haben. Ich fange wirklich bei 0 an. Es wird das Atom geliefert sozusagen, produziert irgendwo.

Also es fängt mit der Lebensdauer 0 an. Keine Negativen. Wenn Sie hier negativer haben, wird das Integral in jedem Fall unendlich groß. Wenn Sie sich das vorstellen, die Exponentialfunktion, das ist nicht zu retten. Es würde unendlich groß werden, wenn Sie hier minusunendlich noch da dran schreiben. Ab null aufwärts.

Das ist die eine Gleichung, die ich habe. Und die andere, das hatten wir eben schon ganz viele vermutet, die Halbwertzeit in der Tat ist der median. Vielleicht sowas hier. 50-50. Die Hälfte der Atome oder, genauer gesagt, in der Hälfte der Fälle, so soll ich es sagen, in der Hälfte der Fälle

zerfällt das Atom vorher. In der anderen Hälfte der Fälle zerfällt das Atom nachher. Die Halbwertzeit ist der median. Das ist absurd. Sie sehen, es gibt den median nicht nur bei den Soziologen und so in der Ecke, sondern auch in der Physik. Die Halbwertzeit ist median.

Das heißt, ich weiß, ein halb ist die halbe Wahrscheinlichkeit des Integrals von null bis zur Halbwertzeit, t ein halb mal a mal e hochminus bt dt. Das weiß ich. Zwei Gleichungen, zwei unbekannte. Ich kann tatsächlich a und b jetzt bestimmen.

Wir nehmen mal die erste, die ich schon bei den meisten ausgewertet gesehen habe. Dieses Integral a mal jetzt eine Stammfunktion. Ich schreibe mal null bis unendlich in Anführungszeichen, um klarzumachen. Ich weiß, dass das nicht ganz rechtlich ist. Es funktioniert trotzdem.

Jetzt suche ich eine Stammfunktion zu e hochminus bt minus e hochminus bt durch b. Die wird es tun. Wenn Sie hier die Probeableitung machen, Kettenregel, e hochminus bt bleibt stehen, dann kriegen Sie die innere Ableitung mal minus b. Mal minus b. Geht sich weg. Steht da, was ich brauche.

Also mit minus und durch b. Wenn Sie in Anführungszeichen unendlich einsetzen, e hochminus unendlich ist null. Das fliegt raus. Wenn Sie unendlich einsetzen, fliegt das raus. Wenn Sie null einsetzen, kriegen Sie hier eins, e hochnull.

Also habe ich hier a mal, hier unten muss ich abziehen, minus minus eins durch b. A mal eins durch b. Und damit weiß ich, a ist gleich b. Na toll, das hätten wir ja doch einfacher haben können, aber so ist es. A ist gleich b.

Und jetzt fange ich mit der zweiten hier an. Was ist mit der Halbwertszeit? Ein halb soll sein. Das Integral von null bis zur Halbwertszeit. A und b ist dasselbe. Ich schreibe jetzt einfach mal a mal e hochminus a mal t dt. A und b sind dasselbe. Ich schreibe einfach a für b.

Macht a mal die Stammfunktion kennen wir schon, e hochminus a mal t minus durch a null bis Halbwertszeit, t einhalb. Sehr schön, a und a.

Kürzig. Und wir kriegen, das ist minus, ich setze jetzt die Halbwertszeit ein, e hochminus a mal die Halbwertszeit. Minus null unten einsetzen, e hoch null

macht eins. Minus eins ist der Wert unten, den muss ich abziehen. Minus, minus eins. Will sagen plus eins. Einhalb ist gleich, das plus eins. Na, ich buchstabiere es mal aus, bevor es schwierig wird hier. Einhalb ist gleich.

Minus, e hochminus a mal Halbwertszeit plus eins. Von beiden Seiten einhalb abziehen, habe ich hier null und hier noch plus einhalb.

E rüberbringen, dann habe ich e hochminus a mal t einhalb ist gleich. Eins. Wir lösen sie weiter auf. Von beiden Seiten den Kehrwert. Ein Halbwert zu zwei, e hochminus irgendwas, wird e hoch plus irgendwas.

Und jetzt würde ich erst auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus bilden, dann haben sie hier den natürlichen Logarithmus von zwei und hier haben sie a mal die Halbwertszeit. Will sagen a ist gleich, der Logarithmus von zwei, der natürliche Logarithmus von zwei durch die Halbwertszeit.

Damit haben wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer. b von t natürlich sinnvollerweise. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lebensdauer ist also a, was da steht, der Logarithmus von zwei durch die Halbwertszeit mal e hoch

minus a mal t, also minus der natürliche Logarithmus von zwei durch die Halbwertszeit mal die Zeit. E hoch, das könnte man noch etwas hübscher fassen. Wir können sie den hinteren Teil etwas hübscher schreiben.

Richtig, mit dem Minus eins durch e hoch, Logarithmus zwei, ich schreibe mal schon mal so, die Zeit t durch die Halbwertszeit. Was sehen sie jetzt noch? Genau, e hoch ein Produkt ist e hoch den einen, in Klammern, hoch den anderen.

e hoch den natürliche Logarithmus von zwei ist aber zwei. Eins durch zwei hoch den anderen, t durch die Halbwertszeit. So sieht das doch viel freundlicher aus. Wir sehen, es gibt einen schrägen Faktor hier vorne. Und das hier ist das, was man erwarten würde. Eins durch zwei hoch, wie viel Zeit vergangen ist, gemessen in

Halbwertszeiten. Wenn eine Halbwertszeit vergangen ist, steht hier eins durch zwei hoch eins, ein halb. Wenn zwei Halbwertszeiten vergangen ist, t durch t eineinhalb bis zwei, steht hier ein Viertel. Wenn drei vergangen sind, eins durch zwei hoch drei,

eins durch acht und so weiter. So kann man es halbwegs verstehen, dass hier die Halbwertszeiten stehen. Eins durch zwei hoch t durch die Halbwertszeit. In dieser Form ist es leichter abzuleiten und leichter zu integrieren mit der E -Funktion, aber das ist, was man sich eigentlich vorstellt mit ein halb hoch irgendwas. Den Faktor hier vorne brauche ich, damit das ganze die Fläche eins darunter hat. Und zu sehen, von den Einheiten her wird das ganze

eins durch Sekunde oder eins durch Jahr. Ich teile durch die Halbwertszeit. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte wird so etwas sein wie eins durch Sekunde, eins durch Jahr, damit das Integral wieder eins wird.

So, damit haben wir A und B. Wir wissen, wo der Median liegt. Sie rechnen jetzt mal den Erwartungswert aus. Was ist der Erwartungswert der Lebensdauer für so ein radioaktives Atom?

Das ist ja die mittlere Lebensdauer. Was ist also die mittlere Lebensdauer? Offensichtlich nicht die Halbwertszeit. Also der ganz schlichte Erwartungswert, natürlich jetzt nicht von minus unendlich bis plus unendlich, sondern wieder von null bis unendlich. Meine

Wahrscheinlichkeitsdichte war der Logarithmus durch die Halbwertszeit mal der Logarithmus durch die Halbwertszeit mal e hoch minus der Logarithmus mal t durch die Halbwertszeit dt. Das wäre jetzt eine Wahrscheinlichkeit. Hier steht hinten die Wahrscheinlichkeitsdichte mal dt

mal t, damit es der Erwartungswert wird. Wert mal Wahrscheinlichkeit. Bevor ich es vergesse, zu der Wahrscheinlichkeitsdichte muss ich gerade noch was sagen, bevor ich es vergesse, das lustige ist folgendes.

Der Median, die Halbwertszeit, teilt hier 50-50, die Fläche unter der Kurve, aber wenn Sie den Median einsetzen in diese, wo haben wir sie? Wenn Sie den Median hier einsetzen, also die Halbwertszeit, wenn Sie die Halbwertszeit hier einsetzen, eine Halbwertszeit, kriegen Sie ja die Hälfte von dem Wert raus bei t gleich null. Also lustigerweise

ist die Halbwertszeit nicht nur die t-Koordinate, die hier das 50-50 teilt, sondern sie teilt lustigerweise in diesem Fall auch die Höhe 50-50. Auch das ist 50-50. Aber das Wesentliche ist erst mal, dass die Flächen 50 zu 50 geteilt werden.

Zurück zu dem hier. Hier brauchen wir jetzt spezielle Integration. Das wird fürchterlich. Vielleicht klappt es in drei Minuten. t möchte ich ableiten. Das wird einfach, wenn ich es ableite. Den hier hinten, den will ich also zu einer Ableitung machen.

Lustigerweise ist das ja so gebaut, dass ich hier einfach als Stammfunktion e hoch minus den natürlichen Logarithmus von zwei mal die Zeit durch die Halbwertszeit nehmen kann. Mit einem Minus. Wenn Sie den ableiten, kommt Minus-Logarithmus durch Halbwertszeit nach vorne. Na schick, genau was ich haben will. So. Und jetzt die spezielle Integration. Ich hoffe, das geht auch die schnelle.

In eckigen Klammern, die beiden nicht abgeleiteten. t mal minus den, t mal minus e hoch minus l n 2 t durch Halbwertszeit von 0 bis, ich schreibe wieder in Anführungszeichen und endlich,

Minus das Integral mit vertauschten Rollen. 1 steht da vorne. Minus kommt da wieder, deshalb schreibe ich hier ein Plus hin. Minus, Minus. Das ist das zweite Minus. e hoch minus l n 2 t durch die Halbwertszeit. bt in den Grenzen weiterhin von 0 bis unendlich.

So. Hier vorne, wenn Sie unendlich einsetzen, auf diese Ingenieurmäßige Weise, Minus unendlich mal e hoch minus unendlich. e hoch wird gewinnen und dieses t da vorne kleinschlagen. Wenn Sie unendlich einsetzen, kriegen Sie im Grenzwert 0 raus. Wenn Sie 0 einsetzen, 0 mal irgendwas,

kriegen Sie auch wieder 0 raus. Das hier vorne wird 0 werden. Und hier hinten, eine Standfunktion davon kennen wir schon, minus die Halbwertszeit durch l n 2, e hoch minus l n 2 t durch die Halbwertszeit

und 0 bis unendlich. Hier hinten, wenn ich unendlich einsetze, rein formal, kommt 0 raus. Ich muss abziehen. Was passiert, wenn ich 0 einsetze? e hoch 0 macht 1. Abziehen. Ich bin dann zum Schluss bei Minus, Minus macht Plus. Die Halbwertszeit

durch l n 2 mal 1. Das ist der Erwartungswert. Also die mittlere Lebensdauer, die mittlere Lebensdauer, der Erwartungswert der Lebensdauer ist die Halbwertszeit durch l n 2.

Wie groß ist l n 2? Ungefähr l n von e, l n von 2,7, wäre gleich 1. e hoch 1, l n 2,7, dann käme 1 raus. Es ist aber weniger als 2,7, der logarithmus wird auch kleiner. Ich teile durch

weniger als 1. Ich will sagen, das ganze wird größer. Der Erwartungswert, die mittlere Lebensdauer, ist größer als die Halbwertszeit. Was Sie eigentlich auch schon wieder wissen, der Erwartungswert liegt beim Schwerpunkt. Hier habe ich einen langen Hebelarm. Der lange Hebelarm zieht den Schwerpunkt rüber.