Eine einfache Aufgabe zur Tangentengrade. Wenn ich folgende Funktionen habe, x wird abgebildet auf den Sinus von x². Die Frage ist, was ist die Tangentengrade an der Stelle Wurzelpi halbe.

Damit das mit den xen nicht durcheinander geht, schreibe ich hier vielleicht mal die Tangentengrade für x null gleich Wurzelpi halbe. Also irgendwie habe ich die Sinus von x² Funktion. Irgendwo ist x null gleich Pi halbe und die Frage, was ist eine Gleichung für die Tangentengrade an der Stelle Wurzelpi halbe.

So wird die Funktion nicht aussehen, aber die Idee wäre, die ersten Schritte.

Ich kriege die Steigung der Tangentengraden mit der Ableitung, also rechne ich die Ableitung aus. Vorsicht mit der Schreibweise, das ist vielleicht gefährlich, dass ich das immer so hinschreibe als anonyme Funktion. Hier steht ja nicht f von x, diese Funktion hat keinen Namen, x wird abgebildet auf. Das einzige, was man jetzt hier bei der Ableitung hinschreiben kann, ist, die oben leiten wir ab, wir leiten das Ding da oben ab.

Oder schreiben wir es mal richtig hin, ohne Wiederholungszeichen, d Sinus von x² nach dx. Das hatten Sie jetzt alle, Kettenregel Cosinus von x² mal 2x. Und wenn ich da jetzt einsetze, x0 einsetze, weiß ich die Steigung der Tangentengraden an x0.

Ich sollte es lieber sagen, für x0, das ist die Stelle an der ich die Tangentengrade bilden will.

Die Tangentengrade für x0 gleich Wurzelpi halbe. Was ist die Steigung? Die Ableitung an dieser Stelle, die Ableitung meiner Funktion an dieser Stelle, ist also Cosinus von x² Pi viertel mal 2 Wurzelpi halbe.

Cosinus Pi viertel, Pi 180 Grad, 2 Pi 360 Grad, Pi halbe sind 90 Grad, Pi viertel sind 45 Grad, Cosinus 45 Grad, sollte dann in Fleisch und Blut übergehen, das habe ich bei den meisten schon gelungen, 45 Grad, 45 Grad, gleich schenkliches rechtwinkliges Dreieck,

eins durch Wurzel 2 ist der Cosinus, ist der Sinus, dasselbe bei 45 Grad. Gibt also eins durch Wurzel 2 mal Wurzelpi.

Das ist die Steigung. Ich weiß also wie die Tangentengrade im Prinzip aussehen kann. Wie ist die Tangentengrade? Diese Tangentengrade, jetzt schreibe ich sie nochmal in voller Gänse hin, für x gleich Wurzelpi halbe,

x0 gleich Wurzelpi halbe, die muss also aussehen wie y ist gleich. Diese Steigung eins durch Wurzel 2, Wurzelpi, mal x, Steigung mal x plus Y-Achsenabschnitt. Jetzt kann ich den Y-Achsenabschnitt nicht. Irgendwelche Vorschläge, wie kriege ich den Y-Achsenabschnitt?

Genau, das wäre der Gedanke. Ich kenne ja einen Punkt, durch den die Gerade durch muss. Die Gerade soll ja eine Tangentengrade sein, sie muss die richtige Ableitung haben, an dieser Stelle x0 und sie muss die richtige Höhe haben. Wenn ich x0 einsetze in meine Tangentengrade, dann muss dann f von x0,

meine Funktionswerte der Originalfunktion, rauskommen. Das kann man benutzen. Also wenn ich hier x0 einsetze, muss hier der Wert der Originalfunktion rauskommen und damit kann ich b bestimmen. Ich würde es, muss ich gestehen, anders hinschreiben.

Das wird im zweiten Semester klarer, warum es in dieser anderen Form viel natürlicher ist. Ich schreibe mal ganz dreist. Y ist gleich 1 durch Wurzel 2 pi x minus x0 plus den Funktionswert meiner Originalfunktion, die eben noch anonymen war.

Ich sollte jetzt wirklich auch hinschreiben, was der Funktionswert war. Sinus von x0². So könnte man es auch schreiben. Jetzt habe ich eine Gradengleichung. Hier steht so und so viel. Eine Konstante mal x.

Und der Rest ist konstant. Das ist konstant, das ist konstant. Also eine Gradengleichung mit der richtigen Steigung. Und die Gerade geht durch den richtigen Punkt. Wenn Sie x0 einsetzen, was kommt hier aus dem ersten Term raus, wenn Sie x0 einsetzen? Das ist der Trick 17. Da kommt 0 raus. Ja, wenn ich hier x0 einsetze für x, steht da x0 minus x0 gibt 0.

Und das Richtige steht da, Sinus von x0². Das ist eine Alternative. Wie gesagt, das wäre im zweiten Semester bei den Tellerreihen etwas klarer, warum das so sinnvoll ist. Da treibt man das weiter. Zweite Ableitung, hier steht etwas mit Quadrat und noch weiter verziert.

Dritte Ableitung, hier steht etwas mit hoch 3 und noch ein bisschen verziert. Da wird es klarer. Aber hier hat man das schonmal als Trick. Eine Gradengleichung, richtige Steigung und sie geht durch den richtigen Punkt. Wenn ich hier x0 einsetze, ist der erste Term weg. Und ich gehe in der richtigen Höhe durch diese Stelle durch.

Wäre eine Alternative dazu, diese Gleichung aufzulösen. Na gut, das hier unten ist ja keine große Kunst. Das macht also 1 durch Wurzel 2 mal Wurzel Pi. Minus 1 durch Wurzel 2 Wurzel Pi mal x0. Hier ausklammern. Plus den Sinus von x0 Quadrat.

Das x habe ich verschlammt. Es ergibt 0, wenn ich für x0 einsetze. Diese eine Stelle hier, Wurzel Pi halbe. Wenn ich hier Wurzel Pi halbe einsetze, dann ergibt das 0.

Aber nicht immer. Der erste Term soll dann wegfliegen, wenn ich an meiner Originalstelle bin. Aber sonst nicht. Das ist Wurzel Pi halbe x. Minus 1 durch Wurzel Pi halbe.

Wurzel Pi halbe x0 war Wurzel Pi halbe. Wurzel Pi halbe, vielleicht etwas anderes. Und hier steht der Sinus von Wurzel Pi halbe Quadrat. Das macht also Pi viertel.

Was machen Sie aus Sinus Pi viertel? Genau, Sie haben aufgepasst. 1 durch Wurzel 2. Was machen Sie aus den hier? Wurzel Pi halbe x Wurzel Pi halbe. So, das ist am Montagmorgen schwieriger.

Wurzel Pi durch Wurzel 2 stand da ja eigentlich mal. Die Wurzel eines Produktes, die Wurzel eines Bruchs, dann können Sie eins hinziehen. Aber bitte nicht bei der Wurzel einer Summe. Wurzel Pi plus 2 ist nicht Wurzel Pi plus Wurzel 2.

Bitte das nicht. Nicht bei Summen, nicht bei Differenzen. Hier beim Produkt und beim Bruch, da dürfen Sie die Wurzel eins hinziehen. Mal Wurzel Pi halbe. So, oben steht Wurzel Pi mal Wurzel Pi. Wurzel Pi mal Wurzel Pi ist Wurzel Pi ins Quadrat. Gibt Pi.

Das steht im Zähler. Und unten steht Wurzel 2 mal 2. 2 hoch 1 halb. Mal 2 hoch 1. Während 2 hoch 3 halbe macht es auch nicht viel schöner. Ich würde hier Wurzel 2 mal 2 stehen lassen. Und dann haben wir insgesamt als Gradentgleichung Wurzel aus Pi halbe minus Pi durch 2 mal Wurzel 2 plus 1 durch Wurzel 2.

Das ist vielleicht doch mal eine kleine Übung jetzt.

Pi mal Daumen. Wie groß ist Wurzel Pi halbe ohne Taschenrechner? Versuchen Sie es mal irgendwie. Wurzel Pi halbe ohne Taschenrechner. In welcher Größenordnung? Und das hier hinten, in welcher Größenordnung ungefähr liegt das? Ohne Taschenrechner. Pi ist bekanntermaßen was bei 3,1.

4. Wurzel 2, weiß man dann auch irgendwann, ist irgendwas bei 1,4. 1 durch Wurzel 2. 1 durch Wurzel 2 ist ja lustigerweise Wurzel 2 halbe. Wenn Sie sich das angucken. Wurzel 2 halbe.

Das ist Wurzel 2 durch Wurzel 2 mal Wurzel 2. Gibt wieder 1 durch Wurzel 2. Also der Kehrwert der Wurzel 2 ist die Hälfte der Wurzel 2. Das ist eine komische Zahl. Der Kehrwert von Wurzel 2 ist die Hälfte von Wurzel 2. Also irgendwas bei 0,7.

Haben wir den da hinten schon. Den hier könnten wir noch ein bisschen zerlegen jetzt. Also was steht hier? Da steht also ungefähr was wie 3,14 durch 2 mal 1,4.

Irgendwelche Vorschläge. Der hier. 3,14 durch 2 mal Wurzel 2. Also durch 2,8 Pi mal Daumen. Dann steht oben 2,8 plus was bleibt bei 3,14 übrig?

Irgendwas 0,34 durch 2,8. Wie können Sie das vereinfachen? Genau diesen Bruch jetzt zerlegen. Ich teile sozusagen mit Rest. 3,14 durch 2,8 ist 1. Und jetzt haben wir in den Rest noch 0,34 durch 2,8.

0,34 durch 2,8 ist 1 Zehntel. 0,3 durch 3 Pi mal Daumen 1 Zehntel. Also hier müsste etwas rauskommen wie 1,1. Hier hinten habe ich also 1,1 abziehen.

0,7 drauf. Bin ich bei minus 0,4 hier hinten ungefähr. Sie haben sicherlich alle den exakten Wert. Was ist exakt? Also Sie sagen exakt, sagt der Taschenrechner,

minus 9,4036 irgendwas. Sowas. Sie sehen, da habe ich ausnahmsweise vielleicht ein bisschen Glück gehabt, dass auch die Null tatsächlich dann schon da hinten steht. Das war hinten der Termin. Pi halbe und daraus die Wurzel. Daraus die Wurzel. Pi halbe sind also 1,57.

Die Wurzel aus 1,57. Pi halbe. Die Wurzel aus 1,57. Daraus die Wurzel. Denken Sie nochmal alle nach.

Der erste Schritt wäre, haben wir jetzt gemerkt, mir vorzustellen, was denn da wäre, wenn da 157 stünde. Ich sage mal ganz dreist. Das hier ist ja die Wurzel 157 hundertste. Und jetzt darf ich wieder getrennt die Wurzel ziehen.

Die Wurzel 157 durch die Wurzel 100. Wurzel 100 geht gut. Deshalb bin ich so angefangen. C. Die Wurzel 157 zehntel. So ist das viel leichter. Und so ein paar Quadratzahlen kann sogar ich mit meinem schwachen Gedächtnis. 144 ist 12 ins Quadrat.

Es liegt zwischen 12 und 13. Was hier rauskommt, wird irgendwas zwischen 12 und 13 sein. Durch 10. Ich sage mal ganz dreist 12,5 durch 10. Und dann bin ich insgesamt bei 1,25. Für diesen ersten Termin.

Wurzel pi halbe. Was wäre es exakt? Herr Stöge, keine Taschenrechner dabei. Das gibt Bonuspunkte. So finde ich das gut. Also exakt wäre, wenn ich ihn trauen darf, 1,2533 irgendwas. So wäre dann also die Tangentengrade.

Ich weiß, wie meine Funktion an dieser Stelle, Wurzel pi halbe, im Prinzip verläuft. Die Funktion schlängelt sich an diese Grade mit Steigung etwa 1,25 und Achsenabschnitt minus 0,4036.

Eine Funktion mit Steigung etwas steiler als 1 und einem Achsenabschnitt so bei etwa minus ein halb. Und eine Steigung, muss man gerade überlegen,

eine Steigung etwas steiler als 1, dann wird er hier noch nicht, wird er hier etwas steiler als ein halb rauskommen. Etwa so ein Verlauf. Was sollten wir mal gucken? Pi viertel.

Wie groß ist Pi viertel ungefähr? 0,7, 0,8. Ja, 3, irgendwas durch 4. Irgendwas zwischen 0,7, 0,8. Eher bei 0,8. 3 durch 4 wären ja schon 0,75. Also hier an der Stelle 0,75 gucke ich ja, was mit der Funktion passiert.

Irgendwie muss ich meine Funktion jetzt, offensichtlich von unten, nicht von oben, an diese Grade anschmieden. So wird das nachher aussehen. Nochmal zur Tangentengrade allgemein. Also ich kriege die Steigung der Tangentengrade

mit der Ableitung an der Stelle, an der ich die Tangentengrade haben will. Und der Y-Achsenabschnitt, da stelle ich entweder eine Gleichung auf. Der Funktionswert an dieser Stelle ist Steigung mal den X-Wert an dieser Stelle plus den Y-Achsenabschnitt. Oder man macht diesen Trick, der nachher bei den Tellerreihen in großer Fassung drankommt.

Steigung mal X minus die Stelle, an der ich mir das angucke, plus den Funktionswert an der Stelle. Dann können Sie direkt ausklammern und haben den Achtensabschnitt.