Ich sollte noch mal ein paar grundsätzliche Sachen sagen. Wozu Partialbrüche? Warum brauche ich hier diesen b durch x minus 3 als Begleiter für diese Polstelle zweiter Ordnung? Vielleicht erst noch mal prinzipiell.

Wozu brauche ich Polynome? Fangen wir mal noch einen Schritt weiter vorne an. Wozu Polynome? Vor allen Dingen, um Ernährungen herzustellen. Sie haben Messwerte gegeben. Wie liegt eine hübsche Kurve durch die Messwerte durch? Ich hatte schon vorgeführt,

e hoch x, wie rechne ich e hoch x aus? Mit einem Polynom. 1 plus x plus x quadrat halbe plus und so weiter. Die meisten der Funktionen, auf dem Taschenrechner und vom Computer, die meisten Standardfunktionen, Sinus und ähnliche Geschichten, sind mit Polynomen ausgedrückt. Es wird nicht wirklich der Sinus ausgerechnet, sondern es wird eine

Vernäherung mit einem Polynom gemacht. Polynome können Sie nicht nur Vernäherungen durch Messwerte benutzen, sondern eben auch Vernäherungen von mathematischen Funktionen benutzen. So kommen hauptsächlich Polynome vor. Zum Nähern. Rationale Funktionen sind eine ganz andere Geschichte. Rationale Funktionen sehen ja erst mal so ähnlich aus. Polynom durch Polynom.

Man kann die Vernäherung benutzen. Das kommt tatsächlich vor. Rationale Funktionen ist aber in den Ingenieurwissenschaften nicht so spannend. Das Spannende bei rationalen Funktionen, deshalb hatte ich das in den alten Videos vorgeführt mit der Z-Transformation,

das Spannende bei rationalen Funktionen ist, dass man damit Systeme mit Rückkopplung beschreiben kann. Sie regeln irgendein System und aus dem System kommt ein Feedback zurück. Um das zu beschreiben, auf abstrakte Art, benutzt man lustigerweise Rationale Funktionen.

Das hatte ich vorgeführt mit der Z-Transformation, wie man solche Systeme beschreiben kann und dass man da tatsächlich dann auf Rationale Funktionen kommt. Das ist raffiniert. Das kommt irgendwo in der Regelungstechnik ganz spät dran. Das kommt bei Signalverarbeitung dran. Ansonsten braucht man im wahren Leben Rationale Funktionen eher selten.

Typischerweise nur bei Systemen mit Rückkopplung. So, und jetzt dann warum Partialbruchzerlegung? Die haarstreubende Übergründung, warum ich Partialbruchzerlegung brauche, ist, um Rationale Funktionen zu integrieren. Wenn Sie eine Rationale Funktion so schreiben können, als sagen wir mal 4 durch x plus 2 minus 3 durch x minus 4 ins Quadrat und so weiter.

Wenn Sie eine Rationale Funktion so ausbuchstabieren können, können Sie relativ leicht das Integral ausrechnen, weil diese Funktionen einfach zu integrieren sind. Nur, wer will bitte das Integral einer Rationalen Funktion wissen, interessiert eigentlich keinen.

Spannend ist die Partialbruchzerlegung auch wieder in diesem Fall. Systeme mit Rückkopplung. Diese Partialbrüche sagen Ihnen, welche Probleme Sie mit Schwingungen haben. Diese Partialbrüche stehen im Allgemeinen für irgendwelche Schwingverhalten.

Das wird spannend. Oder zumindest wichtige Anteile in diesem System, die man auseinandernehmen kann, getrennt für sich betrachten kann. Dafür braucht man nachher Partialbruchzerlegung. Insbesondere bei der Laplace-Transformation helfen einem die Partialbrüche hier, Anteile des Systems auseinander zu nehmen.

So, dazu Partialbrüche. Sie sehen, die braucht man relativ spät erst. Sorry, das Studium ist leider so aufgebaut in Deutschland und nicht nur in Deutschland, dass leider irgendwie die Rationalen Funktionen ganz zu Beginn kommen und die Partialbruchzerlegung ganz zu Beginn kommt,

auch wenn man die im Ende erst braucht. So ist das. Ich kann es jetzt leider nicht ändern. Dann war noch die Frage, wieso kommt hier bei der Polstelle zweite Ordnung gerne hier noch dieser Term mit, obwohl der ja eigentlich nicht so plausibel aussieht.

Nochmal zurück, wie denn die Partialbruchzerlegung entsteht. Wenn Sie so eine Funktion haben, irgendein f von x, was auch immer das sein mag, durch x minus 3 in die fünfte Potenz mal g von x.

Und g von x soll keine Nullstelle bei x gleich 3 haben. Das wäre hier so eine abstrakte Fassung von einer rationalen Funktion mit einer Polstelle fünfter Ordnung an der Stelle x gleich 3.

Hier steht irgendwie ein Kram im Zähler, unten im Nenner steht irgendwie wilder Kram. Aber ich kann x minus 3 hoch 5 abspalten im Nenner. Und dieses g, was übrig bleibt, das soll eben nicht Null werden an der Stelle x gleich 3. Es soll wirklich eine Polstelle fünfter Ordnung sein.

Ich müsste dazu eigentlich sagen, dass f von x auch nicht Null wird, aber das ist gar nicht spannend. Interessiert mich gar nicht für das, was hier folgt. Angenommen, ich habe so einen Ausdruck, so eine ganz abstrakt geschrieben, eine rationale Funktion zum Beispiel. Wenn wir uns da noch mal angucken, warum das klappt mit der Partialbruchzerlegung.

Ich splitte erst mal ab, wie schlimm diese Polstelle wird nach meinem händewedelnden Verfahren von eben.

Was greife ich mir aus diesem Ausdruck raus? Wie schlimm wird diese Polstelle? Ja, f von 3 durch g von 3. Wie schlimm wird diese Polstelle? Wie schlimm wird diese Polstelle? Wie schlimm wird diese Polstelle?

Das sollte daraus ausbuchstabiert werden. Wie gesagt, wenn f von 3 gleich Null ist, müsste man ein bisschen vorsichtiger sein. Man hat für das folgende aber keine große Bewandtnis. So schlimm wird das werden, aber das ist natürlich jetzt nicht gleich. Ich habe nur das Schlimmste rausgepickt an dieser Stelle.

Und jetzt kommt so ein üblicher mathematischer Trick. Man schreibt jetzt etwas hin, um es wieder richtig zu machen. Ich schreibe meine Originalfunktion hin und ziehe das ganz dreist ab. Dann ist ja alles wieder richtig. G von 3. Jetzt habe ich wirklich eine Gleichung.

Sie werden sich fragen, das ist ja alles viel schlimmer geworden als vorher. Ich schreibe das hin, was ich haben will, aber das kann ich nicht alleine hinschreiben. Das wäre ja falsch, mit dem Gleichheitszeichen. Jetzt mache ich es wieder richtig. Ich schreibe das hin, was da vorher stand, und ziehe das ab, was ich eben hingeschrieben habe. Und der, und der, die heben sich ja weg, und es bleibt das stehen, was vorher da gestanden hat.

Jetzt habe ich eine Gleichung, eine sehr aufwändige Gleichung. Nur, dass ich hier hinten die beiden mal ganz dreist zusammenfassen kann. Machen Sie das mal gerade, um sich das klar zu machen, was hier passiert.

Fassen Sie die beiden mal auf einen Bruchstrich zusammen, und überlegen Sie sich, warum man das vereinfachen können muss, was man dann kriegt, wenn man die beiden auf einen Bruchstrich bringt. Ich schreibe das mal ein Stückchen anders auf als in den alten Videos, weil einige das jetzt auch anders aufgeschrieben haben.

Was vielleicht sogar einfacher zu verstehen ist. Also erstmal ein Hauptnummer. Die suchen alle Faktoren zusammen, jeden einmal. x-3 hoch 5 brauche ich offensichtlich. g von x brauche ich offensichtlich. Und g von 3 würde das Ganze schon machen,

wenn ich den auch noch mit in den Nenner nehme. Das ist in den alten Videos anders. Jetzt habe ich einen Hauptnummer. Den ersten Bruch erweitere ich mit g von 3. Hier steht also f von x mal g von 3. Den zweiten Bruch erweitere ich mit g von x,

also minus f von 3 mal g von x. So weit, so gut. Und jetzt kommt der Kunstgriff. Bisher habe ich nur komisch umgeformt, total schräg umgeformt. Hier die Polstelle abgespalten und hier einen total schrägen Ausdruck erzeugt.

Jetzt kommt der Kunstgriff, dass ich kürzen kann. Ich kann nicht hinschreiben, was das Ergebnis ist, aber ich weiß, dass ich kürzen kann hier. Warum weiß ich, dass ich kürzen kann? Das lustige ist jetzt, wenn ich x gleich 3 einsetze, sehe ich, der Zähler wird 0.

f von 3, g von 3, minus f von 3, g von 3. Gucken wir uns den Zähler an. f von x mal g von 3, minus f von 3, mal g von x.

Der Zähler wird 0 für x gleich 3. Wenn ich mit einer rationalen Funktion hier gestartet habe, f ein Polynom, g ein Polynom, ist der Zähler hier auch ein Polynom. Ein Polynom mal eine Zahl, Funktionswert von g,

minus eine Zahl mal ein Polynom. Das hier ist ein Polynom. Ein Polynom, ich schreibe es mal daneben, das hier ist ein Polynom. Ein Polynom, von dem ich weiß, dass es an der Stelle 3 0 wird. Wie können Sie so ein Polynom immer schreiben?

Genau, das war wieder jetzt die Theorie der Polynom-Division. Wenn ich eine Nullstelle habe, weiß ich, dieses Polynom, was da steht, kann ich schreiben als x minus 3. Die Nullstelle abspalten, mal ein anderes Polynom.

Das ist der Knackpunkt bei der Polynom-Division. Ich baue mir etwas, ein Polynom mit einer Nullstelle bei x gleich 3 an diesem Fall. Mit einer Nullstelle da, wo die Polstelle sitzt. So ein Polynom baue ich mir. Und dann weiß ich, dass ich das hier abspalten kann.

Das x minus 3 kann ich hier oben abspalten. Hier steht eigentlich, wenn Sie es anders haben wollen, hier steht eigentlich x minus 3 mal irgendwas, ein Polynom. Das weiß ich. Dieses irgendwas kann ich jetzt nicht auf eine Pint schreiben, ich weiß aber, es gibt sowas. Ich müsste es mit Polynom-Division ausrechnen, würde nerven.

Mich interessiert nur, dass ich es ausrechnen könnte. Es gibt so eins. Und was passiert nun? Ja, jetzt kann man kürzen. Dieses x minus 3 können Sie gegen einen von den fünf Faktoren da unten kürzen. Und Sie haben nur noch eine Polstelle vierter Ordnung maximal.

Das ist der Knackpunkt hinter den Kulissen. Ich schaffe es, die Polstelle fünfter Ordnung abzuspalten. Und dann kriege ich etwas, von dem ich weiß, dass ich es vereinfachen kann. Ich weiß nicht, was das Ergebnis ist. Dazu müsste man Polinom-Division machen.

Ich weiß aber, dass ich es vereinfachen kann. Es wird nur noch maximal eine Polstelle vierter Ordnung haben. Jetzt sehen Sie, wie das hier oben mit dem b zustande kommt. Wenn ich das offiziell herleiten würde, macht kein Mensch dann, wenn man es einmal verstanden hat, wenn ich es offiziell herleiten würde,

ich würde diese Polstelle zweiter Ordnung abspalten. Und ich hätte etwas, was typischerweise eine Polstelle noch erste Ordnung hat. Ich kriege typischerweise so einen Term. Es ist die Polstelle nicht ganz weg. Sie ist nur eine Ordnung kleiner bei diesem Verfahren. Also es kann und wird typischerweise noch so ein Anteil mit sowieso hoch vier auftreten.

Und dann kann ich den Anteil abspalten und kriege einen mit hoch drei. Und den spalte ich ab und kriege einen mit hoch zwei und so weiter und so weiter. Bis die Polstelle zum Schluss wirklich komplett abgespalten ist. Also sobald Sie in der Originalfunktion eine Polstelle fünfte Ordnung haben,

werden Sie Partialbrüche haben, sowieso fünfte Ordnung, typischerweise aber auch vierte, dritte, zweite, erste Ordnung mit dabei. Die gibt es dann automatisch mit der Polstelle fünfte Ordnung, weil dieser Prozess so läuft. Ich verringere das um eins auf vier. Dann wird hier irgendwas übrig bleiben mit hoch vier und so weiter und so weiter.

Das passiert hinter den Kulissen. Man schreibt es nicht mehr hin. Man weiß einfach, was passiert. Polstelle erste Ordnung, so ein Ausdruck. Polstelle zweite Ordnung, so ein Ausdruck. Aber typischerweise auch so ein Ausdruck.

Man weiß einfach, was passiert und kann es rezeptartig hinschreiben. Man überlegt sich das nicht hier klitzeklein zu fustern im wahren Leben, was da passieren muss, sondern man hat sofort eine Schablone, die man anwenden kann.