Gucken Sie sich folgende Gleichung an. Ich möchte, dass der 2er Logarithmus von 4 hoch x minus 1 3 ist. Das nach x auflöst. Wie kriege ich da vorne den Logarithmus weg? Das eleganteste, was ich gerade gesehen habe, ist, diesen Exponenten nach vorne zu nehmen.

Wenn Sie den Logarithmus einer Potenz haben, können Sie den Exponenten hier als Faktor davor nehmen. Das heißt, was hier vorne steht, ist x minus 1 mal den 2er Logarithmus von 4.

Diesen Faktor nach vorne ziehen. Das ist das einfachste. Und was ist der 2er Logarithmus von 4? Womit potentiere ich 2, damit 4 rauskommt? Mit 2, genau. Dann habe ich also 2 mal x minus 1 ist gleich 3.

Ich will sagen, x minus 1 ist gleich 3 halbe. Ich will sagen, x ist gleich 5 halbe. So geht das. Das wäre eine Möglichkeit. Wenn man sich daran erinnert, dass man den Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann,

das machen wir jetzt nochmal ganz anders. Ich hatte auch noch andere Möglichkeiten gesehen. Also starten von dem. Könnte man auch sagen, wir nehmen mal 2 hoch links und rechts, 2 hoch das, was links steht. Schreibe ich mal so, 2 hoch dicker Klecks.

2 hoch das, was links steht, muss ja dann sein 2 hoch das, was rechts steht. So müsste es auch gehen. Probieren Sie mal damit zu arbeiten. Ist nicht ganz so elegant. Aber nochmal eine Übung für Potenzen und Exponentialfunktionen. Ich muss das nochmal hier erklären.

Mit 2 hoch und Logarithmus zur Basis 2. Das ist noch nicht bei allen. So klar. Denken Sie an Funktion und Umkehrfunktion. Definitionsmenge, Zielmenge. Ich nehme auf einmal sinnvollerweise alle reellen Zahlen.

Und hier habe ich nur die Zahlen, die positiv sind, nicht die Null dabei. 2 hoch X oder 2 hoch irgendwas geht in die Richtung. 2 hoch Klecks schreibe ich mal. Ist vielleicht ein bisschen irritierend, wenn Sie es noch nie gesehen haben. Ich schreibe mal 2 hoch X. X wird abgebildet auf 2 hoch X.

Das ist die Abbildung in die eine Richtung. Was ist die Umkehrabbildung dazu? Wenn ich zurückgehe von 2 hoch X zu X, was ist die Umkehrabbildung? Das ist das Wesentliche.

Der Zweierlogarithmus. Das ist die Umkehrfunktion zu 2 hoch so und so viel. Wenn ich 2 hoch X weiß, gibt mir der Zweierlogarithmus das X wieder zurück. Weißt Du, wie das klar war mit den Zehnerpotenzen? Wenn ich 1.000 habe, 10 hoch 3, wenn ich die Zehnerpotenz 1.000 habe,

welche dann der Zehnerlogarithmus, Lg gerne im Deutschen, wenn ich den Zehnerlogarithmus bilde von 1.000, kriege ich 3 zurück. Denn das hier waren 10 hoch 3. Die Potenz 10 hoch macht die 3 zur 1.000 und der Zehnerlogarithmus geht wieder zurück.

Das muss ich vielleicht nochmal aufmalen. Die 3 wird zur 1.000 durch 10 hoch und der Zehnerlogarithmus Lg,

oder in Langfassung log 10, und der Zehnerlogarithmus geht wieder zurück. Wenn ich wieder zurück will, brauche ich den Logarithmus. Auf dem Taschenrechner heißt er übrigens nur log. Im Englischen ist es der common logarithm. Der gewöhnliche Logarithmus, im Deutschen der dekadische oder Zehnerlogarithmus, heißt dann gerne Lg oder log 10.

Genau das wende ich hier an. Oder nach meiner üblichen Art das auszudrücken. Der Zweierlogarithmus sagt mir, womit ich 2 potenzieren muss, um diese Zahl innen drin zu kriegen. Jetzt schreibe ich tatsächlich jetzt mal ausführlich 2 hoch links und rechts hin,

um das nochmal klar zu machen. Der Zweierlogarithmus 4 hoch x minus 1 muss also 2 hoch 3 sein. Und das ist sogar äquivalent. Und nicht nur eine Folge draus. Wenn ich weiß, dass a gleich b ist, weiß ich, dass 2 hoch a gleich 2 hoch b ist.

Wenn diese beiden Zahlen gleich sind. Und netterweise ist 2 hoch eine unkehrbare Funktion. Sie können eindeutig zurückrechnen. Das heißt, es gilt wirklich äquivalent an der Stelle. Genau dann, wenn diese Gleichung unten gilt, gilt die Gleichung oben.

Hier steht jetzt 2 hoch der Zweierlogarithmus. Ich rechne erst den Zweierlogarithmus und dann den schwarzen wieder zurück. Zu dem Punkt, wo ich gestartet bin. Wenn ich das rechne, 2 hoch den Zweierlogarithmus von 42, kriege ich wieder 42 raus.

Wir starten hier auf der rechten Seite mit der 42. Blauer Fall, der Zweierlogarithmus. Schwarzer Fall, 2 hoch x. Sie lernen wieder bei der 42. Oder anders. Der Zweierlogarithmus von 42 sagt, womit ich 2 potenzieren muss, damit 42 rauskommt.

Und dann potenziere ich 2 mit der Zahl, mit der ich 2 potenzieren muss, damit 42 rauskommt. Und dann kriege ich natürlich 42 raus. Also in der Richtung kommt wieder 42 raus. Was halten Sie davon? Der Zweierlogarithmus von 2 hoch 42. Wie viel ist das?

Genau, das ist noch viel einfacher. Muss natürlich auch 42 sein. Womit muss ich 2 potenzieren, damit 2 hoch 42 rauskommt? Mit 42, die Frage ist ja offensichtlich schon beantwortet. Der Zweierlogarithmus sagt, womit ich 2 potenzieren muss, damit diese Zahl rauskommt. Das steht da ja schon. Mit 42 muss ich potenzieren.

Hier, das ist Funktion und Unckerfunktion, Unckerfunktion und Funktion. Das geht in jede Richtung. Funktion und Unckerfunktion, Unckerfunktion und Funktion hintereinander angewendet. In jede Richtung passiert nichts. Hier unten starte ich auf der linken Seite. Ich starte auf der linken Seite, rechne 2 hoch 42 aus und dann kommt der Logarithmus

und ich gehe wieder zurück zum selben Punkt, an dem ich gestartet bin. Das selbe können Sie machen mit hoch 3 und kubischer Wurzel. Die kubische Wurzel aus hoch 3 ist das, was man vorher reingesteckt hat. Funktion und Unckerfunktion. Das verwende ich hier. Das heißt, ich kann hier auf dieser Seite 2 hoch log 2 schlicht und ergreifend streichen.

Die heben sich weg. Das ist der Sinn des Ganzen. Dann können wir hier weitermachen und finden, dass 4 hoch x minus 1 gleich 2 hoch 3 ist.

Wie kann ich da jetzt weiterarbeiten? 2er Logarithmus wäre eine gute Idee, aber wenn ihr jetzt gar keine Idee habt, dann lieber den 4er Logarithmus. Ich möchte 4 hoch irgendwas auflösen. Dann auf beiden Seiten den 4er Logarithmus. Natürlich jetzt nicht mit 2 hoch, sondern mit 4 hoch.

Ich starte rechts und gehe nach links mit dem 4er Logarithmus. Womit muss ich 4 potenzieren, damit 4 hoch x minus 1 rauskommt mit x minus 1? Auf der rechten Seite steht eben der 4er Logarithmus von 2 hoch 3. Ich sollte jetzt mal klammern, damit es nicht ganz so fürchterlich wird.

Und damit haben wir, x ist also die 1 rüberbringen, 1 plus der 4er Logarithmus von 2 hoch 3. Wie kann ich den jetzt auseinandernehmen, den 4er Logarithmus von 2 hoch 3? Also 2 ist 4 hoch 0,5. Das kann ich doch benutzen. Was hier drin steht, ist 0,5. Ich mag 0,5 nicht so gerne, weil das wie ein Messwert aussieht.

2 ist 4 hoch 1,5, die Wurzel aus 4, das hoch 3. Das steht in dem Logarithmus drin. 4 hoch 1,5 hoch 3. Und dann haben wir also 4 hoch 3,5 im Logarithmus drin.

Den 4er Logarithmus aus 4 hoch 3,5 wird 3,5 werden. Womit muss ich 4 potenzieren, damit 4 hoch 3,5 rauskommt? Na toll, mit 3,5. Und dann steht da 1 plus 3,5 sind überraschung 5,5.

Das wäre ein deutlich längerer Weg. Aber wir haben noch ein bisschen über Logarithmen nachgedacht. Das geht einem irgendwann in Fleisch und Blut über. Das sind so ein bisschen Fingerübungen. Es geht eigentlich um Funktionen und Umkehrfunktionen.

Der 2er Logarithmus gärt die Exponentialfunktion 2 hoch um. Wenn Sie das verstanden haben, ist der Rest eigentlich eine mehr oder weniger billige Konsequenz daraus. Auch diese Rechenregeln sind alle nur billige Konsequenzen daraus. Warum ist denn der hier oben zum Beispiel?

Der Logarithmus sagt mir, womit ich 2 potenzieren muss, damit das hier rauskommt. Dann gibt es ja die netten Rechenregeln für Potenzen von Potenzen, wo dann die Exponenten multipliziert werden. Daraus folgt das Rechenregeln für den Logarithmus, dass hier diese x minus 1 nach vorne gezogen werden kann.

Das habe ich in den alten Videos alles mal vorgeführt.