Was hatten wir an Funktionen? Wir hatten sowas wie x wird abgebildet auf x², wir hatten sowas wie x wird abgebildet auf Wurzel von x, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, sowas wie 2 hoch x, oder Logarithmen, sowas wie den Ln von x,

Logarithmen als Umkehrung von Exponentialfunktionen, Wurzel als Halbwegsumkehrung von Potenzfunktionen, wir hatten Polynome, sowas wie x hoch 13 plus 7 x hoch 4 plus 3 x plus 8,

und wir hatten rationale Funktionen, zwei Polynome durcheinander teilen, sowas wie x² plus 3 durch x hoch 3 plus 7 x² plus 8, jetzt kommen die letzten in der Reihe, Sinus und Cosinus,

warum eigentlich Sinus und Cosinus sollte ich zuerst mal sagen, ich hatte das schon gesagt bei den Polynomen, Polynome sind super hilfreich für Näherungen, und überhaupt irgendwas auszurechnen, rationale Funktionen, hatte ich gesagt, sind eher esoterisch,

die brauchen wir nachher für Systeme mit Rückkopplung, dauert ein bisschen bis sie dahin kommen, warum eigentlich Sinus und Cosinus, Sinus und Cosinus und ihre Freunde Tangens, Arcosinus und so weiter, kommen ja erst mal von den rechtwinkligen Dreiecken,

da ist auch die Kleidung näher dazu, aber sie werden natürlich jetzt dem wahren Leben nicht allzu viel mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben, vielleicht muss hier oben die Solaranlage auf so einen dreiecksförmigen Ständer drauf montiert werden, aber ehrlich gesagt, an der Stelle wird Sinus und Cosinus eher selten auftauchen, wo wir Sinus und Cosinus brauchen,

ist bei den Wechselspannungen und den Wechselströmen, wir malen ja die ganze Zeit auch schon so etwas auf, sinusförmige Schwingungen, cosinusförmige Schwingungen, an der Stelle sind Sinus und Cosinus spannend und dadurch dann nachher auch der Tangens spannend, nicht durch die reine Geometrie, sondern wenn es um Schwingungen geht,

oder später vielleicht sogar um Wellen geht, da sind Sinus und Cosinus eminent wichtig, deshalb machen wir das hier. Was ich heute zeige, die Aufgaben, die Sie gleich rechnen werden, die drehen sich alle um Geometrie, dass Sie das einmal gesehen und verstanden haben, aber das ist eher nicht das, was nachher im Job stattfindet,

das sind die Sachen, die dann morgen dran kommen, komplexe Zahlen, Winkel bei komplexen Zahlen, Multiplikation komplexer Zahlen und nächste Woche dann auch noch Wurzeln aus komplexen Zahlen, da tauchen Sinus und Cosinus dann tatsächlich auf, aber heute mal rein geometrisch.

Erst noch mal die reine Definition, wenn Sie so ein Dreieck haben, ein rechtwinkliges Dreieck, wenn ich sich diesen Winkel hier angucke, nenne ich ihn Phi, hier haben wir die Ankathete zu diesem Winkel, die Gegenkathete gegenüber von dem Winkel und die Hypotenuse,

dann ist der Sinus vom Winkel das Verhältnis gegen Kathete durch Hypotenuse, wenn der Winkel Null ist, wenn Sie einen Winkel von Null haben, ist die Gegenkathete Null, der Sinus wird Null, so kann man sich das vielleicht am leichtesten im Zusammenhang merken,

der Cosinus ist die Ankathete durch die Hypotenuse, wenn der Winkel Null ist, wird die Ankathete praktisch gleich der Hypotenuse, hier steht 1, oh, ich habe das Phi vergessen, dann soll ich doch noch dazuschreiben,

Cosinus Phi, und der Tangens ist das Verhältnis vom Sinus zum Cosinus oder das Verhältnis gegen Kathete durch Ankathete, das ist dasselbe,

das sind die, die man üblicherweise braucht, es gibt den Cotangens, das ist das Ungekehrte, das ist Ankathete durch Gegenkathete, also das Inverse vom Tangens, der Kehrwert vom Tangens sollte ich sagen, es gibt noch den Sehkanz und den Cosikanz, die sind ganz exotisch, diese drei hier sind, die man braucht.

Wie groß kann dieser Winkel Phi im rechtwinkligen Dreieck eigentlich werden? Was ist der maximale Wert hier für diesen Winkel Phi in dieser Situation? 90 Grad sagen Sie eigentlich, meine Frage war insofern auch irreführend,

eigentlich können Sie sagen gerade nicht 90 Grad, 90 Grad sind schon unmöglich, Sie haben den rechten Winkel, dann kann Phi nicht auch noch ein rechter Winkel sein, das wird kein Dreieck mehr werden, also alle Winkel bis zu 90 Grad sind möglich und darüber hinaus und sogar schon 90 Grad selbst geht es im rechtwinkligen Dreieck nicht,

das lustige ist, das hatte ich ja alles vorgeführt in den alten Videos, dass man an den Einheitskreis gehen kann und sagen kann, nehmen wir hier den Winkel, hier Strecke 1 zum Einheitskreis hin, Y wird offensichtlich der Sinus werden

und X wird offensichtlich der Cosinus werden und wenn jetzt der Winkel zu groß wird über die 90 Grad hinaus, habe ich hier jetzt einen positiven Y Wert immer noch, Sinus bleibt positiv und einen negativen X Wert,

der Cosinus wird negativ und wenn wir noch weiter gehen, bis da unten hin, dann wird der Cosinus negativ bleiben, das hatten wir eben schon, X bleibt negativ und der Sinus, Y wird auch negativ werden,

dasselbe passiert, wenn ich auf diese Weise einen negativen Winkel habe, einen so großen negativen Winkel habe. Und damit kriegt man die üblichen periodischen Sinus- und Cosinusfunktionen für jeden Winkel am Einheitskreis,

alles in den alten Videos vorgeführt, jetzt nochmal kurz die Geometrie weiter buchstabiert, also ich habe hier einmal das rechtwinklige Dreieck mit Sinus, Cosinus, Tangens, habe ja beim allgemeinen Dreieck ohne rechten Winkel, da geht es auch mit Sinus, Cosinus, Tangens,

das eine ist der Sinussatz, die Punkte ABC gegen den Uhrzeigersinn, dann die Winkel da dran, Alpha, Beta, Gamma und die Seiten gegenüber, A, B, C,

der Sinussatz sagt Ihnen etwas übers allgemeine Dreieck, nicht nur das rechtwinklige Dreieck, der Sinus eines Winkels durch die gegenüberliegende Seite ist immer dasselbe, egal wo Sie rechnen, das ist der Sinussatz, Sinus Beta durch B ist gleich Sinus Gamma durch C,

die Begründung ist mit der Fläche des Dreiecks, ich kann die Fläche des Dreiecks auf verschiedene Arten berechnen, zum Beispiel hier, wenn ich den Winkel Alpha habe, diese Höhe angucken, diese Höhe hat etwas mit dem Sinus von Alpha zu tun, und so weiter und so fort,

alles vorgeführt in den alten Videos, drei Arten die Fläche zu berechnen, damit kriegen Sie das hier, und der Cosinussatz geht sinnvollerweise mit dem Cosinus, der stammt vom Skalarprodukt, das sehen wir nächstes Semester besser, wenn es nochmal offiziell um Skalarprodukt geht,

ich merke mir den Cosinussatz als die Abweichung vom Pythagoras, wenn das hier ein rechtwinkliges Dreieck wäre, dann hätte ich C² ist gleich a² plus b², wenn denn C die Hypotenuse ist, das wäre Pythagoras, aber im Allgemeinen ist es kein rechtwinkliges Dreieck,

und deshalb muss ich korrigieren, was ich kriege ist 2ab Cosinus Gamma als Korrektur, also der Vorderteil wäre Pythagoras, aber das ist ja nun mal nicht Pythagoras, wenn es kein rechtwinkliges Dreieck ist, das ist die Korrektur, die Korrektur ist nachher leichter zu verstehen mit dem Skalarprodukt,

hier auf der rechten Seite steht sowas wie Vektor a minus Vektor b, die Länge ins Quadrat, a mal b, Skalarprodukt, Länge a, Länge b mal 2, und der Cosinus, kommt Ihnen vielleicht schon bekannt vor,

hatte ich ja auch vorgeführt, wie es geometrisch geht, das wird der Cosinussatz geben, den gibt es natürlich jetzt in drei Varianten, einmal für c, einmal für b, einmal für a, und auf der anderen Seite stehen einfach immer die beiden anderen, bei b Quadrat stehen hier also a Quadrat und c Quadrat minus 2ac Cosinus Beta,

und bei a stehen b und c ins Quadrat minus 2bc Cosinus Alpha, so, das ist die Zusammenfassung zu Sinus und Cosinus.